浙江省台州实验中学2017届高三（上）12月月考数学试卷（解析版）

第 1 页 共 23 页 2016 2017 学年浙江省台州实验中学高三 上 学年浙江省台州实验中学高三 上 12 月月考数学月月考数学 试卷试卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 40 分 在每小题给出的四个选分 在每小题给出的四个选 项中 只有一项是符合题目要求的 项中 只有一项是符合题目要求的 1 全集 U R A x 2 x 1 B x 1 x 3 则 B UA A x 1 x 3 B x 2 x 3 C x x 2 或 x 1 D x x 2 或 x 3 2 复数等于 A i B i C iD i 3 设 x y R 则 x y 0 是 x y 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充要条件D 既不充分又不必要条件 4 已知空间三条直线 l m n 若 l 与 m 异面 且 l 与 n 异面 则 A m 与 n 异面 B m 与 n 相交 C m 与 n 平行 D m 与 n 异面 相交 平行均有可能 5 某几何体的三视图如图所示 则它的体积为 A 8 B 8 C 8 2 D 第 2 页 共 23 页 6 已知 x y 满足约束条件 则 Z x2 y2 2x 1 的最小值是 A B C 2D 164 7 已知向量 cos sin cos sin 那么 A B C D 与 的夹角为 8 设双曲线的 个焦点为 F 虚轴的一个端点为 B 如果直线 FB 与该双曲线的 一条渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 A B C D 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 前小题 前 4 题每题两空 每空题每题两空 每空 3 分 后分 后 3 题每空题每空 4 分 分 共共 36 分 分 9 设等差数列 an 中 S3 42 S6 57 则 an 当 Sn取最大值时 n 10 展开式中只有第六项二项式系数最大 则 n 展开式中的 常数项是 11 已知随机变量 的分布列如图所示 则函数 a E 0 1 2 P 0 30 4 a 12 设函数 f x 若 f a 则 a 若方程 f x b 0 有三个不同的实根 则实数 b 的取值范围是 13 设 x y R 且 1 则 x y 的最小值为 14 已知矩形 ABCD 的面积为 8 当矩形周长最小时 沿对角线 AC 把 ACD 与 折起 则三棱锥 D ABC 的外接球的体积为 第 3 页 共 23 页 15 已知直线 y a 交抛物线 y x2于 A B 两点 若该抛物线上存在点 C 使得 ACB 为直角 则 a 的取值范围为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演分 解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤 算步骤 16 已知函数 且函数 f x 的最小正周期为 求函数 f x 的解析式 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 若 f B 1 且 a c 4 试求 b2的值 17 如图 已知长方形 ABCD 中 AB 2 AD 1 M 为 DC 的中点 将 ADM 沿 AM 折起 使得平面 ADM 平面 ABCM 求证 AD BM 点 E 是线段 DB 上的一动点 当二面角 E AM D 大小为时 试确定点 E 第 4 页 共 23 页 的位置 18 已知函数 f x x3 ax2 bx c 在 x 与 x 1 时都取得极值 1 求 a b 的值与函数 f x 的单调区间 2 若对 x 1 2 不等式 f x c2恒成立 求 c 的取值范围 19 已知椭圆的离心率为 以原点为圆心 椭圆的短 半轴为半径的圆与直线相切 又设 P 4 0 A B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点 连接 PB 交椭圆 C 于另一点 E 1 求椭圆 C 的方程 2 证明 直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q 3 求的取值范围 20 已知正数数列 an 的前 n 项和为 Sn 满足 an2 Sn Sn 1 n 2 a1 1 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn 1 an 2 a 1 an 若 bn 1 bn对任意 n N 恒成立 求实数 a 的取 第 5 页 共 23 页 值范围 第 6 页 共 23 页 2016 