四边形的专题复习

1 第四章第四章 四边形性质探索四边形性质探索 复习要求复习要求 1 了解多边形的内角和与外角和公式 了解多边形的内角和与外角和公式 掌握平行四边形 矩形 菱形 正方形 梯形的概念和性质掌握平行四边形 矩形 菱形 正方形 梯形的概念和性质 了解它们之间的关系 了解四边形的不稳定性 了解它们之间的关系 了解四边形的不稳定性 2 掌握平行四边形对边相等 对角相等 对角线互相平分的性质 四边形是平行四边形的条件 一掌握平行四边形对边相等 对角相等 对角线互相平分的性质 四边形是平行四边形的条件 一 组对边平行且相等 或两组对边分别相等 或对角线互相平分的四边形是平行四边形 组对边平行且相等 或两组对边分别相等 或对角线互相平分的四边形是平行四边形 了解中心对称图 了解中心对称图 形及其基本性质 形及其基本性质 3 掌握矩形 菱形 正方形的有关性质和四边形是矩形 菱形 正方形的条件掌握矩形 菱形 正方形的有关性质和四边形是矩形 菱形 正方形的条件 4 了解等腰梯形同一底上的两底角相等 两条对角线相等的性质 以及同一底上的两底角相等的梯了解等腰梯形同一底上的两底角相等 两条对角线相等的性质 以及同一底上的两底角相等的梯 形是等腰梯形的结论 形是等腰梯形的结论 5 知道任意一个三角形 四边形或正六边形可以密铺平面 并能运用这几种图形进行简单的密铺设知道任意一个三角形 四边形或正六边形可以密铺平面 并能运用这几种图形进行简单的密铺设 计 计 概念与规律 概念与规律 请同学们边画图边记忆 请同学们边画图边记忆 概念很重要概念很重要 1 多边形的分类 多边形的分类 2 平行四边形 菱形 矩形 正方形 等腰梯形的定义 性质 判别 平行四边形 菱形 矩形 正方形 等腰梯形的定义 性质 判别 1 平行四边形 平行四边形 定义 定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形不相邻两个顶点连成两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 平行四边形不相邻两个顶点连成 的线段叫对角线 的线段叫对角线 性质 性质 平行四边形对边相等 平行四边形对边相等 平行四边形对角相等平行四边形对角相等 邻角互补邻角互补 平行四边形的对角线互相平分 平行四边形的对角线互相平分 若两条直线互相平行 则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等 这个距若两条直线互相平行 则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等 这个距 离称为平行线之间的距离 离称为平行线之间的距离 推论 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 夹在两条平行线间的平行线段相等 判定 判定 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 2 菱形 菱形 定义 定义 一组邻边相等的平行四边形叫做一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形 菱形的性质菱形的性质 菱形的四条边都相等 两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一 菱形的四条边都相等 两条对角线互相垂直平分 每一条对角线平分一 组对角 组对角 特殊 菱形 矩形 特殊 正方形 多边形 三角形等腰三角形 直角三角形 四边形 特殊 梯形 特殊 等腰梯形 边数多于 4 的多边形 特殊 正多边形 平行四边形 特殊 2 菱形的判别方法菱形的判别方法 一组邻边相等的平行四边形是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 四条边都相等的四边形是菱形 四条边都相等的四边形是菱形 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 面积计算 即 面积计算 即 S 菱形 菱形 L1 L2 2 3 矩形矩形 定义 定义 有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形 有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形 矩形的性质 矩形的性质 矩形的对角线相等 四个角都是直角 矩形的对角线相等 四个角都是直角 矩形的判别方法 矩形的判别方法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 对角线相等且平分的四边形是矩形 对角线相等且平分的四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半 直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半 