【09数学高考·湖北卷】2009年湖北省高考数学试题(理)及答案(word版含答案)

20092009 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 湖北卷湖北卷 数学 理工农医类 数学 理工农医类 本试卷共本试卷共 4 页 满分页 满分 150 分 考试时间分 考试时间 120 分钟 分钟 祝考试顺利祝考试顺利 注意事项 注意事项 1 答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填在试题卷和答题卡上 并将准考证号条形码答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号填在试题卷和答题卡上 并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上指定位置 粘贴在答题卡上指定位置 2 选择题每小题选出答案后 用选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 答在试题卷上无效 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 答在试题卷上无效 3 填空题和解答题用填空题和解答题用 0 5 毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内 答在试毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内 答在试 题卷上无效 题卷上无效 4 考试结束 请将本试题卷和答题卡一并上交 考试结束 请将本试题卷和答题卡一并上交 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是满足题目要求的 一项是满足题目要求的 1 已知是两个向量集 1 0 0 1 1 1 1 1 Pa ammR Qb bnnR 合 则PQ I A 1 1 B 1 1 C 1 0 D 0 1 2 设 a 为非零实数 函数 11 1 ax yxRx axa 且的反函数是 A B 11 1 ax yxRx axa 且 11 1 ax yxRx axa 且 C D 1 1 1 x yxRx ax 且 1 1 1 x yxRx ax 且 3 投掷两颗骰子 得到其向上的点数分别为 m 和 n 则复数 m ni n mi 为实数的概率为 A B 1 3 1 4 C D 1 6 1 12 4 函数的图象按向量平移到 的函数解析式为当cos 2 2 6 yx Fa F F yf x 为奇函数时 向量可以等于 yf x a 2 6 A 2 6 B 2 6 C 2 6 D 5 将甲 乙 丙 丁四名学生分到三个不同的班 每个班至少分到一名学生 且甲 乙两名 学生不能分到同一个班 则不同分法的种数为w w w k s 5 u c o m 18A 24B 30C 36D 6 设 则 2 22212 01212 2 2 nnn nn xaa xa xaxa x 22 024213521 lim nn n aaaaaaaa 1A 0B 1C 2 2 D 7 已知双曲线的准线过椭圆的焦点 则直线与椭圆至多有 22 1 22 xy 22 2 1 4 xy b 2ykx 一个交点的充要条件是 A B 1 1 2 2 K 11 22 K C D 22 22 K 22 22 K 8 在 家电下乡 活动中 某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇 现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型货车可供使用 每辆甲型货车运输费用 400 元 可装洗衣机 20 台 每辆乙型货车运 输费用 300 元 可装洗衣机 10 台 若每辆车至多只运一次 则该厂所花的最少运输费用为 A 2000 元 B 2200 元 C 2400 元 D 2800 元 9 设球的半径为时间 t 的函数 若球的体积以均匀速度 c 增长 则球的表面积的增长速 R t 度与球半径 A 成正比 比例系数为 C B 成正比 比例系数为 2C C 成反比 比例系数为 C D 成反比 比例系数为 2C 10 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 比如 w w w k s 5 u c o m 他们研究过图 1 中的 1 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形数 类似的 称图 2 中的 1 4 9 16 这样的数为正方形数 下列数中既是三角形数又是正方 形数的是 A 289 B 1024 C 1225 D 1378 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 25 分分 请将答案填在答题卡对应题号的位置请将答案填在答题卡对应题号的位置 上上 一题两空的题一题两空的题 其答案按先后次序填写其答案按先后次序填写 11 已知关于的不等式 0 的解集是 则 x 1 1 ax x 1 1 2 a 12 样本容量为 200 的频率分布直方图如图所示 根据样本的频率分布直方图估计 样本数据落 在内的频数为 数据落在内的概率约为 6 10 2 10 13 如图 卫星和地面之间的电视信号沿直线传播 电视信号能够传送到达的地面区域 称为这个 卫星的覆盖区域 为了转播 2008 年北京奥运会 我国发射了 中星九号 广播电视直播卫 星 它离地球表面的距离约为 36000km 已知地球半径约为 6400km 则 中星九号 覆盖 区域内的任意两点的球面距离的最大值约为 km 结果中保留反余弦的符号 14 已知函数则的值为 cossin 4 f xfxx 4 f 15 已知数列满足 m 为正整数 若 n a 1 a m 1 2 31 n n n nn a a a aa 当为偶数时 当为奇数时 6 a 1 则 m 所有可能的取值为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 10 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 一个盒子里装有 4 张大小形状完全相同的卡片 分别标有数 2 