MATLAB数据分析与多项式计算(M)

第第 7 章章 MATLAB 数据分析与多数据分析与多项项式式计计算算 6 1 数据数据统计处统计处理理 6 2 数据插数据插值值 6 3 曲曲线拟线拟合合 6 4 离散傅立叶离散傅立叶变换变换 6 5 多多项项式式计计算算 6 1 数据数据统计处统计处理理 6 1 1 最大最大值值和最小和最小值值 MATLAB 提供的求数据序列的最大提供的求数据序列的最大值值和最小和最小值值的函数分的函数分别为别为 max 和和 min 两个函数的 两个函数的调调用格式和操作用格式和操作过过程程类类似 似 1 求向量的最大 求向量的最大值值和最小和最小值值 求一个向量求一个向量 X 的最大的最大值值的函数有两种的函数有两种调调用格式 分用格式 分别别是 是 1 y max X 返回向量 返回向量 X 的最大的最大值值存入存入 y 如果 如果 X 中包含复数中包含复数 元素 元素 则则按模取最大按模取最大值值 2 y I max X 返回向量 返回向量 X 的最大的最大值值存入存入 y 最大 最大值值的序号存的序号存 入入 I 如果 如果 X 中包含复数元素 中包含复数元素 则则按模取最大按模取最大值值 求向量求向量 X 的最小的最小值值的函数是的函数是 min X 用法和 用法和 max X 完全相同 完全相同 例例 6 1 求向量求向量 x 的最大的最大值值 命令如下 命令如下 x 43 72 9 16 23 47 y max x 求向量求向量 x 中的最大中的最大值值 y l max x 求向量求向量 x 中的最大中的最大值值及其及其该该元素的位置元素的位置 2 求矩 求矩阵阵的最大的最大值值和最小和最小值值 求矩求矩阵阵 A 的最大的最大值值的函数有的函数有 3 种种调调用格式 分用格式 分别别是 是 1 max A 返回一个行向量 向量的第 返回一个行向量 向量的第 i 个元素是矩个元素是矩阵阵 A 的第的第 i 列上的最大列上的最大值值 2 Y U max A 返回行向量 返回行向量 Y 和和 U Y 向量向量记录记录 A 的每列的的每列的 最大最大值值 U 向量向量记录记录每列最大每列最大值值的行号 的行号 3 max A dim dim 取取 1 或或 2 dim 取取 1 时时 该该函数和函数和 max A 完全相同 完全相同 dim 取取 2 时时 该该函数返回一个列向量 其第函数返回一个列向量 其第 i 个元素是个元素是 A 矩矩阵阵的第的第 i 行上的最大行上的最大值值 求最小求最小值值的函数是的函数是 min 其用法和 其用法和 max 完全相同 完全相同 例例 6 2 分分别别求求 3 4 矩矩阵阵 x 中各列和各行元素中的最大中各列和各行元素中的最大值值 并求整 并求整 个矩个矩阵阵的最大的最大值值和最小和最小值值 3 两个向量或矩 两个向量或矩阵对应阵对应元素的比元素的比较较 函数函数 max 和和 min 还还能能对对两个同型的向量或矩两个同型的向量或矩阵进阵进行比行比较较 调调用格用格 式式为为 1 U max A B A B 是两个同型的向量或矩是两个同型的向量或矩阵阵 结结果果 U 是与是与 A B 同型的向量或矩同型的向量或矩阵阵 U 的每个元素等于的每个元素等于 A B 对应对应元素的元素的较较大者 大者 2 U max A n n 是一个是一个标标量 量 结结果果 U 是与是与 A 同型的向量或矩同型的向量或矩 阵阵 U 的每个元素等于的每个元素等于 A 对应对应元素和元素和 n 中的中的较较大者 大者 min 函数的用法和函数的用法和 max 完全相同 完全相同 例例 6 3 求两个求两个 2 3 矩矩阵阵 x y 所有同一位置上的所有同一位置上的较较大元素构成的新大元素构成的新 矩矩阵阵 p 6 1 2 求和与求求和与求积积 数据序列求和与求数据序列求和与求积积的函数是的函数是 sum 和和 prod 其使用方法 其使用方法类类似 似 设设 X 是一个向量 是一个向量 A 是一个矩是一个矩阵阵 函数的 