在直角三角形中在直角三角形中30 0 所对的直角边是斜边所对的直角边是斜边 的一半的一半 4 正方形正方形 定义 定义 一组邻边相等的矩形叫做正方形 一组邻边相等的矩形叫做正方形 正方形的性质 正方形的性质 正方形具有平行四边形 菱形 矩形的一切性质 正方形具有平行四边形 菱形 矩形的一切性质 正方形的四个角都是直角 四条边都相等 正方形的两条对角正方形的四个角都是直角 四条边都相等 正方形的两条对角 线相等 并且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 线相等 并且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 5 梯形梯形 定义 定义 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形 一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形 一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形 两条腰相等的梯形叫做两条腰相等的梯形叫做等腰梯形等腰梯形 一条腰和底垂直的梯形叫做一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形直角梯形 较短的底叫做上底 较长的底叫做下底 较短的底叫做上底 较长的底叫做下底 6 等腰梯形等腰梯形 定义 定义 两条腰相等的梯形叫做两条腰相等的梯形叫做等腰梯形等腰梯形 性质性质 等腰梯形同一底上的两个内角相等 对角线相等 等腰梯形同一底上的两个内角相等 对角线相等 判别方法判别方法 两腰相等的梯形是等腰梯形 两腰相等的梯形是等腰梯形 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 对角线相等的梯形是等腰梯形 对角线相等的梯形是等腰梯形 重要辅助线重要辅助线 常连结四边形的对角线常连结四边形的对角线 梯形中常梯形中常 平移一腰平移一腰 平移对角线平移对角线 作高作高 连结顶点和对腰中点并延长与底边相连结顶点和对腰中点并延长与底边相 交交 转化为三角形 转化为三角形 3 在平面内 由若干条不在同一条直线上的线段首位顺次连接组成的封闭图形叫做在平面内 由若干条不在同一条直线上的线段首位顺次连接组成的封闭图形叫做多边形多边形 在多边形中 连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线 多边形的在多边形中 连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线 多边形的 边 顶点 内角和的含义与三角形相同 边 顶点 内角和的含义与三角形相同 同一个顶点引出对角线 同一个顶点引出对角线 n 3 条 条 同一个顶点引出三角形 同一个顶点引出三角形 n 2 个 个 在平面内 内角都相等 边也相等的多边形叫做在平面内 内角都相等 边也相等的多边形叫做正多边形正多边形 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角 在每个多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角 在每个 顶点处取这个多边形的一个外角 他们的和叫做这个多边形的顶点处取这个多边形的一个外角 他们的和叫做这个多边形的外角和外角和 多边形的内角和多边形的内角和 n 2 180 0 多边形的外角和都等于多边形的外角和都等于 360 3 正正 n 边形的内角 边形的内角 n 2 180 n 一般的 用形状 大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接 彼此之间不留空隙 一般的 用形状 大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接 彼此之间不留空隙 不重叠地铺成一片 这就是不重叠地铺成一片 这就是平面图形的密铺平面图形的密铺 又称做 又称做平面图形的镶嵌平面图形的镶嵌 三角形 四边形和 三角形 四边形和 正六边形都可以密铺 正六边形都可以密铺 4 中心对称图形 中心对称图形 在平面内 一个图形绕某个顶点旋转在平面内 一个图形绕某个顶点旋转 180 如果旋转前后的图形互相 如果旋转前后的图形互相 重合 那么这个图形叫做中心对称图形 这个点叫做它的对称中心 重合 那么这个图形叫做中心对称图形 这个点叫做它的对称中心 中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分 中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分 当当 n 为大于或等于为大于或等于 3 的偶数时 正的偶数时 正 n 边形为中心对称图形 边形为中心对称图形 四边形四边形 1 四边形的内角和定理 四边形的内角和定理 四边形内角和等于四边形内角和等于 