3 4 5 另一个盒子也 装有 4 张大小形状完全相同的卡片 分别标有数 3 4 5 6 现从一个盒子中任取一张卡片 其上面的数记为 x 再从另一盒子里任取一张卡片 其上面的数记为 y 记随机变量 求的分布列和数学期望 w w w k s 5 u c o m x y 17 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 已知向量 cos sin cos sin 1 0 aaa bc 求向量的长度的最大值 bc 设 且 求的值 a 4 abc cos 18 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥 S ABCD 的底面是正方形 SD平面 ABCD SD 2a 点 E 是 2ADa SD 上的点 且 02 DEa 求证 对任意的 都有 0 2 ACBE 设二面角 C AE D 的大小为 直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为 若 求的值w w w k s 5 u c o m tantan1 g 19 本小题满分 13 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 已知数列的前 n 项和 n 为正整数 n a 1 1 2 2 n nn Sa 令 求证数列是等差数列 并求数列的通项公式 2n nn ba n b n a 令 试比较与的大小 并予以证明 1 nn n ca n 12 nn Tccc n T 5 21 n n 20 本小题满分 14 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于 2 2 0 ypx p 00A aa M N 两点 自 M N 向直线作垂线 垂足分别为 w w w k s 5 u c o m l xa 1 M 1 N 当时 求证 2 p a 1 AM 1 AN 记 的面积分别为 是否存在 1 AMM 11 AM N 1 ANN 1 S 2 S 3 S 使得对任意的 都有成立 若存在 求出的值 若不存在 说明理由 0a 2 212 SS S 21 本小题满分 14 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 在 R 上定义运算 b c 为实常数 记 1 4 3 pqpcqbbc 令 2 1 2fc 2 2fb R 2 1 fff 如果函数在处有极什 试确定 b c 的值 f 1 4 3 求曲线上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点 yf 记的最大值为 若对任意的 b c 恒成立 试示 11g xfxx MMk 的最大值 k w w w k s 5 u c o m 2009 年高考湖北理科数学卷解析年高考湖北理科数学卷解析 1 答案 A 解析 因为代入选项可得故选 A 1 1 1 ambnn 1 1PQ 2 答案 D 解析 同文 2 3 答案 C 解析 因为为实数 22 2 mni nmimnnm i 所以故则可以取 1 26 共 6 种可能 所以 22 nm mn 11 66 61 6 P CC 4 答案 B 解析 同文科 7 5 答案 C 解析 用间接法解答 四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 顺序有种 2 4 C 3 3 A 而甲乙被分在同一个班的有种 所以种数是 3 3 A 233 433 30C AA 6 答案 B 解析 令得0 x 2 0 21 22 n n a 令时1x 2 0122 2 1 2 n n aaaa 令时1x 2 0122 2 1 2 n n aaaa 两式相加得 22 022 22 1 1 22 2 nn n aaa 两式相减得 22 1321 22 1 1 22 2 nn n aaa 代入极限式可得 故选 B 7 答案 A 解析 易得准线方程是 2 2 1 2 a x b 所以 即所以方程是 2222 41cabb 2 3b 22 1 43 xy 联立可得由可解得 A2 ykx 22 3 4k 16k 40 xx 0 8 答案 B 解析 同文 8 9 答案 D 解析 由题意可知球的体积为 则 由此可得 3 4 3 V tR t 2 4 cV tR t R t 而球的表面积为 4 c R t R t R t 2 4 S tR t 所以 2 4 8 vS tR tR t R t 表 即 故选 D 22 8 2 4 cc vR t R tR t R tR t R t R tR t 表 10 答案 C 解析 同文 10 11 答案 2 解析 由不等式判断可得 a 0 且不等式等价于 1 1 0a xx a 由解集特点可得 11 02 2 aa a 且 12 答案 64 0 4 解析 同文 15 13 答案 12800arccos 8 53 解析 如图所示 可得 AO 42400 则在 Rt ABO 中可得 cos AOB 8 53 所以 8 212800arccos 53 lRAOB R 14 答案 1 解析 因为所以 sincos 4 fxfxx sincos 4444 ff 故 21 4 f cossin 1 44444 fff 15 答案 4 5 32 解析 1 若为偶数 则为偶 故 1 am 1 2 a 2 23 a 224 amm a 当仍为偶数时 故 4 m 46 832 mm aa 132 32 m m 当为奇数时 4 m 43 3 311 4 aam 6 3 1 4 4 m a 故得 m 4 3 1 4 1 4 m O B C A O B C A 2 若为奇数 则为偶数 故必为偶数 1 am 21 3131aam 3 31 2 m a 所以 1 可得 m 5 6 31 16 m a 31 16 m 16 解析 依题意 可分别取 6 11 取 则有5 1123 5 6 7 4 4161616 4321 8 9 10 11 16161616 ppp pppp 的分布列为 567891011 p 1 16 2 16 3 16 4 16 3 16 2 16 1 16 1234321 5678910118 16161616161616 E 17 解析 1 解法 1 则 cos1 sin bc 222 cos1 sin2 1 cos