课例：一元二次方程的根与系数的关系

1 课例 一元二次方程的根与系数的关系 版本 华东师大版 执教 甘肃省陇南市武都区两水中学 唐小平 1教学目标 1 1 知识与技能 掌握一元二次方程的根与系数的关系并会用它解决相关的问题 1 2 过程与方法 通过观察 发现 猜想 证明 归纳总结等学习方式探索一元二次方程 的根与系数的关系 经历和体验数学发现的过程 1 3 情感态度与价值观 培养学生应用 从特殊到一般 和 转化 的数学思想解题 培养学生积极探索 勇于创新的精神 让学生分享合作学习的乐趣 体会发现知识后的成就感 2 教学重难点 重点 探究一元二次方程的根与系数的关系 难点 探究二次项系数不为 1 的一元二次方程的根与系数的关系 3 教学方法 探究式 启发式 4 教 具 课本 三角板 彩色粉笔 5 学 具 课本 学生学案 笔 6 课堂实录 6 1 复习与导入 教师 当清晨的第一缕阳光照耀大地的时候 很高兴与大家相聚在陇南市武都区两水中 学一起度过愉快的 45 分钟 首先请同学们解答学生学案上的 1 也就是解方程 02 2 xx043 2 xx065 2 xx 教师板书下面的表格后检查学生解方程的情况 等大多数学生求出方程的解以后 教师 王琪 请说出方 程 的两个根分别是什么 王琪 0 和 2 教师 方程 的两个根 分别是什么 李超 李超 1 和 4 教师 那方程 的两个根又分别是什么呢 江曼 自高奋勇地 2 和 3 教师 好 都请坐 有不同答案者请举手 数秒钟过去了 没有出现不同答案者 教师 将方程 1 2 3 的根分别填入表格里 教师 现在观察表格里两根之和与两根之积 它们和原来方程的系数有什么联系 这就 是今天咱们要共同探索的内容 一元二次方程的根与系数的关系 板书课题 6 2 探索与发现 6 2 1 探索二次项系数为 1 的数字系数的一元二次方程的根与系数的关系 教师 请大家观察表格里方程 1 中的两根之和与两根之积分别等于多少 王红梅 2 和 0 教师 好 方程 2 中的两根之和与两根之积分别等于 一起说 众学生 3 和 4 教师 方程 3 中的两根之和与两根之积分别等于 众学生 5 和 6 学生回答完毕后教师将方程 1 2 3 中的两根之和与两根之积 分别填入黑板上的表格里 同时也要求完成学生学案上的 2 方 程 1 x 2 x 21 xx 21 xx 02 2 xx 043 2 xx 065 2 xx 2 教师 好 下面我们观察方程中两根之和与原方程的系数之间的关系 首先 在方程 1 中 两根之和等于 2 而一次项系数是 2 2 与 2 众学生 互为相反数 教师 好 方程 2 中两根之和等于 3 它与一次项系数 3 众学生 互为相反数 教师 方程 3 中两根之和等于 5 一次项系数是 5 我们发现 5 和 5 众学生 互为相反数 教师 对 互为相反数 好 同学们 我们能否从两根之和与原方程的一次项系数里面发 现关系 黄道进 你给大家说说 黄道进 两根之和等于一次项系数的相反数 教师 两根之和等于一次项系数的相反数 大家说 对不对 众学生 对 教师 对 请坐 方程 1 中两根之积等于 0 而方程 1 的左边没有常数项 我们可以 添加一项 使其左边变成二次三项式 那应该添加什么呢 众学生 添加 0 教师 对 添加 0 这样 我们就发现方程 1 的两根之积与其常数项 众学生 相等 教师 好 请继续观察方程 2 3 中两根之积与原方程里的常数项 一起说 众学生 也相等 教师 对 也相等 即两根之积等于常数项 6 2 2 探索二次项系数为 1 的字母系数的一元二次方程的根与系数的关系 教师 现在如果把方程 1 2 3 中的数字系数用字母来替换的话 那么是否也 有 两根之和等于一次项系数的相反数 两根之积等于常数项 这样的关系呢 请同学们看 学案上的 3 教师板书学案上的 3 后 教师 设关于的方程 是常数 的两实数根分别是和 那x0 2 qpxxpq 1 x 2 x 么是否也有 这样的关系成立呢 我们先猜想一下 pxx 21 qxx 21 学生 猜想以后 两根之和仍然等于一次项系数的相反数 两根之积仍然等于常数项 教师 这仅仅是同学们的猜想而已 是否正确还要加以验证 哪位同学来验证一下 学 生思考片刻后开始举手 李茜 请 李茜 板演 仍然有 理由如下 根据一元二次方程的求根公pxx 21 qxx 21 式得 不妨设 2 4 2 qpp x 2 4 2 4 2 2 2 1 qpp x