2017 学年浙江省台州实验中学高三 上 学年浙江省台州实验中学高三 上 12 月月月月 考数学试卷考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 40 分 在每小题给出的四个选分 在每小题给出的四个选 项中 只有一项是符合题目要求的 项中 只有一项是符合题目要求的 1 全集 U R A x 2 x 1 B x 1 x 3 则 B UA A x 1 x 3 B x 2 x 3 C x x 2 或 x 1 D x x 2 或 x 3 考点 补集及其运算 并集及其运算 分析 由全集 R 和集合 A 求出集合 A 的补集 然后把集合 A 的补集和集合 B 的解集画在数轴上 根据并集的意义即可求出集合 B 和集合 A 补集的并集 解答 解 由全集 U R A x 2 x 1 得到 UA x x 2 或 x 1 又 B x 1 x 3 根据题意画出图形 如图所示 则 B UA x x 2 或 x 1 故选 C 2 复数等于 A i B i C iD i 考点 复数的代数表示法及其几何意义 分析 直接利用复数的除法运算化简求值 第 7 页 共 23 页 解答 解 故选 D 3 设 x y R 则 x y 0 是 x y 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充要条件D 既不充分又不必要条件 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 分析 根据不等式的性质结合 充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要 性即可 解答 解 x y 0 一定能推出 x y 当 x y 当 x 2 时 y 1 时 成立 则推不出 x y 0 故 x y 0 是 x y 的充分非必要条件 故选 A 4 已知空间三条直线 l m n 若 l 与 m 异面 且 l 与 n 异面 则 A m 与 n 异面 B m 与 n 相交 C m 与 n 平行 D m 与 n 异面 相交 平行均有可能 考点 平面的基本性质及推论 分析 可根据题目中的信息作图判断即可 解答 解 空间三条直线 l m n 若 l 与 m 异面 且 l 与 n 异面 m 与 n 可能异面 如图 3 也可能平行 图 1 也可能相交 图 2 故选 D 第 8 页 共 23 页 5 某几何体的三视图如图所示 则它的体积为 A 8 B 8 C 8 2 D 考点 由三视图求面积 体积 分析 三视图中长对正 高对齐 宽相等 由三视图想象出直观图 一般需 从俯视图构建直观图 该几何体为正方体内挖去一个圆锥 解答 解 由题意可知 该几何体为正方体内挖去一个圆锥 正方体的边长为 2 圆锥的底面半径为 1 高为 2 则正方体的体积为 V1 23 8 圆锥的体积为 V2 12 2 则该几何体的体积为 V 8 故选 A 第 9 页 共 23 页 6 已知 x y 满足约束条件 则 Z x2 y2 2x 1 的最小值是 A B C 2D 164 考点 简单线性规划 分析 先根据约束条件画出可行域 再利用几何意义求最值 z x2 y2表示点 1 0 到可行域的点的距离的平方 故只需求出点 1 0 到可行域的距离 的最小值即可 解答 解 如图 作出约束条件可行域 Z x2 y2 2x 1 Z x 1 2 y2是点 x y 到 1 0 的距离的平方 故最小值为原点到直线 x 2y 3 0 的距离的平方 即为 故选 B 7 已知向量 cos sin cos sin 那么 第 10 页 共 23 页 A B C D 与 的夹角为 考点 数量积判断两个平面向量的垂直关系 分析 根据向量的模的计算公式可知 与 都是单位向量 方向任意 可判定 B D 的真假 根据向量数量积可判定选项 A D 的真假 解答 解 cos sin cos sin cos cos sin sin cos 不一定为 0 故选项 A 不正确 与 都是单位向量 方向任意 故选项 B 不正确 0 故选项 C 正确 与 的夹角任意 故选项 D 不正确 故选 C 8 设双曲线的 个焦点为 F 虚轴的一个端点为 B 如果直线 FB 与该双曲线的 一条渐近线垂直 那么此双曲线的离心率为 A B C D 考点 双曲线的简单性质 两条直线垂直的判定 分析 先设出双曲线方程 则 F B 的坐标可得 根据直线 FB 与渐近线 y 垂直 得出其斜率的乘积为 1 进而求得 b 和 a c 的关系式 进而根据双曲 线方程 a b 和 c 的关系进而求得 a 和 c 的等式 则双曲线的离心率可得 解答 解 设双曲线方程为 则 F c 0 B 0 b 直线 FB bx cy bc 0 与渐近线 y 垂直 所以 即 b2 ac 第 11 页 共 23 页 所以 c2 a2 ac 即 e2 e 1 0 所以或 舍去 