函数的调调用格式用格式为为 sum X 返回向量 返回向量 X 各元素的和 各元素的和 prod X 返回向量 返回向量 X 各元素的乘各元素的乘积积 sum A 返回一个行向量 其第 返回一个行向量 其第 i 个元素是个元素是 A 的第的第 i 列的元素和 列的元素和 prod A 返回一个行向量 其第 返回一个行向量 其第 i 个元素是个元素是 A 的第的第 i 列的元素乘列的元素乘 积积 sum A dim 当 当 dim 为为 1 时时 该该函数等同于函数等同于 sum A 当 当 dim 为为 2 时时 返回一个列向量 其第 返回一个列向量 其第 i 个元素是个元素是 A 的第的第 i 行的各元素之和 行的各元素之和 prod A dim 当 当 dim 为为 1 时时 该该函数等同于函数等同于 prod A 当 当 dim 为为 2 时时 返回一个列向量 其第 返回一个列向量 其第 i 个元素是个元素是 A 的第的第 i 行的各元素乘行的各元素乘积积 例例 6 4 求矩求矩阵阵 A 的每行元素的乘的每行元素的乘积积和全部元素的乘和全部元素的乘积积 6 1 3 平均平均值值和中和中值值 求数据序列平均求数据序列平均值值的函数是的函数是 mean 求数据序列中 求数据序列中值值的函数是的函数是 median 两个函数的 两个函数的调调用格式用格式为为 mean X 返回向量 返回向量 X 的算的算术术平均平均值值 median X 返回向量 返回向量 X 的中的中值值 mean A 返回一个行向量 其第 返回一个行向量 其第 i 个元素是个元素是 A 的第的第 i 列的算列的算术术平平 均均值值 median A 返回一个行向量 其第 返回一个行向量 其第 i 个元素是个元素是 A 的第的第 i 列的中列的中值值 mean A dim 当 当 dim 为为 1 时时 该该函数等同于函数等同于 mean A 当 当 dim 为为 2 时时 返回一个列向量 其第 返回一个列向量 其第 i 个元素是个元素是 A 的第的第 i 行的算行的算术术平均平均值值 median A dim 当 当 dim 为为 1 时时 该该函数等同于函数等同于 median A 当 当 dim 为为 2 时时 返回一个列向量 其第 返回一个列向量 其第 i 个元素是个元素是 A 的第的第 i 行的中行的中值值 例例 6 5 分分别别求向量求向量 x 与与 y 的平均的平均值值和中和中值值 6 1 4 累加和与累乘累加和与累乘积积 设设 则则称向量称向量 321n uuuuu 1 2 1 1 1 n i i i i i i uuuv 分分别为别为 u 的累加和与累乘的累加和与累乘积积 1 2 1 1 1 n i i i i i i uuuw 在在 MATLAB 中 使用中 使用 cumsum 和和 cumprod 函数能方便地求得向函数能方便地求得向 量和矩量和矩阵阵元素的累加和与累乘元素的累加和与累乘积积向量 函数的向量 函数的调调用格式用格式为为 cumsum X 返回向量 返回向量 X 累加和向量 累加和向量 cumprod X 返回向量 返回向量 X 累乘累乘积积向量 向量 cumsum A 返回一个矩 返回一个矩阵阵 其第 其第 i 列是列是 A 的第的第 i 列的累加和向量 列的累加和向量 cumprod A 返回一个矩 返回一个矩阵阵 其第 其第 i 列是列是 A 的第的第 i 列的累乘列的累乘积积向向 量 量 cumsum A dim 当 当 dim 为为 1 时时 该该函数等同于函数等同于 cumsum A 当 当 dim 为为 2 时时 返回一个矩 返回一个矩阵阵 其第 其第 i 行是行是 A 的第的第 i 行的累加和向量 行的累加和向量 cumprod A dim 当 当 dim 为为 1 时时 该该函数等同于函数等同于 cumprod A 当当 dim 为为 2 时时 返回一个向量 其第 返回一个向量 其第 i 行是行是 A 的第的第 i 行的累乘行的累乘积积向量 向量 例例 6 6 