2013年江苏高考数学试题和答案(含理科附加)

2013 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 参考公式 样本数据的方差 其中 12 n x xx 22 1 1 n i i sxx n 1 1 n i i xx n 棱锥的体积公式 其中是锥体的底面积 为高 1 3 VSh Sh 棱柱的体积公式 其中是柱体的底面积 为高 VSh Sh 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共计分 共计 70 分 请把答案填写在答题卡的相应分 请把答案填写在答题卡的相应 位置上 位置上 1 函数的最小正周期为 3sin 2 4 yx 2 设 为虚数单位 则复数的模为 2 2 zi iz 3 双曲线的两条渐近线的方程为 22 1 169 xy 4 集合 1 0 1 共有 个子集 5 右图是一个算法的流程图 则输出的 n 的值是 6 抽样统计甲 乙两位射击运动员的 5 次训练成绩 单位 环 结 果如下 则成绩较为稳定 方差较小 的那位运动员成绩的方差为 7 现有某类病毒记作为 其中正整数可以任意选 mn X Y 7 9 m n mn 取 则都取到奇数的概率为 m n 8 如图 在三棱柱 A1B1C1 ABC 中 D E F 分别为 AB AC A A1的中点 运动员第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次 甲8791908993 乙8990918892 设三棱锥 F ADE 的体积为 三棱柱 A1B1C1 ABC 的体积为 则 1 V 2 V 1 V 2 V 9 抛物线在处的切线与坐标轴围成三角形区域为 D 包含三角形内部与边界 2 yx 1x 若点 P x y 是区域 D 内的任意一点 则的取值范围是 2xy 10 设 D E 分别是 ABC 的边 AB BC 上的点 且 若 12 23 ADAB BEBC 均为实数 则 的值为 12 DEABAC 1 2 1 2 11 已知是定义在 R 上的奇函数 当时 则不等式 f x0 x 2 4f xxx 的解集用区间表示为 f xx 12 在平面直角坐标系 xoy 中 椭圆 C 的方程为 右焦点为 F 右 22 22 1 0 xy ab ab 准线为 短轴的一个端点为 B 设原点到直线 BF 的距离为 F 到 的距离为 若l 1 dl 2 d 则椭圆 C 的离心率为 21 6dd 13 在平面直角坐标系 xoy 中 设定点 A a a P 是函数图象上的一动点 若 1 0 yx x 点 P A 之间的最短距离为 则满足条件的实数 a 的所有值为 2 2 14 在正项等比数列中 则满足 n a 567 1 3 2 aaa 的最大正整数 n 的值为 1212nn aaaa aa 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共计小题 共计 90 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字 说明 证明或演算步骤说明 证明或演算步骤 15 本小题满分 14 分 已知向量 cos sin cos sin 0ab 1 若 求证 2ab ab 2 设 若 求的值 0 1 c abc 16 本小题满分 14 分 如图 在三棱锥 S ABC 中 平面平面 SBC AS AB 过 A 作 SABBCAB 垂足为 F 点 E G 分别为线段 SA SC 的中点 SBAF 求证 1 平面 EFG 平面 ABC 2 BCSA 17 本小题满分 14 分 如图 在平面直角坐标系 xoy 中 点 A 0 3 直线 设圆 C 的半径为 1 圆心42 xyl 在直线 上 l 1 若圆心 C 也在直线上 过点 A 作圆 C 的切线 求切线的方程 1 xy 2 若圆 C 上存在点 M 使 MA 2MO 求圆心 C 的横坐标的取值范围 a 18 本小题满分 16 分 如图 游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径 一种是从 A 沿直线步行到 C 另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B 然后从 B 沿直线步行到 C 现有甲 乙两位游客从 A 处下山 甲沿 AC 匀速步行 速度为 50 米 分钟 在甲出发 2 分 钟后 乙从 A 乘坐缆车到 B 在 B 处停留 1 分钟后 再从 B 匀速步行到 C 假设缆车速度 为 130 米 分钟 山路 AC 的长为 1260 米 经测量 123 cos cos 135 AC 1 求索道 AB 的长 2 问乙出发多少分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 3 为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟 乙 步行的速度应控制在什么范围内 19 本小题满分 16 分 设是首项为 公差为的等差数列 为其前项和 记 a n ad 0 d n Sn 其中 c 为实数 2 n n nS bnN nc 1 若 c 0 且成等比数列 证明 421 bbb 2 NknSnS knk 2 若为等差数列 证明 c 0 b n 20 本小题满分 16 分 设函数 其中为实数 axexgaxxxf x ln a 1 若在上是单调减函数 且在上有最小值 求的取值范围 xf 1 xg 1 a 2 若在上是单调增函数 试求的零点个数 并证明你的结论 xg 1 xf 21 选做题选做题 本题包括本题包括A B C D四小题 请选定其中两题 并在相应的答题区域内作四小题 请选定其中两题 并在相应的答题区域内作 答答 若多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算 若多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算 步骤 步骤 A 选修 4 1 几何证明选讲 本小题满分 10 分 如图 AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D C AC 经过圆心 O 且 BC 2OC 求证 AC 2AD B 选修 4 2 矩阵与变换 本小题满分 10 分 已知矩阵 求矩阵 1012 0206 AB 1 A B C 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在平面直角坐标系中 直线 的参数方程为 为参数 曲线C 的参数方程为xoyl 1 2 xt yt t 为参数 试求直线 和曲线C 的普通方程 并求出它们的公共点的坐标 2 2tan 2tan x y l D 选修 4 5 不等式选讲 本小题满分 10 分 已知 0 求证 ab 33 2ab 22 2aba b 必必做做题题 第第22题题 第第23题题 每每题题10分分 共共计计20分分 请请在在答答题题卡卡指指定定区区域域内内 作作答答 解解答答时时应应写写 出文字说明 证明过程或演算步骤 出文字说明 证明过程或演算步骤 22 本小题满分 10 分 如图 在直三棱柱中 AB AC AB AC 2 4 点 D 是 BC 的 111 ABCABC 1 A A 中点 1 求异面直线与所成角的余弦值 1 AB 1 C D 2 求平面与平面所成二面角的正弦值 1 ADC 1 ABA 23 本小题满分 10 分 设数列 1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 n a 11 1 1 k kk kk 个 即当时 记 22 nkN k 1 k k 1 k 1 1 k n ak 12nn Saaa nN 对于 定义集合 为的整数倍 且 1 lN l Pn n S n a nN nl 1 求中元素个数 11 P 2 求集合中元素个数 2000 P 参考答案 1 答案 解析 T 2 2 2 2 答案 5 解析 z 3 4i i2 1 z 5 3 答案 xy 4 3 解析 令 得 0 916 22 yx x x y 4 3 16 9 2 4 答案 8 解析 23 8 5 答案 3 解析 n 1 a 2 a 4 n 2 a 10 n 3 a 28 n 4 6 答案 2 解析 易得乙较为稳定 乙的平均值为 90 5 9288919089 x 方差为 2 5 9092 9088 9091 9090 9089 22222 2 S 7 答案 63 20 解析 m 取到奇数的有 1 3 5 7 共 4 种情况 n 取到奇数的有 1 3 5 7 9 共 5 种 情况 则都取到奇数的概率为 nm 63 20 97 54 8 答案 1 24 解析 三棱锥与三棱锥的相似比为 1 2 故体积之比为 1 8 又ADEF ABCA 1 因三棱锥与三棱柱的体积之比为 1 3 所以 三棱锥ABCA 1 ABCCBA 111 与三棱柱的体积之比为 1 24 ADEF ABCCBA 111 9 答案 2 1 2 解析 抛物线在处的切线易得为 y 2x 1 令 z y x 2 xy 1 xyx2 1 2 z 2 画出可行域如下 易得过点 0 1 时 zmin 2 过点 0 时 zmax 1 2 1 2 10 答案 1 2 解析 3 2 2 1 3 2 2 1 ACBAABBCABBEDBDE ACABACAB 21 3 2 6 1 所以 6 1 1 3 2 2 21 1 2 11 答案 5 0 5 解析 做出 的图像 如下图所示 由于是定义在上的奇xxxf4 2 0 x xfR 函数 利用奇函数图像关于原点对称做出 x 0 的图像 不等式 表示函数 y xxf 的图像在 y x 的上方 观察图像易得 解集为 5 0 5 xf 12 答案 3 3 解析 如图 l x