bc 即 w w w k s 5 u c o m 2 1cos1 0 4 bc0 2 bc 当时 有所以向量的长度的最大值为 2 cos1 2 bc bc 解法 2 1 b 1 c 2 bc b c 当时 有 即 cos1 2 0 bc 2 bc 的长度的最大值为 2 bc 2 解法 1 由已知可得 cos1 sin bc coscossinsincoscos cos Aa bc 即 a b c 0abc cos cos 由 得 即 4 cos cos 44 2 44 kkz 于是 w w w k s 5 u c o m 22 4 kkkz 或 cos0cos1 或 解法 2 若 则 又由 得 4 22 22 a cos sin b 1 0 c 22222 cos1 sin cossin 22222 abc 即a b c 0abc cos cos1 0 平方后化简得 w w w k s 5 u c o m sin1cos cos cos1 0 解得或 经检验 即为所求cos0 cos1 cos0cos1 或 18 证法 1 如图 1 连接 BE BD 由地面 ABCD 是正方形可得 AC BD SD 平面 ABCD BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影 AC BE 解法 1 如图 1 由 SD 平面 ABCD 知 DBE SD 平面 ABCD CD平面 ABCD SD CD 又底面 ABCD 是正方形 CD AD 而 SD AD D CD 平面 SAD 连接 AE CE 过点 D 在平面 SAD 内作 DE AE 于 F 连接 CF 则 CF AE 故 CDF 是二面角 C AE D 的平面角 即 CDF 在 Rt BDE 中 BD 2a DE a tan 2 DE BD 在 Rt ADE 中 2 2 2ADa DEaAEa 从而 2 2 2 AD DEa DF AE 在中 w w w k s 5 u c o m Rt CDF 2 2 tan CD DF 由 得 tantan1 2 22 2 1222 2 由 解得 即为所求 0 2 2 I 证法 2 以 D 为原点 的方向分别作为 x y z 轴的正方向建立如 DA DC DS 图 2 所示的空间直角坐标系 则 D 0 0 0 A 0 0 B 0 C 0 0 E 0 0 22a2a2aa 2 2 0 2 2 ACaaBEaaa w w w k s 5 u c o m 22 2200AC BEaaa 即 ACBE II 解法 2 由 I 得 2 0 0 2 2 2 EAaa ECaa BEaaa 设平面 ACE 的法向量为 n x y z 则由得nEAEC n 0 2xz0 z2n 2 0 2yz0 n EA n EC 即取 得 易知平面 ABCD 与平面 ADE 的一个法向量分别为 0 0 2 DCaDSa 与 0 2 0 w w w k s 5 u c o m 22 sin cos 422 DC n DS BE DSBEDCn 0 0 2 2 22 tantansincos2 2 422 由于 解得 即为所求 0 2 2 19 解析 I 在中 令 n 1 可得 即 1 1 2 2 n nn Sa 11 12 n Saa 1 1 2 a 当时 2n 21 1111 11 2 22 nn nnnnnnn SaaSSaa 11 n11 1 2a 21 2 nn nnn aaa n 即2 w w w k s 5 u c o m 11 2 1 n21 n nnnnn babbb n 即当时 b 又数列是首项和公差均为 1 的等差数列 11 21 ba n b 于是 1 1 12 2 n nnn n n bnnaa II 由 I 得 所以 11 1 2 n nn n can n 23 1111 23 4 1 2222 n n Tn K 2341 11111 2 3 4 1 22222 n n Tn K 由 得 w w w k s 5 u c o m 231 11111 1 1 22222 nn n Tn K 1 1 1 11 1 133 42 1 1 1 222 1 2 3 3 2 n n n n n n n n T 535 3 221 3 212212 21 n n nn nnnnn T nnn 于是确定的大小关系等价于比较的大小 5 21 n n T n 与221 n n 与 由 w w w k s 5 u c o m 2345 22 1 1 22 2 1 22 3 1 22 4 1 22 5 K 可猜想当证明如下 3221 n nn 时 证法 1 1 当 n 3 时 由上验算显示成立 2 假设时1nk 1 22 22 21 422 1 1 21 2 1 1 kk kkkkk g 所以当时猜想也成立1nk 综合 1 2 可知 对一切的正整数 都有3n 221 n n 证法 2 当时3n 0121011 2 1 1 2221 nnnnnn nnnnnnnnn CCCCCCCCCnn K 综上所述 当 当时1 2n 时 5 21 n n T n 3n 5 21 n n T n 20 题 本小题主要考察抛物线的定义和几何性质等平面解析几何的基础知识 考查综合运用 数学知识进行推理运算的能力 14 分 解 依题意 可设直线 MN 的方程为 则有 1122 xmya M x yN xy 12 Ma yNa y 由消去 x 可得 w w w k s 5 u c o m 2 2 xmya ypx 2 220ympyap 从而有 12 12 2 2 yymp y yap 于是 2 1212 22 xxm yyam pa 又由 可得 2 11 2ypx 2 12 2ypx 22 2 12 12 22 2 44 y yap x xa pp 如图 1 当时 点即为抛物线的焦点 为其准线 2 p a 0 2 p Al 2 p x 此时 可得 1112 22 PP MyNy 并由 2 12 y yp 证法 1 1112 AMp yANp y uuuu vuuuv Q 222 111211 0 AMANpy yppAMAN uuuu v uuuv 即 证法 2 11 12 AMAN yy KK pp Q w w w k s 5 u c o m 11 2 12 11 22 1 AMAN y yp KKAMAN pp 即 存在 使得对任意的 都有成立 证明如下 4 0a 2 213 4SS S 证法 1 记直