求求 s 的的值值 6 1 5 标标准方差与相关系数准方差与相关系数 1 求 求标标准方差准方差 在在 MATLAB 中 提供了中 提供了计计算数据序列的算数据序列的标标准方差的函数准方差的函数 std standard 对对于向量于向量 X std X 返回一个返回一个标标准方差 准方差 对对于矩于矩阵阵 A std A 返回一个行向量 它的各个元素便是矩返回一个行向量 它的各个元素便是矩阵阵 A 各列或各行的各列或各行的标标 准方差 准方差 std 函数的一般函数的一般调调用格式用格式为为 Y std A flag dim 其中其中 dim 取取 1 或或 2 当 当 dim 1 时时 求各列元素的 求各列元素的标标准方差 当准方差 当 dim 2 时时 则则求各行元素的求各行元素的标标准方差 准方差 flag 取取 0 或或 1 当 当 flag 0 时时 按 按 所列公式所列公式计计算算标标准方差 当准方差 当 flag 1 时时 按 按 n i i xx n 1 2 1 1 1 所列公式所列公式计计算算标标准方差 缺省准方差 缺省 flag 0 dim 1 n i i xx n 1 2 1 2 例例 6 7 对对二二维维矩矩阵阵 x 从不同 从不同维维方向求出其方向求出其标标准方差 准方差 2 相关系数 相关系数 MATLAB 提供了提供了 corrcoef correlation coefficient 函数 可以求出函数 可以求出 数据的相关系数矩数据的相关系数矩阵阵 corrcoef 函数的函数的调调用格式用格式为为 corrcoef X 返回从矩 返回从矩阵阵 X 形成的一个相关系数矩形成的一个相关系数矩阵阵 此相关系此相关系 数矩数矩阵阵的大小与矩的大小与矩阵阵 X 一一样样 它把矩 它把矩阵阵 X 的每列作的每列作为为一个一个变变量 然后量 然后 求它求它们们的相关系数 的相关系数 corrcoef X Y 在 在这这里 里 X Y 是向量 它是向量 它们们与与 corrcoef X Y 的作的作 用一用一样样 例例 6 8 生成生成满满足正足正态态分布的分布的 10000 5 随机矩随机矩阵阵 然后求各列元素 然后求各列元素 的均的均值值和和标标准方差 再求准方差 再求这这 5 列随机数据的相关系数矩列随机数据的相关系数矩阵阵 命令如下 命令如下 X randn 10000 5 M mean X D std X R corrcoef X 6 1 6 排序排序 MATLAB 中中对对向量向量 X 是排序函数是是排序函数是 sort X 函数返回一个 函数返回一个对对 X 中的元素按升序排列的新向量 中的元素按升序排列的新向量 sort 函数也可以函数也可以对对矩矩阵阵 A 的各列或各行重新排序 其的各列或各行重新排序 其调调用格式用格式为为 Y I sort A dim 其中其中 dim 指明指明对对 A 的列的列还还是行是行进进行排序 若行排序 若 dim 1 则则按列排 按列排 若若 dim 2 则则按行排 按行排 Y 是排序后的矩是排序后的矩阵阵 而 而 I 记录记录 Y 中的元素在中的元素在 A 中位置 中位置 例例 6 9 对对二二维维矩矩阵阵做各种排序 做各种排序 A magic 5 Y I sort A 1 6 2 数据插数据插值值 6 2 1 一一维维数据插数据插值值 在在 MATLAB 中 中 实现这实现这些插些插值值的函数是的函数是 interp1 其 其调调用格式用格式为为 Y1 interp1 X Y X1 method 函数根据函数根据 X Y 的的值值 计计算函数在算函数在 X1 处处的的值值 X Y 是两个等是两个等长长的的 已知向量 分已知向量 分别别描述采描述采样样点和点和样样本本值值 X1 是一个向量或是一个向量或标标量 描述欲量 描述欲 插插值值的点 的点 Y1 是一个与是一个与 X1 等等长长的插的插值结值结果 果 method 是插是插值值方法 允方法 允 许许的取的取值值有有 linear 线线性插性插值值 nearest 