360 2 多边形内角和定理 多边形内角和定理 n 边形的内角和等于边形的内角和等于 n 2 180 3 多边形的外角和定理 多边形的外角和定理 任意多边形的外角和等于任意多边形的外角和等于 360 4 中心对称 把一个图形绕某一个点旋转 中心对称 把一个图形绕某一个点旋转 180 如果它能够与另一个图形重合 那么就 如果它能够与另一个图形重合 那么就 说这两个图形关于这个点对称 说这两个图形关于这个点对称 5 中心对称图形 把一个图形绕某一个点旋转 中心对称图形 把一个图形绕某一个点旋转 180 如果它能够和原来的图形互相重合 如果它能够和原来的图形互相重合 那么就说这个图形叫做中心对称图形 平行四边形是中心对称图形 那么就说这个图形叫做中心对称图形 平行四边形是中心对称图形 6 中心对称的性质 中心对称的性质 关于中心对称的两个图形是全等形 关于中心对称的两个图形 对称关于中心对称的两个图形是全等形 关于中心对称的两个图形 对称 点的连线都经过对称中心 并且被对称中心平分 点的连线都经过对称中心 并且被对称中心平分 7 四边形一般性质 角 四边形一般性质 角 内角和 内角和 360 外角和 外角和 360 顺次连结各边中点得平行四边形 顺次连结各边中点得平行四边形 推论推论 1 顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形 顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形 推论推论 2 顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形 顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形 2 特殊四边形 特殊四边形 研究四边形的一般方法研究四边形的一般方法 定义定义 性质性质 判定判定 平行四边形 矩形 菱形 正方形平行四边形 矩形 菱形 正方形 梯形 等腰梯形的定义 性梯形 等腰梯形的定义 性 质和判定质和判定 2 判定步骤 判定步骤 四边形四边形 平行四边形平行四边形 矩形矩形 正方形正方形 菱形菱形 4 对角线的纽带作用对角线的纽带作用 基础训练基础训练 10 分钟 分钟 1 1 1 1 在 在 ABCD ABCD 中 中 A 44 A 44 则 则 B B C C 2 2 若 若 ABCD ABCD 的周长为的周长为 40cm40cm AB BC 2 3AB BC 2 3 则则 CD CD AD AD 2 2 1 1 若菱形的两条对角线长分别为 若菱形的两条对角线长分别为 6cm6cm 和和 8cm8cm 则此菱形的周长为 则此菱形的周长为 cm cm 面积为 面积为 cm cm2 2 2 2 已知四边形 已知四边形 ABCDABCD 中 中 AD BC AD BC AB CD AB CD 要使四边形要使四边形 ABCDABCD 为菱形还需为菱形还需 添加的条件是添加的条件是 定义 性质 判定 边角 对 角 线 面积 对称性 轴对称 中心对称 四边形平行四边形 矩形 菱形 正方形 互相平分相等且互相垂直 垂直 相等 相等垂直 相等且互相平分 互相垂直平分 互相垂直平分且相等 4 F A BC D E 3 3 正方形的边长为 正方形的边长为 1cm1cm 则它的对角线长为 则它的对角线长为 cm cm 对角线与一边所夹的角是 对角线与一边所夹的角是 4 4 一个正方形要绕它的中心至少旋转 一个正方形要绕它的中心至少旋转 才能和原来的图形重合 才能和原来的图形重合 5 5 1 1 一个多边形的内角和为 一个多边形的内角和为 900 900 那么这个多边形的边数为 那么这个多边形的边数为 2 2 一个多边形内角和等于它外角和的 一个多边形内角和等于它外角和的 3 3 倍 它是倍 它是 边形 边形 6 6 用两个一样三角尺 含 用两个一样三角尺 含 30 30 角的那个 角的那个 能拼出 能拼出 种平行种平行 四边形 四边形 7 7 如图 平行四边形 如图 平行四边形 ABCDABCD 中 中 BC 2CDBC 2CD CA ABCA AB AC 3cm AC 3cm 则平则平 行四边形行四边形 ABCDABCD 的面积为的面积为 8 8 如图 如图 P P 是四边形是四边形 ABCDABCD 的的 DCDC 边上的一个动点 当四边形边上的一个动点 当四边形 ABCDABCD 满足条件 满足条件 时 时 PAB PAB 的面积始终保持的面积始终保持 不变不变 注 只需填上你认为正确的一种条件即可 注 只需填上你认为正确的一种条件即可 9 下列性质中 平行四边形 矩形 菱形 正方形都具有的性质是 下列性质中 平行四边形 矩形 菱形 正方形都具有的性质是 A 对角线相等对角线相等 B 对角线互相平分对角线互相平分 C 对角线平分一组对角对角线平分一组对角 D 对角线互相垂直对角线互相垂直 10 下列图形中是中心对称图形的是 下列图形中是中心对称图形的是 1111 下列条件中 不能判定四边形 