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 小题 前小题 前 4 题每题两空 每空题每题两空 每空 3 分 后分 后 3 题每空题每空 4 分 分 共共 36 分 分 9 设等差数列 an 中 S3 42 S6 57 则 an 20 3n 当 Sn取最大值时 n 6 考点 等差数列的前 n 项和 分析 设等差数列 an 的公差为 d 由 S3 42 S6 57 可得 3a1 d 42 d 57 解出可得 an 令 an 0 解得 n 即可得出 解答 解 设等差数列 an 的公差为 d S3 42 S6 57 3a1 d 42 d 57 解得 a1 17 d 3 则 an 17 3 n 1 20 3n 令 an 20 3n 0 解得 n 6 当 Sn取最大值时 n 6 故答案为 20 3n 6 10 展开式中只有第六项二项式系数最大 则 n 10 展开式中 的常数项是 180 考点 二项式系数的性质 分析 由展开式中只有第六项二项式系数最大 可得 n 10 再利 第 12 页 共 23 页 用的通项公式即可得出 解答 解 展开式中只有第六项二项式系数最大 n 10 的通项公式 Tr 1 2r 解得 r 2 常数项为 180 故答案为 10 180 11 已知随机变量 的分布列如图所示 则函数 a 0 3 E 1 0 1 2 P 0 30 4 a 考点 离散型随机变量及其分布列 分析 根据随机变量的概率和为 1 求出 a 的值 再计算数学期望 E 解答 解 根据随机变量 的分布列知 0 3 0 4 a 1 解得 a 0 3 所以 E 0 0 3 1 0 4 2 0 3 1 故答案为 0 3 1 12 设函数 f x 若 f a 则 a 或 若方程 f x b 0 有三个不同的实根 则实数 b 的取值范围是 0 考点 根的存在性及根的个数判断 分析 通过讨论 a 0 a 0 得到关于 a 的方程 求出 a 的值即可 求出 f x 的值域 问题转化为 b f x 的交点问题 求出 b 的范围即可 解答 解 若 4a2 解得 a 第 13 页 共 23 页 若 a2 a 解得 a 故 a 或 x 0 时 f x 0 x 0 时 f x f x 的最小值是 若方程 f x b 0 有三个不同的实根 则 b f x 有 3 个交点 故 b 0 故答案为 或 0 13 设 x y R 且 1 则 x y 的最小值为 16 考点 基本不等式 分析 将 x y R 且 1 代入 x y x y 展开后应用基本 不等式即可 解答 解 1 x y R x y x y 10 10 2 16 当且仅 当 x 4 y 12 时取 故答案为 16 14 已知矩形 ABCD 的面积为 8 当矩形周长最小时 沿对角线 AC 把 ACD 与 折起 则三棱锥 D ABC 的外接球的体积为 考点 球的体积和表面积 第 14 页 共 23 页 分析 先利用基本不等式 确定矩形周长最小时 矩形为正方形 求得边长 再利用沿对角线 AC 把 ACD 折起 则三棱锥 D ABC 的外接球的球心为 AC 的中 点 求得半径 根据球的体积公式 即可求得结论 解答 解 设矩形 ABCD 的边长分别为 x y 则 xy 8 矩形周长为 2 x y 4 8 当且仅当 x y 2时 矩形周长最小 沿对角线 AC 把 ACD 折起 则三棱锥 D ABC 的外接球的球心为 AC 的中点 AC 4 球的半径为 2 三棱锥 D ABC 的外接球的体积等于 23 故答案为 15 已知直线 y a 交抛物线 y x2于 A B 两点 若该抛物线上存在点 C 使得 ACB 为直角 则 a 的取值范围为 1 考点 直线与圆锥曲线的关系 分析 如图所示 可知 A B 设 C m m2 由该抛物 线上存在点 C 使得 ACB 为直角 可得 0 即可得到 a 的取值范围 解答 解 如图所示 可知 A B 设 C m m2 该抛物线上存在点 C 使得 ACB 为直角 化为 m2 a m2 a 2 0 m m2 a 1 0 解得 a 1 a 的取值范围为 1 故答案为 1 第 15 页 共 23 页 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 5 小题 共小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演分 解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤 算步骤 16 已知函数 且函数 f x 的最小正周期为 求函数 f x 的解析式 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别为 a b c 若 f B 1 且 a c 4 试求 b2的值 考点 解三角形 三角函数中的恒等变换应用 