最近点插 最近点插值值 cubic 三三 次次多多项项式插式插值值 spline 三次 三次样样条插条插值值 注意 注意 X1 的取的取值值范范围围不能超出不能超出 X 的的给给定范定范围围 否 否则则 会 会给给出出 NaN 错误错误 例例 6 10 用不同的插用不同的插值值方法方法计计算在算在 2 点的点的值值 MATLAB 中有一个中有一个专门专门的的 3 次次样样条插条插值值函数函数 Y1 spline X Y X1 其功能及使用方法与函数其功能及使用方法与函数 Y1 interp1 X Y X1 spline 完全相同 完全相同 例例 6 11 某某观测观测站站测测得某日得某日 6 00 时时至至 18 00 时时之之间间每隔每隔 2 小小时时的室的室 内外温度内外温度 用 用 3 次次样样条插条插值值分分别别求得求得该该日室内外日室内外 6 30 至至 17 30 时时之之 间间每隔每隔 2 小小时时各点的近似温度各点的近似温度 设时间变设时间变量量 h 为为一行向量 温度一行向量 温度变变量量 t 为为一个两列矩一个两列矩阵阵 其中第 其中第 一列存放室内温度 第二列一列存放室内温度 第二列储储存室外温度 命令如下 存室外温度 命令如下 h 6 2 18 t 18 20 22 25 30 28 24 15 19 24 28 34 32 30 XI 6 5 2 17 5 YI interp1 h t XI spline 用用 3 次次样样条插条插值计值计算算 6 2 2 二二维维数据插数据插值值 在在 MATLAB 中 提供了解决二中 提供了解决二维维插插值问题值问题的函数的函数 interp2 其 其调调 用格式用格式为为 Z1 interp2 X Y Z X1 Y1 method 其中其中 X Y 是两个向量 分是两个向量 分别别描述两个参数的采描述两个参数的采样样点 点 Z 是与参数是与参数 采采样样点点对应对应的函数的函数值值 X1 Y1 是两个向量或是两个向量或标标量 描述欲插量 描述欲插值值的点 的点 Z1 是根据相是根据相应应的插的插值值方法得到的插方法得到的插值结值结果 果 method 的取的取值值与一与一维维插插 值值函数相同 函数相同 X Y Z 也可以是矩也可以是矩阵阵形式 形式 同同样样 X1 Y1 的取的取值值范范围围不能超出不能超出 X Y 的的给给定范定范围围 否 否则则 会 会给给 出出 NaN 错误错误 例例 6 12 设设 z x2 y2 对对 z 函数在函数在 0 1 0 2 区域内区域内进进行插行插值值 x 0 0 1 1 y 0 0 2 2 X Y meshgrid x y z X 2 Y 2 interp2 x y z 0 5 0 5 interp2 x y z 0 5 0 6 0 4 在在 0 5 0 4 点和点和 0 6 0 4 点插点插值值 interp2 x y z 0 5 0 6 0 4 0 5 在在 0 5 0 4 0 6 0 4 0 5 0 5 0 6 0 5 各点插各点插值值 例例 6 13 某某实验对实验对一根一根长长 10 米的米的钢轨进钢轨进行行热热源的温度源的温度传传播播测试测试 用用 x 表示表示测测量点量点 0 2 5 10 米米 用 用 h 表示表示测测量量时间时间 0 30 60 秒秒 用 用 T 表表 示示测试测试所得各点的温度所得各点的温度 试试用用线线性插性插值值求出在一分求出在一分钟钟内每隔内每隔 20 秒 秒 钢轨钢轨每隔每隔 1 米米处处的温度的温度 TI 命令如下 命令如下 x 0 2 5 10 h 0 30 60 T 95 14 0 0 0 88 48 32 12 6 67 64 54 48 41 xi 0 10 hi 0 20 60 TI interp2 x h T xi hi 6 3 曲曲线拟线拟合合 在在 MATLAB 中 用中 用 polyfit 函数来求得最小二乘函数来求得最小二乘拟拟合多合多项项式的系式的系 数 再用数 再用 polyval 