下列条件中 不能判定四边形 ABCDABCD 为平行四边形的条件是 为平行四边形的条件是 A A AB CDAB CD AB CDAB CD B B AB CDAB CD AD BCAD BC C C AB AD AB AD BC CDBC CD D D AB CDAB CD AD BCAD BC 12 12 铺设地板的铺设地板的 60 6060 60 规格的瓷砖的形状是规格的瓷砖的形状是 A A 矩形矩形 B B 菱形菱形 C C 正方形正方形 D D 梯形梯形 13 13 一正多边形的每个外角都是一正多边形的每个外角都是 30300 0 则这个多边形是则这个多边形是 A A 正方形正方形 B B 正六边形正六边形 C C 正八边形正八边形 D D 正十二边形正十二边形 14 14 下面给出的图形能密铺的是下面给出的图形能密铺的是 A A 正五边形正五边形 B B 三角形三角形 C C 正十边形正十边形 D D 正十二边形正十二边形 15 15 一矩形两对角线之间的夹角有一个是一矩形两对角线之间的夹角有一个是 60600 0 且这角所对的边长且这角所对的边长 5cm 5cm 则对角线长为则对角线长为 A A 5 5 cmcm B B 10cm10cm C C 5 5cmcm D D 无法确定无法确定2 1616 如图 矩形 如图 矩形 ABCDABCD 沿沿 AEAE 折叠 使折叠 使 D D 点落在点落在 BCBC 边上边上 的点的点 F F 处 如果处 如果 BAF BAF 60 60 则 则 EAF EAF 等于 等于 A A 15 15 B B 30 30 C C 45 45 D D 60 60 1717 在 在 平行四边形 平行四边形 矩形 矩形 菱形 菱形 正方形中 能找到一点 使该点到各顶点的距正方形中 能找到一点 使该点到各顶点的距 A BC D A B C DP 5 D A C O E B F 离相等的图形是离相等的图形是 A A B B C C D D 专题训练专题训练 一 平行四边形一 平行四边形 1 1 如图 四边形 如图 四边形 ABCDABCD 是平行四边形 是平行四边形 E E 是是 ADAD 中点 中点 F F 是是 BCBC 中点中点 求证 四边形求证 四边形 BEDFBEDF 是平行四边形是平行四边形 2 2 如图 已知四边形 如图 已知四边形 ABCDABCD 是矩形 是矩形 P P Q Q 是直线是直线 ACAC 上的一点 且上的一点 且 AP CQAP CQ 那么四边形 那么四边形 PBQDPBQD 是平行四边形吗 试说明理由是平行四边形吗 试说明理由 3 3 6 6 分 分 ABCDABCD 的两条对角线的两条对角线 ACAC BDBD 相交于点相交于点 O O E E F F 分别在分别在 OBOB ODOD 上 且上 且 BF DEBF DE AFAF 与与 CECE 平行吗 说出你的理由 平行吗 说出你的理由 4 已知 如图 在平行四边形 已知 如图 在平行四边形 ABCD 中 中 AC BD 相交于相交于 O 点 点点 点 E F 分别为分别为 BO DO 的中点 试证明 的中点 试证明 OA OC OB OD 四边形 四边形 AECF 是平行四边形 是平行四边形 如果 如果 E F 点分别在点分别在 DB 和和 BD 的延长线上时 的延长线上时 且满足且满足 BE DF 上述结论仍然成立吗 请说明理由 上述结论仍然成立吗 请说明理由 A BC D F E A B C D P Q A A B BC C D D O OE E F F 6 二 菱形二 菱形 1 在平行四边形 在平行四边形 ABCD 中对角线中对角线 AC 平分平分 DAB 这个四边形是菱形吗 说说你的理由 这个四边形是菱形吗 说说你的理由 2 2 7 7 分 分 ABCDABCD 的两条对角线的两条对角线 ACAC BDBD 相交于点相交于点 O O AB AB AC 4AC 4 BD 2BD 2 73 1 1 ABCDABCD 是菱形吗 为什么 是菱形吗 为什么 2 2 求 求 ABCDABCD 的面积 的面积 3 3 如图 四边形如图 四边形ABCDABCD是菱形 对角线是菱形 对角线ACAC与与BDBD相交于相交于 O O 菱形 菱形ABCDABCD的周长是的周长是 2020 6BD 1 1 求 求ACAC的长 的长 2 2 求菱形 求菱形ABCDABCD 的高的高的长 的长 DE 4 4 8 分 如图 菱形分 如图 菱形 ABCD 中 中 E 是是 AD 中点 中点 EF AC 交交 CB 的延长线与点的延长线与点 F 1 DE 和和 BF 相等吗 请说明理由 相等吗 请说明理由 2 连结连结 AF BE 四边形 四边形 AFBE 是平是平 行四边形吗 说明理由 行四边形吗 说明理由 A C D B E F B C A D A A O O D D C C B B 7 三 矩形三 矩形 1 1 在矩形在矩形 ABCDABCD 中 两条对角线中 两条对角线 ACAC BDBD 相交于相交于 O O AB 4AB 4 30ACB 判断判断 