qpp x 则 p pqppqpp xx 2 2 2 4 4 22 21 q qqppqppqpp xx 4 4 4 4 4 4 4 22222 21 李茜板演的同时 教师一边巡视 一边给同学们提示 利用求根公式求出和以 1 x 2 x 3 后计算 的值 约几分钟后 21 xx 21 xx 教师 做完的同学请举手 好 请放下 下面我们请高明判断李茜同学做得是否正确 高明 她做得正确 教师 问众学生 确实正确吗 众学生 确实正确 教师 那好 高明 你能给大家讲一讲吗 高明 能 随后高明大踏步地走上讲台给大家讲了李茜的解题过程 教师 哦 确实正确 高明讲得头头是道 同学们也听得津津有味 对他们二位取得的 成功我们掌声表示鼓励 同时也将掌声送给所有的做得正确的同学 教师和学生一起鼓掌 现在猜想 经过验证确实是正确的 下面再用简练的语言把它总结一pxx 21 qxx 21 下 雍颖试试看 雍颖 一元二次方程的根与系数的关系是 两根之和等于一次项系数的相反数 两根之 积等于常数项 教师重复并板书了雍颖所答的内容 不过在文字 一元二次方程 的前 面有意地留出了空白处 6 2 3 总结二次项系数为 1 的一元二次方程的根与系数的关系 教师 正确吗 请同学们举手回答 数秒后 王艳芳 不完全正确 还应该补充一个条件 教师 补充什么条件 请继续回答 王艳芳 补充 二次项系数为 1 的 这个条件 教师 是这个条件吗 请同学们观察表格里方程 1 2 3 中的二次项系数和方 程 是常数 且 0 中的二次项系数 0 2 qpxxqp qp4 2 学生观察上述方程中的二次项系数后点头默认王艳芳补充的条件 教师 好 我们发现应该将 两根之和等于一次项系数的相反数 两根之积等于常数 项 的适用范围确定为 大家一起说 众学生 二次项系数为 1 的一元二次方程 教师 对 是二次项系数为 1 的一元二次方程 教师将 二次项系数为 1 的 这几个文字用彩色粉笔板书在前面所留的空白处 教师 指着刚才所板书的关系 这就是二次项系数为 1 的一元二次方程的根与系数的 关系 我给大家领一下 大家把它齐读一遍 二次项系数为 1 的一元二次方程 预备起 学生齐读完后 教师让学生在练习本上将此关系写一遍 6 3 应用与创新 6 3 1 应用二次项系数为 1 的一元二次方程的根与系数的关系解题 教师 好 总结出关系以后我们用它来解题 请大家看学案上的例 1 教师板书完例 1 后 哪位同学来做例 1 好 周燕 来 上来 往这里写 其余的同学往自己的练习本上写 教 师巡视 或给个别学困生辅导 几分钟后 周燕和其余的同学都做完了例 1 教师三步并作 两步的走上讲台 教师 周燕 请给大家讲一讲你的解题过程好吗 周燕很快讲完了自己的解题过程 但没有发现自己写得不完整的地方 教师令其回座 教师 请大家看周燕同学做的情况 看她做的是否完整 学生仔细看了周燕做的情况后顿时有几十只手举了起来 但教师点了刘红的将 4 刘红 没有突出解题的根据 并且在第二行的的后面丢掉了等号和数字 0 qpxx 2 教师 刘红 来 修改一下 使之完整 修改完毕后 请大家看 现在完整了吗 众学生 完整了 教师 看来刘红同学观察得很仔细 思维也很严谨 周燕同学可能是由于太激动而忘写了 等号和数字 0 她犯了一个 美丽 的错误 教师 对于例 1 除了上述解法之外 我们还可以把 0 和分别代入方程3 中 构建出关于字母和的 一起说 0 2 qpxxpq 众学生 二元一次方程组 教师 对极了 构建出关于字母和的二元一次方程组 然后求该二元一次方程组的解pq 即可 我们把这种方法定为解法二 此题利用解法二求解的过程留给同学们下去以后再做 教师 至此二次项系数为 1 的一元二次方程的根与系数的关系我们就全部搞清楚了 但 是我们在做题的过程中常常会遇到二次项系数不为 1 的一元二次方程 对于这种方程 是否 仍然有 两根之和等于一次项系数的相反数 两根之积等于常数项 这样的关系呢 请大家 看学案上的例 2 教师板书例 2 6 3 2 探索二次项系数不为 1 的一元二次方程的根与系数的关系 教师 对于例 2 老师请大家继续先猜想 再验证 看看到底等于什么 又 21 xx 21 xx 等于什么 做起来觉得有困难的同学 你们前后桌自然组合的小组内互相讨论交流一下 看一 看对方的猜想是什么 对方又是怎么验证的 教师继续巡视 自然组合的小组内互相讨论 交流着 几分钟后 好 做完的同学请坐好 没做完的 请抓紧时间 