确界原理的证明

2 2 数集数集 确界原理确界原理 一 教学内容 实数的区间与邻域 集合的上 下界 上确界和下确界 确界原理 难难 点 点 上 下确界定义的理解 数集确界的证明 二 教学目的 1 正确使用区间和邻域概念 掌握集合的有界性的证明 2 初步理解上下确界的定义及确界原理的实质 三 基本要求 1 掌握实数的区间与邻域概念 分清最大值与上确界的联系与区别 结合具体集合 能指出其确界 2 能用定义证明集合的上确界为 即 A 有 且 使得 Ax x 0 0 Ax 0 x 三 教学建议 1 此节重点是确界概念和确界原理 不可强行要求一步到位 对多数学生可只布 置证明具体集合的确界的习题 2 此节难点亦是确界概念和确界原理 对较好学生可布置证明抽象集合的确界的 习题 一一 区间与邻域区间与邻域 区间区间 邻邻 域域 设与是两个实数 且 称点集 为点 的邻域 a 0 axxEa 记作 aU 称点集 为点 的去心邻域 axaxaxaxaU a 记作 0 aU xa a a x a a a 的右邻域 a axaxaU 的右空心邻域 a 0 axaxaU 的左邻域 a axaxaU 的左空心邻域 a 0 axaxaU 邻域 MxxU 邻域 MxxU 邻域 MxxU 二二 有界数集有界数集 确界原理确界原理 1 1 有界数集有界数集 定义 上 下有界 有界 设 S 为实数 R 上的一个数集 若存在一个数 M L 使 得对一切 都有 则称 S 为有上界 下界 的数集 Sx LxMx 若集合 S 既有上界又有下界 则称 S 为有界集 例如 区间 为有限数 邻域等都是有界数集 集合 ba a ba b 也是有界数集 sin xxyyE 无界数集无界数集 若对任意 存在 则称 S 为无界集 0M xSxM 例如 有理数集等都是无界数集 0 0 例 1证明集合 是无界数集 1 0 1 x x yyE 证明 对任意 存在 0M 11 0 1 1 1 xyEyMM Mx 由无界集定义 E 为无界集 x y 1 y x M M 1 1 1 M 确界 确界 先给出确界的直观定义 若数集 S 有上界 则显然它有无穷多个上界 其中最 小的一个上界我们称它为数集 S 的上确界 记作 Ssup 同样 有下界数集有无穷多个下界 称最大下界为该数集的下确界 记作 Sinf 精确定义 定义 2 设 S 是 R 中的一个数集 若数 满足以下两条 1 对一切 有 即 是数集 S 的上界 Sx x 2 对任意 存在 使得 即是 S 的最小上界 0 Sx 0 0 x 则称数为数集 S 的上确界 记作 Ssup 定义 3 设 S 是 R 中的一个数集 若数 满足以下两条 3 对一切 有 即 是数集 S 的下界 Sx x 4 对任意 存在 使得 即是 S 的最大下界 0 Sx 0 0 x 则称数为数集 S 的下确界 记作 Sinf 例 2 1 则 1 1 n S n inf sup SS 2 则 0 sin xxyyE S 0 x 0 x S m2 m m1 下确界 下界 M M2M1 上确界 上界 inf sup EE 注 1 由确界定义 若数集 S 的上 下 确界存在 则一定是唯一的 且 SSsupinf 注 2 由上面例子可知 数集 S 的确界可以属于 S 也可以不属于 S 例 3 设数集 S 有上确界 证明 SSmaxsup 证明 略 定理 1 1 确界原理 设 S 为非空数集 若 S 有上界 则 S 必有上确界 若 S 有下 界 则 S 必有下确界 证明 不妨设 S 包含非负数 S 有上界 存在自然数 使得 n 1 2 存在1 nxSxnaSa 00 在 内作 10 等分 分点分别为 存在自然数 1 nn 9 2 1 nnn 1 n 使得 1 2 存在 10 1 1 nnxSx 111 nnaSa 1 2 存在 10 1 21 k k nnnnxSx kkk nnnnaSa 21 按上述办法无限作下去 得到实数 可以验证 k nnnn 21 Ssup 例 4 设和是非空数集 若对和都有 则有ABAx By yx infsupBA 证 和都有 是的上界 而 是的最小上界 Ax By yx y AAsup A 此式又是的下界 B 的最大下界 sup yA Asup B Asup Binf 例 5 和为非空数集 试证明 AB BAS inf inf mininfBAS 证 有 或 由 和 分别是 和的下界 有 Sx Ax Bx AinfBinfAB 或 Axinf inf inf min infBAxBx 即 是数集 的下界 inf inf minBAS inf inf mininf BAS 又的下界