函数按所得的多函数按所得的多项项式式计计算所算所给给出的点上的函数近似出的点上的函数近似值值 polyfit 函数的函数的调调用格式用格式为为 P S polyfit X Y m 函数根据采函数根据采样样点点 X 和采和采样样点函数点函数值值 Y 产产生一个生一个 m 次多次多项项式式 P 及及 其在采其在采样样点的点的误误差向量差向量 S 其中 其中 X Y 是两个等是两个等长长的向量 的向量 P 是一个是一个长长 度度为为 m 1 的向量 的向量 P 的元素的元素为为多多项项式系数 式系数 polyval 函数的功能是按多函数的功能是按多项项式的系数式的系数计计算算 x 点多点多项项式的式的值值 将在 将在 6 5 3 节节中中详细详细介介绍绍 例例 6 14 x linspace 0 2 pi 50 y sin x p s polyfit x y 3 y1 polyval p x plot x y o x y1 6 4 离散傅立叶离散傅立叶变换变换 6 4 1 离散傅立叶离散傅立叶变换变换算法算法简简要要 6 4 2 离散傅立叶离散傅立叶变换变换的的实现实现 一一维维离散傅立叶离散傅立叶变换变换函数 其函数 其调调用格式与功能用格式与功能为为 1 fft X 返回向量 返回向量 X 的离散傅立叶的离散傅立叶变换变换 设设 X 的的长长度度 即元素个即元素个 数数 为为 N 若 若 N 为为 2 的的幂幂次 次 则为则为以以 2 为为基数的快速傅立叶基数的快速傅立叶变换变换 否 否则则 为为运算速度很慢的非运算速度很慢的非 2 幂幂次的算法 次的算法 对对于矩于矩阵阵 X fft X 应应用于矩用于矩阵阵的的 每一列 每一列 2 fft X N 计计算算 N 点离散傅立叶点离散傅立叶变换变换 它限定向量的 它限定向量的长长度度为为 N 若 若 X 的的长长度小于度小于 N 则则不足部分不足部分补补上零 若大于上零 若大于 N 则删则删去超出去超出 N 的那些元素 的那些元素 对对于矩于矩阵阵 X 它同 它同样应样应用于矩用于矩阵阵的每一列 只是限定的每一列 只是限定 了向量的了向量的长长度度为为 N 3 fft X dim 或或 fft X N dim 这这是是对对于矩于矩阵阵而言的函数而言的函数调调用格用格 式 前者的功能与式 前者的功能与 FFT X 基本相同 而后者基本相同 而后者则则与与 FFT X N 基本相同 基本相同 只是当参数只是当参数 dim 1 时时 该该函数作用于函数作用于 X 的每一列 当的每一列 当 dim 2 时时 则则作作 用于用于 X 的每一行 的每一行 值值得一提的是 当已知得一提的是 当已知给给出的出的样样本数本数 N0 不是不是 2 的的幂幂次次时时 可以取 可以取 一个一个 N 使它大于使它大于 N0 且是且是 2 的的幂幂次 然后利用函数格式次 然后利用函数格式 fft X N 或或 fft X N dim 便可便可进进行快速傅立叶行快速傅立叶变换变换 这样这样 计计算速度将大大加快 算速度将大大加快 相相应应地 一地 一维维离散傅立叶逆离散傅立叶逆变换变换函数是函数是 ifft ifft F 返回返回 F 的一的一维维 离散傅立叶逆离散傅立叶逆变换变换 ifft F N 为为 N 点逆点逆变换变换 ifft F dim 或或 ifft F N dim 则则由由 N 或或 dim 确定逆确定逆变换变换的点数或操作方向 的点数或操作方向 例例 6 15 给给定数学函数定数学函数 x t 12sin 2 10t 4 5cos 2 40t 取取 N 128 试对试对 t 从从 0 1 秒采秒采样样 用 用 fft 作快速傅立叶作快速傅立叶变换变换 绘绘制制 相相应应的振幅的振幅 频频率率图图 在在 0 1 秒秒时间时间范范围围内采内采样样 128 点 从而可以确定采点 从而可以确定采样样周期和采周期和采样样 频频率 由于离散傅立叶率 由于离散傅立叶变换时变换时的下的下标应标应是从是从 0 到到 N 1 故在 故在实际应实际应用用时时 下下标应该标应该前移前移 