c 由等面积得 若 c a 2 2 d c a 2 c b2 1 d a bc 12 6dd 则 整理得 两边同除以 得 c b2 6 a bc 066 22 baba 2 a 解之得 所以 离心率为 066 2 a b a b a b 3 6 3 3 1e 2 a b 13 答案 1 或10 解析 14 答案 12 解析 设正项等比数列首项为 a1 公比为 q 则 得 a1 n a 3 1 2 1 51 41 qqa qa q 2 an 26 n 记 1 32 5 21 2 12 n nn aaaT 2 1 21 2 nn nn aaa 则 化简得 当时 nn T 2 1 5 2 2 12 nn n 5 2 11 2 1 2 212 nn n 5 2 11 2 1 2 nnn 当 n 12 时 当 n 13 时 故 nmax 12 12 2 12113 n 1212 T 1313 T 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共计小题 共计 90 分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文分 请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文 字说明 证明过程或演算步骤 字说明 证明过程或演算步骤 15 解 解 1 a b cos cos sin sin a b 2 cos cos 2 sin sin 2 2 2 cos cos sin sin 2 所以 cos cos sin sin 0 所以 ba 2 2 2得 cos 1sinsin 0coscos 1 2 所以 3 2 3 2 带入 得 sin sin cos sin sin 1 3 2 2 3 1 2 3 所以 3 2 所以 6 5 6 16 证 证 1 因为 SA AB 且 AF SB 所以 F 为 SB 的中点 又 E G 分别为 SA SC 的中点 所以 EF AB EG AC 又 AB AC A AB面 SBC AC面 ABC 所以 平面平面 EFGABC 2 因为平面 SAB 平面 SBC 平面 SAB 平面 SBC BC AF平面 ASB AF SB 所以 AF 平面 SBC 又 BC平面 SBC 所以 AF BC 又 AB BC AF AB A 所以 BC 平面 SAB 又 SA平面 SAB 所以 SABC 17 解 解 1 联立 得圆心为 C 3 2 42 1 xy xy 设切线为 3 kxy d 得 1 1 233 2 r k k 4 3 0 kork 故所求切线为 3 4 3 0 xyory 2 设点 M x y 由 知 MOMA2 2222 2 3 yxyx 化简得 4 1 22 yx 即 点 M 的轨迹为以 0 1 为圆心 2 为半径的圆 可记为圆 D 又因为点在圆上 故圆 C 圆 D 的关系为相交或相切 MC 故 1 CD 3 其中 22 32 aaCD 解之得 0 a 12 5 18 解 解 1 如图作 BD CA 于点 D 设 BD 20k 则 DC 25k AD 48k AB 52k 由 AC 63k 1260m 知 AB 52k 1040m 2 设乙出发 x 分钟后到达点 M 此时甲到达 N 点 如图所示 则 AM 130 x AN 50 x 2 由余弦定理得 MN2 AM2 AN2 2 AM ANcosA 7400 x2 14000 x 10000 其中 0 x 8 当 x min 时 MN 最小 此时乙在缆车上与甲的距离最短 35 37 3 由 1 知 BC 500m 甲到 C 用时 min 1260 50 126 5 若甲等乙 3 分钟 则乙到 C 用时 3 min 在 BC 上用时 min 126 5 141 5 86 5 此时乙的速度最小 且为 500 m min 86 5 1250 43 若乙等甲 3 分钟 则乙到 C 用时 3 min 在 BC 上用时 min 126 5 111 5 56 5 此时乙的速度最大 且为 500 m min 56 5 625 14 故乙步行的速度应控制在 范围内 1250 43 625 14 19 证 1 若 则 0 cdnaan 1 2 2 1 adnn Sn 2 2 1 adn bn 当成等比数列 421 bbb 41 2 2 bbb 即 得 又 故 2 3 2 2 d aa d aadd2 2 0 dad2 由此 anSn 2 aknankSnk 222 aknSn k 222 故 knk SnS 2 Nnk 2 cn adn n cn nS b n n 2 2 2 2 2 1 cn adn c adn c adn n 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 cn adn c adn 2 2 2 1 2 2 1 若是等差数列 则型 n bBnAnbn 观察 式后一项 分子幂低于