刘志恒 来把你的猜想和验证 过程写在黑板上 大约用了 3 分钟时间 刘志恒就板演了自己猜想和验证的全过程 教师 行了 我们一起来看看他的猜想和验证过程是否正确 教师和学生仔细地看了刘 志恒做的每一个步骤 发现刘志恒做得非常好 教师给予了充分的肯定之后着重强调了在同 分母分式的加法运算和分式的乘法运算时的符号问题 教师 现在请同学们一起说例 2 中的 成立吗 cxxbxx 2121 众学生 不成立 教师 从例 2 的解题过程可以发现 此例中两根之和不等于一次项系数的相反数 两根 之积不等于常数项 其原因是 众学生 二次项系数不是 1 教师 对 二次项系数不是 1 那么 我们怎样把 皆为常数 0 2 cbxaxabc 且 转化一下 将其二次项系数化成 1 0 a 041 2 acba 数学王子 查永春 给方程 皆为常数 且 0 2 cbxaxabc0 a 的两边同时除以二次项系数 04 2 acba 教师 对 同时除以二次项系数 那么原方程将会被转化成 a 查永春 教师板书该式子 04 0 0 22 acba a c x a b x 5 教师 完全正确 我们将掌声送给他 一阵热烈的掌声后 教师 方程是由方程 为 04 0 0 22 acba a c x a b x 0 2 cbxaxabc 常数 且 经过恒等变形得来的 也就是说这两个方程是 04 0 2 acba 众学生 同解方程 教师 对 是同解方程 即 为常数 且 0 2 cbxaxabc04 0 2 acba 的两根和同时也是方程的两根 所以和 1 x 2 x 04 0 0 22 acba a c x a b x 21 xx 就等于上述两方程中哪个方程的一次项系数和常数项 21 xx 众学生 04 0 0 22 acba a c x a b x 教师 对 很好 现在我们把这个关系以命题的形式写出来 老师写命题的题设 同学 们补充命题结论中的空白处 教师 一边说一边写 若方程的两个根分别是 04 0 0 22 acbacbxax 和 则 1 x 2 x 2121 xxxx 教师 第一空白处和第二空白处分别填什么 众学生 和 教师将和用彩色粉笔板书在空白处 a b a c a b a c 教师 该命题就是实系数的一元二次方程的根与系数的关系 它包含了二次项系数为 1 和不为 1 这样两种情况 它是由十六世纪的法国数学家韦达发现的 所以通常把此关系称为 韦达定理 此其一 其二 一元二次方程的根与系数的关系 也就是 韦达定理 成立的 前提是原方程的判别式的值非负 其三 一元二次方程的根与系数的关系 是指一元二次方程 的两根之和 两根之积与系数的关系 6 4 回顾与小结 教师 请同学们回顾一下 通过本节课的学习 你们都有哪些收获和体会 杜欢 我的收获是 知道了 二次项系数为 1 的一元二次方程 两根之和等于一次项系数 的相反数 两根之积等于常数项 教师 张亚丽 你有哪些收获 张亚丽 我的收获是 知道了 在求二次项系数不为 1 的一元二次方程的两根之和与两根 之积时 不能盲目的将两根之和与两根之积分别写成原方程中的一次项系数的相反数和常数项 而应当视原方程中的二次项系数来定 张亚丽总结完后 王莉欲言又止 教师 手势示意 王莉 你有什么要补充的 请说出来 王莉 这节课中应用了 从特殊到一般 和 转化 的数学思想 教师 还有哪些同学想补充 陈可伟 陈可伟 我还知道 任何一个一元二次方程都可以转化成的形式 而0 2 qpxx 且我还会正确应用 韦达定理 解题 教师 还有同学想做补充吗 数秒钟过去了 再没有学生做补充 这时 教师 嗯 同学们总结了这么多 总结得都很好 而且总结得也比较全面 老师在这里 6 就不重复了 好了 今天的课就上到这里 今天的课外作业是学生学案上的 1 2 3 4 5 下课 学学 生生 学学 案案 1 解下列方程 1 2 3 02 2 xx043 2 xx065 2 xx 2 填表 3 设关于的一元二次方程 都是常数 且 的两根分别x0 2 qpxxpq04 2 qp 是 那么 是否成立 1 x 2 xpxx 21 qxx 21 例 1 关于的方程的两根是和 求和的值 x0 2 qpxx03 pq 例 2 设关于的方程 皆为常数 且 x0 2 cbxaxabc0 a 的两根是 那么是否成立 041 2 acba 1 x 2 xcxxbxx 2121 课外作业 1 利用根与系数的关系 求方程两个根的 1 倒数和 2 平方和 063