1 又考 又考虑虑到到对对离散傅立叶离散傅立叶变换变换来来说说 其振幅 其振幅 F k 是关是关 于于 N 2 对对称的 故只称的 故只须须使使 k 从从 0 到到 N 2 即可 即可 程序如下 程序如下 N 128 采采样样点数点数 T 1 采采样时间终样时间终点点 t linspace 0 T N 给给出出 N 个采个采样时间样时间 ti I 1 N x 12 sin 2 pi 10 t pi 4 5 cos 2 pi 40 t 求各采求各采样样点点样样本本值值 x dt t 2 t 1 采采样样周期周期 f 1 dt 采采样频样频率率 Hz X fft x 计计算算 x 的快速傅立叶的快速傅立叶变换变换 X F X 1 N 2 1 F k X k k 1 N 2 1 f f 0 N 2 N 使使频频率率轴轴 f 从零开始从零开始 plot f abs F 绘绘制振幅制振幅 频频率率图图 xlabel Frequency ylabel F k 6 5 多多项项式式计计算算 6 5 1 多多项项式的四式的四则则运算运算 1 多 多项项式的加减运算式的加减运算 在在 MATLABMATLAB 中多项式是用按降幂排列的多项式的系数向量表示的中多项式是用按降幂排列的多项式的系数向量表示的 在在 MATLABMATLAB 中没有专门用于多项式加减法计算的函数中没有专门用于多项式加减法计算的函数 事实上多项式加事实上多项式加 减法的计算就是系数向量的加减法计算减法的计算就是系数向量的加减法计算 2 多 多项项式乘法运算式乘法运算 函数函数 conv P1 P2 用于求多用于求多项项式式 P1 和和 P2 的乘的乘积积 这这里 里 P1 P2 是两个多是两个多项项式系数向量 式系数向量 例例 6 16 求多求多项项式式 x4 8x3 10 与多与多项项式式 2x2 x 3 的乘的乘积积 3 多 多项项式除法式除法 函数函数 Q r deconv P1 P2 用于用于对对多多项项式式 P1 和和 P2 作除法运算 其作除法运算 其 中中 Q 返回多返回多项项式式 P1 除以除以 P2 的商式 的商式 r 返回返回 P1 除以除以 P2 的余式 的余式 这这里 里 Q 和和 r 仍是多仍是多项项式系数向量 式系数向量 deconv 是是 conv 的逆函数 即有的逆函数 即有 P1 conv P2 Q r 例例 6 17 求多求多项项式式 x4 8x3 10 除以多除以多项项式式 2x2 x 3 的的结结果 果 6 5 2 多多项项式的式的导导函数函数 对对多多项项式求式求导导数的函数是 数的函数是 p polyder P 求多 求多项项式式 P 的的导导函数函数 p polyder P Q 求 求 P Q 的的导导函数函数 p q polyder P Q 求 求 P Q 的的导导函数 函数 导导函数的分子存入函数的分子存入 p 分 分 母存入母存入 q 上述函数中 参数上述函数中 参数 P Q 是多是多项项式的向量表示 式的向量表示 结结果果 p q 也是多也是多项项 式的向量表示 式的向量表示 例例 6 18 求有理分式的求有理分式的导导数 数 命令如下 命令如下 P 1 Q 1 0 5 p q polyder P Q 6 5 3 多多项项式的求式的求值值 MATLAB 提供了两种求多提供了两种求多项项式式值值的函数 的函数 polyval 与与 polyvalm 它它们们的的输输入参数均入参数均为为多多项项式系数向量式系数向量 P 和自和自变变量量 x 两者的区 两者的区别别在于在于 前者是代数多前者是代数多项项式求式求值值 而后者是矩 而后者是矩阵阵多多项项式求式求值值 1 代数多 代数多项项式求式求值值 polyval 函数用来求代数多函数用来求代数多项项式的式的值值 其 其调调用格式用格式为为 Y polyval P x 若若 x 为为一数一数值值 则则求多求多项项式在式在该该点的点的值值 若 若 x 为为向量或矩向量或矩阵阵 则则 对对向量或矩向量或矩阵阵中的每个元素求其多中的每个元