由 y Asin x 的部分图 象确定其解析式 分析 将三角函数化简 由函数 f x 的最小正周期求出 的值 从 而可得函数 f x 的解析式 在 ABC 中 f B 1 可求 B 根据 可得 ac 3 利 用 a c 4 可得 a2 c2 16 6 利用余弦定理可求 b2的值 解答 解 sin x cos x 1 2sin x 1 函数 f x 的最小正周期为 2 f x 2sin 2x 1 第 16 页 共 23 页 在 ABC 中 f B 1 则 2sin 2B 1 2B B accos ac 3 a c 4 a2 c2 16 6 b2 a2 c2 2accos 16 9 17 如图 已知长方形 ABCD 中 AB 2 AD 1 M 为 DC 的中点 将 ADM 沿 AM 折起 使得平面 ADM 平面 ABCM 求证 AD BM 点 E 是线段 DB 上的一动点 当二面角 E AM D 大小为时 试确定点 E 的位置 考点 与二面角有关的立体几何综合题 分析 先证明 BM AM 再利用平面 ADM 平面 ABCM 证明 BM 平 面 ADM 从而可得 AD BM 作出二面角 E AM D 的平面角 利用二面角 E AM D 大小为时 即可确 定点 E 的位置 解答 证明 长方形 ABCD 中 AB 2 AD 1 M 为 DC 的中点 AM BM BM AM 平面 ADM 平面 ABCM 平面 ADM 平面 ABCM AM BM 平面 ABCM 第 17 页 共 23 页 BM 平面 ADM AD 平面 ADM AD BM 过点 E 作 MB 的平行线交 DM 于 F BM 平面 ADM EF 平面 ADM 在平面 ADM 中 过点 F 作 AM 的垂线 垂足为 H 则 EHF 为二面角 E AM D 平 面角 即 EHF 设 FM x 则 DF 1 x FH 在直角 FHM 中 由 EFH EHF 可得 EF FH EF MB MB 当 E 位于线段 DB 间 且时 二面角 E AM D 大小为 18 已知函数 f x x3 ax2 bx c 在 x 与 x 1 时都取得极值 1 求 a b 的值与函数 f x 的单调区间 2 若对 x 1 2 不等式 f x c2恒成立 求 c 的取值范围 考点 利用导数研究函数的极值 函数恒成立问题 利用导数研究函数的单 调性 第 18 页 共 23 页 分析 1 求出 f x 因为函数在 x 与 x 1 时都取得极值 所以得到 f 0 且 f 1 0 联立解得 a 与 b 的值 然后把 a b 的值代入求得 f x 及 f x 然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间 2 根据 1 函数的单调性 由于 x 1 2 恒成立求出函数的最大值值为 f 2 代入求出最大值 然后令 f 2 c2列出不等式 求出 c 的范围即可 解答 解 1 f x x3 ax2 bx c f x 3x2 2ax b 由解得 f x 3x2 x 2 3x 2 x 1 函数 f x 的单调区间如下表 x 1 1 1 f x 0 0 f x 极大值 极小值 所以函数 f x 的递增区间是 和 1 递减区间是 1 2 当 x 时 f x c 为极大值 而 f 2 2 c 所以 f 2 2 c 为最大 值 要使 f x c2对 x 1 2 恒成立 须且只需 c2 f 2 2 c 解得 c 1 或 c 2 第 19 页 共 23 页 19 已知椭圆的离心率为 以原点为圆心 椭圆的短 半轴为半径的圆与直线相切 又设 P 4 0 A B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点 连接 PB 交椭圆 C 于另一点 E 1 求椭圆 C 的方程 2 证明 直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q 3 求的取值范围 考点 直线与圆锥曲线的综合问题 平面向量数量积的运算 直线与圆的位 置关系 分析 1 利用以原点为圆心 椭圆的短半轴为半径的圆与直线相 切 可求 b 的值 再利用椭圆的离心率为 即可求出椭圆 C 的方程 2 设 A x0 y0 B x0 y0 将直线 PB y 代入椭圆 可得 3 x2 12 0 从而可得 E 的坐 标 从而可得直线 AE 的方程 进而可知直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q 3 由 2 知 x1 x0 x1x0 y1y0 x1x0 y1y0 从而可得 设 5 2x0 t 进而可确定 的取值范围 解答 1 解 以原点为圆心 椭圆的短半轴为半径的圆与直线 相切 b 椭圆的离心率为 第 20 页 共 23 页 椭圆 C 的方程为 2 证明 设 A x0 y0 B x0 y0 将直线 PB y