AOB AOB 的形状 的形状 求对角线求对角线 ACAC BDBD 的长 的长 8 8 分 分 2 7 分 如图 平行四边形分 如图 平行四边形 ABCD 的四个内角的平分线相交于的四个内角的平分线相交于 E F G H 判断四边 判断四边 形形 EFGH 的形状 并请说明理由 的形状 并请说明理由 四 四 正方形正方形 1 1 正方形正方形ABCDABCD中 中 E E为为ABAB上一点 上一点 F F为为CBCB延长线上一点延长线上一点 且 且 EFBEFB 4545 1 1 求证 求证 AFAF CECE 2 2 你认为你认为AFAF与与CECE有怎样的位置关系 说明理由 有怎样的位置关系 说明理由 2 2 D 是正方形是正方形 OABC 的边的边 OC 上一点 作上一点 作 BAD 的平分线交的平分线交 BC 于点于点 E 延长 延长 CO 到到 F 使 使 OF BE 连结 连结 AF 图 图 1 4 分 分 OAF 与与 BAE 是否相等 说明你的理由 是否相等 说明你的理由 O AB CD F E D CB A 图 图 1 B E O A DFC A BC D E G H F 第 2 题图 8 6 分 若以点分 若以点 O 为原点 为原点 OC OA 为坐标轴建立坐标系 图为坐标轴建立坐标系 图 2 已知点 已知点 D 坐标为坐标为 1 0 点 点 A 坐标为 坐标为 0 4 试求点 试求点 F 的坐标 的坐标 五 梯形五 梯形 1 已知 如图 梯形 已知 如图 梯形 ABCD 中 中 AD BC A 90 AD 5cm DC 12cm BC 13cm 求 求 AB 的长 的长 2 2 7 7 分 梯形分 梯形 ABCDABCD 中 中 AB CDAB CD E E 在在 ABAB 上 上 CE ADCE AD 且 且 BE CEBE CE B A 30 B A 30 求求 A A B B 的度数 的度数 3 3 如图 已知如图 已知ABAB DCDC AEAE DCDC AEAE 1212 BDBD 1515 ACAC 2020 求梯形 求梯形ABCDABCD的面积 的面积 D C A B B E O A DFC 图 图 2 A AB B C CD D E E 9 六 综合题目六 综合题目 1 1 已知 如图 在 已知 如图 在 Rt OABRt OAB 中 中 OAB OAB 90 90 OAOA ABAB 6cm6cm 将 将 OAB OAB 绕点绕点 O O 沿逆时针方向旋转沿逆时针方向旋转 90 90 得到得到 Rt OARt OA1 1B B1 1 1 1 直接写出线段 直接写出线段 OAOA1 1的长度和的长度和 AOB AOB1 1的度数 的度数 2 2 连结 连结 AAAA1 1 则四边形 则四边形 OAAOAA1 1B B1 1是平行四边形吗 是平行四边形吗 请说明理由 请说明理由 2 2 如图 把一张矩形的纸 如图 把一张矩形的纸ABCDABCD沿对角线沿对角线BDBD折叠 使点折叠 使点 C C落在点落在点E E处 处 BEBE与与ADAD交于点交于点F F 求证 求证 ABF EDF ABF EDF 若将折叠的图形恢复原状 点若将折叠的图形恢复原状 点F F与与BCBC边上的点边上的点M M正好正好 重合 连接重合 连接DMDM 试判断四边形 试判断四边形BMDFBMDF的形状 并说明理的形状 并说明理 由 由 C D B A M 图 22图 图 F E 10 3 3 如图 已知 如图 已知 ABC ABC 中 中 AB ACAB AC ADAD 是是 BAC BAC 的平分线 的平分线 AEAE 是是 BAC BAC 的外角平分线 的外角平分线 CE AECE AE 于点于点 E E 1 1 求证 四边形 求证 四边形 ADCEADCE 为矩形 为矩形 2 2 求证 四边形 求证 四边形 ABDEABDE 为平行四边形 为平行四边形 4 4 1010 分 如图分 如图 1 1 矩形 矩形 OABCOABC 中 中 ABAB 8 8 OAOA 4 4 把矩形 把矩形 OABCOABC 对折 使点对折 使点 B B 与点与点 O O 重重 合 点合 点 C C 移到点移到点 F F 位置 折痕为位置 折痕为 DEDE 1 1 求 求 ODOD 的长 的长 2 2 连接 连接 BEBE 四边形 四边形 OEBDOEBD 是什么特殊四边形 请运用所学知识进行说明 是什么特殊四边形 请运用所学知识进行说明 3 3 以 以 O O 点为坐标原点 点为坐标原点 OCOC OAOA 所在的直线分别为所在的直线分别为 x x 轴 轴 y y 轴 如图轴 如图 2 2 求直线 求直线 EFEF 的的 函数表达式 函数表达式 A B C D E F D 图 1F A B C O E A B C O D Ex y 图 2 F 11 5 5 如图 已知正方形 如图 已知正方形 ABCDABCD 点 点 E E 是是 BCBC 上一点 以上一点 以 AEAE 为边作正方形为边作正方形 AEFGAEFG 1 1 连结 连结 GDGD