陈文灯主编《微积分》第一章作业解答

1 第一章作业解答 A1 1 相同 两个函数的定义域相同 对应法则相同 2 不同 第一个函数是第二个函数是 xy xxy 2 二者的对应法则不同 两个函数不相同 3 不同 第一个函数是第二个函数是 0 2 x x x x x y1 y 定义域为 R 定义域不同 对应法则不同 2 1 1 2 1 1 1 arcsin x x x x y 解 定义域为 1 1 2 xytanlg 解 由图像得定义域为 0tan x 2 kkzk 3 12 2 xx x y 解 则 012 0 12 2 2 xx xx x 21 02121 x xxx 则 21 21 021 x xx 则定义域为 21 0 21 8 解 成本函数为 C xbx 设商品的需求函数为 则有qcbp 解得 1000 13000 9 cad cad 3000 4000 cd a 2 所以需求函数为 解得 3000 4000qp a 4000 3000 q a p 收益函数为 4000 3000 x a R xpxx 利润函数为 4000 3000 ax L xR xC xxb 9 设该电器的线性需求函数为 qabp 可得 10001200 15001000 ab ab 4000 40002 5 2 5 a qp b 收益函数为 2 4000 0 410000 2 5 x R xpxxxx 13 1 同阶无穷小量 0121lim 2 lim 3 0 4 0 x x xx xx 的同阶无穷小量 是xxx 4 2 2 高阶无穷小量 0 1 limlim 00 x x x x e x xxe 的高阶无穷小量 是xxxe x 3 高阶无穷小量 0 0 无穷小量乘以有 x x x x x xx 1 sinlim 1 sin lim 0 2 0 界量为无穷小量 的高阶无穷小量 是x x x 1 sin 2 17 正确 81 12 1lim 1 lim 2 2 2 2 22 x x x x xx 连续 18 第一个等号 19 1 nn n n 2 2 lim 解 原式 2 1 1 2 lim n n 3 2 1sinsinlim nn n 解 原式 2 1 sin 2 1 cos2lim nnnn n 12 11 sin 2 1 coslim2 nn nnnnnn n 12 1 sin 2 1 coslim nn nn n 0 无穷小量乘以有界量还是无穷小量 3 1 1 2lim 1 x n 解 原式 2 11 1 2 5 4 1 1 43 1 32 1 21 1 lim nn n 解 原式 1 11 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1lim nn n 1 1 1 1lim n n 5 14 86 12 131 lim x xx x 解 原式 14 14 8 8 6 6 12 131 lim x x x x x x x 14 8 14 86 2 3 1 2 1 3 1 1 lim x xx x 6 x txt x 2 2 0 lim 解 原式 txt x xxt x txttxt xxx 22lim 2 lim lim 000 7 1 38 lim 3 1 x x x 4 解 原式 381 1 38 38 lim 332 1 xx xxxx x 2 1 38 1 lim 381 11 lim 332 1 332 1 x xx xx xxx xx 20 1 x x x 2tan 3arcsin lim 0 解 原式 2 3 2 3 lim 0 x x x 2 n n n 3 sin3lim 解 原式 n n n 3 3 sin lim 3 1 2 1 lim x x x x 解 原式 1 2 32 lim x x x x 1 2 3 1lim x x x 1 2 3 3 2 3 2 1 1lim x x x xx 3 2 13 lim 2 3 1 lim eee x xx x x x x 4 3 sin cos21 lim 3 x x x 解 原式 3 sin cos 3 cos2 lim 3 sin cos 2 1 2 lim 33 x x x x xx 3 sin 2 3 sin 2 3 sin2 2 lim 3 x xx x 3 2sin 263 lim 3 x x x x 3 5 5 2 3 0 cos1 arctan lim x xx x 解 原式 2 2 1 lim 4 3 0 x xx x 6 x x x arcsin 31ln lim 0 解 原式 3 3 lim 0 x x x 21 1 x x xf tan 解 的定义域为 xf 2 kxkx且 但无意义 1 tan lim lim 00 x x xf xx 0f 为可去间断点 0 0 x 同理可得为可去间断点 2 0 kx 又时 0 kkx 当 xf kx lim 是无穷间断点 0 kkx 2 xx x xf 21 1ln 2 解 的定义域为 xf1 2 1 0 xxx 1 12 lim 21 lim 21 1ln limlim 0 2 0 2 00 x x xx x xx x xf xxxx 而无意义 为可去间断点 0f0 x 又 xfxfxf xx x 11 2 1 lim lim lim 为无穷间断点 2 1 1 xx 3 23 1 arctan 2 xx xf 解 的定义域为 xf 2 1 xx 6 23 1 arctan 2 xx xf 2 1 1 arctan xx 2 lim 2 lim 11 xfxf xx 2 lim 2 lim 22 xfxf xx 为跳跃间断点 2 1 xx 22 证明 设 在上连续 0 sin aaxxxf 0 00 af 0 2 a 02 2sin 2 2sin 2 aaaaaf 因此方程在 0 0sin aaxx内有至少有一个根 0 2 a 0 0 2 a 所以方程 0 0sin aaxx 内至少有一个根 在 0 B4 解 0 1 1 2 xxx x f t xt x 11 则令 t t t t ttt tf 11111 1 1 22 2 x x xf 11 2 5 解 x yx x y f 22 2 1 x y 令xtyt x y 则 2 1ttf 2 1xxf 6 解 0 0 2 xx xx xf 0 2 0 2 xx xx xg 7 0 0 2 xgxg xgxg xgf 因为时 所以 0 xg x xxgxgf 因此 xgf 0 2 0 2 xx xx 0 2 0 2 xfxf xfxf xfg 即 xfg 0 2 0 2 2 xx xx 11 1 D 当为无穷小时 n x 1 0lim 1 lim 1 limlim nn x n x nn n x n x yx x yx x y A 设 发散 收敛 2 1 n ynx nn n x n y B 设 均无界 nynx n n n n 2 1 1 2 1 1 1 n x n y C 设 有界 为无穷大 ny n x nn 1 2 n x n y 2 B 在点的某个邻域内有定义且是它的间断点 xf 0 x 0 x 必有不存在 或 lim 0 xf xx lim 0 0 xfxf xx A 连续 间断 可能连续 例 sgnx sinx B 连续 间断 间断 C 间断 间断 可能连续 D 间断 可能连续 3 B n n n n x x x x xf 1 1 lim 1 1 lim 22 8 10 11 111 10 x x xx x xf 在处1 x 由于 0 1 f0 lim 1 xf x 0 lim 1 xf x 所以函数在连续1 x 在处1 x 由于 0 1 f2 1 lim lim 01 xxf xx 00lim lim 11 xx xf 所以是间断点 1 x 4 D 假设处处连续 则处处连续 这 xf xg xF xfxFxf xf xg xg 与有间断点矛盾 xg 13 解 0 1 0 sin 2 2 x x x x x xx xf 的定义域为 为负整数 xf kx k 在 处0 x 22 lim 2 lim sin 2 limlim 0000 x x xx x xx xf xxxx 0 1 limlim 2 00 x x xf xx xfxf xx 00 limlim 是跳跃间断点 0