因式分解的常用方法及练习题

1 因式分解的常用方法因式分解的常用方法 一 提公因式法一 提公因式法 ma mb mc m a b c 二 公式法二 公式法 在整式的乘 除中 我们学过若干个乘法公式 现将其反向使用 即为因式分解中常用的公式 例如 1 平方差公式 a b a b a2 b2 2 完全平方公式 a b 2 a2 2ab b2 3 立方和公式 a3 b3 a b a2 ab b2 4 立方差公式 a3 b3 a b a2 ab b2 5 完全立方公式 a b a 3a b 3ab b 下面再补充两个常用的公式 6 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca a b c 2 7 a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca 三 十字相乘法三 十字相乘法 一 二次项系数为 1 的二次三项式 直接利用公式 进行分解 2 qxpxpqxqpx 特点 1 二次项系数是 1 2 常数项是两个数的乘积 3 一次项系数是常数项的两因数的和 例 5 分解因式 65 2 xx67 2 xx 练习 5 分解因式 1 2 3 2414 2 xx3615 2 aa54 2 xx 练习 6 分解因式 1 2 3 2 2 xx152 2 yy2410 2 xx 二 二次项系数不为 1 的二次三项式 cbxax 2 条件 1 21a aa 1 a 1 c 2 21c cc 2 a 2 c 3 1221 cacab 1221 cacab 分解结果 分解结果 cbxax 2 2211 cxacxa 2 例 7 分解因式 10113 2 xx 练习 7 分解因式 1 2 675 2 xx273 2 xx 3 4 31710 2 xx10116 2 yy 三 二次项系数为 1 的齐次多项式 例 8 分解因式 22 1288baba 分析 将看成常数 把原多项式看成关于的二次三项式 利用十字相乘法进行分解 ba 1 8b 1 16b 8b 16b 8b 解 22 1288baba 16 8 16 8 2 bbabba 16 8 baba 练习 8 分解因式 1 2 3 22 23yxyx 22 86nmnm 22 6baba 四 二次项系数不为 1 的齐次多项式 例 9 例 10 22 672yxyx 23 22 xyyx 1 2y 把看作一个整体 1 1 xy 2 3y 1 2 3y 4y 7y 1 2 3 解 原式 解 原式 32 2 yxyx 2 1 xyxy 练习 9 分解因式 1 2 22 4715yxyx 86 22 axxa 3 综合练习 10 1 2 178 36 xx 22 151112yxyx 3 4 10 3 2 yxyx344 2 baba 5 6 2222 65xyxyx 26344 22 nmnmnm 7 8 34244 22 yxyxyx 2222 10 23 5bababa 9 10 103644 22 yyxxyx 2222 2 11 12yxyxyx 四 分组分解法四 分组分解法 一 分组后能直接提公因式 例 1 分解因式 bnbmanam 分析 从 整体 看 这个多项式的各项既没有公因式可提 也不能运用公式分解 但从 局部 看 这 个多项式前两项都含有 a 后两项都含有 b 因此可以考虑将前两项分为一组 后两项分为一组先分解 然后再考虑两组之间的联系 解 原式 bnbmanam 每组之间还有公因式 nmbnma banm 例 2 分解因式 bxbyayax 5102 解法一 第一 二项为一组 解法二 第一 四项为一组 第三 四项为一组 第二 三项为一组 解 原式 原式 5 102 bxbyayax 510 2 byaybxax 5 5 2yxbyxa 2 5 2 baybax 2 5 bayx 5 2 yxba 4 练习 分解因式 1 2 bcacaba 2 1 yxxy 二 分组后能直接运用公式 例 3 分解因式 ayaxyx 22 分析 若将第一 三项分为一组 第二 四项分为一组 虽然可以提公因式 但提完后就能继续分解 所 以只能另外分组 例 4 分解因式 222 2cbaba 解 原式 解 原式 22 ayaxyx 222 2 cbaba yxayxyx 22 cba ayxyx cbacba 练习 分解因式 3 4 yyxx39 22 yzzyx2 222 综合练习 1 2 3223 yxyyxx baaxbxbxax 22 3 4 181696 222 aayxyxabbaba49126 22 5 6 92 234 aaaybxbyaxa 2222 44 7 8 22 2yyzxzxyx 1222 22 abbbaa 5 9 10 1 1 2 mmyy 2 abbcaca 五 换元法 五 换元法 例 13 分解因式 1 2005 12005 2005 22 xx 2 2 6 3 2 1 xxxxx 解 1 设 2005 则原式 aaxaax 1 22 1 axax 2005 12005 xx 2 型如的多项式 分解因式时可以把四个因式两两分组相乘 eabcd 原式 222 65 67 xxxxx 设 则Axx 65 2 xAxx267 2 原式 2 2 xAxA 22 2xAxA 2 xA 22 66 xx 练习 13 分解因式 1 2 4 22222 yxxyyxyx 90 384 23 22 xxxx 六 添项 拆项 配方法 六 添项 拆项 配方法 例 15 分解因式 1 43 23 xx 解法 1 拆项 解法 2 添项 原式 原式 331 23 xx4443 23 xxxx 1 1 3 1 1 2 xxxxx 44 43 2 xxxx 331 1 2 xxxx 1 4 4 1 xxxx 44 1 2 xxx 44 1 2 xxx 2 2 1 xx 2 2 1 xx 练习 15 分解因式 1 2 3 4224 1 1 1 xxx17 24 xx 224 12aaxxx 6 第二部分 习题大全 经典一 一 填空题 1 把一个多项式化成几个整式的 的形式 叫做把这个多项式分解因式 2 分解因式 m3 4m 3 分解因式 x2 4y2 4 分解因式 2 44xx 5 将 xn yn分解因式的结果为 x2 y2 x y x y 则 n 的值为 6 若 则 5 6xyxy 22 x yxy 22 22xy 二 选择题 7 多项式的公因式是 32223 15520m nm nm n A B C D 5mn 22 5m n 2 5m n 2 5mn 8 下列各式从左到右的变形中 是因式分解的是 A B 2 339aaa 22 ababab C D 2 4545aaa a 2 3 232mmm m m 10 下列多项式能分解因式的是 A x2 y B x2 1 C x2 y y2 D x2 4x 4 11 把 x y 2 y x 分解因式为 A x y x y 1 B y x x y 1 C y x y x 1 D y x y x 1 12 下列各个分解因式中正确的是 A 10ab2c 6ac2 2ac 2ac 5b2 3c B a b 2 b a 2 a b 2 a b 1 C x b c a y a b c a b c b c a x y 1 D a 2b 3a b 5 2b a 2 a 2b 11b 2a 13 若 k 12xy 9x2是一个完全平方式 那么 k 应为 A 2 B 4 C 2y2 D 4y2 三 把下列各式分解因式 14 15 22 94nm nxny 16 17 m mnn nm 322 2aa bab 7 18 19 22 16 9nmnm 2 22 416xx 五 解答题 20 如图 在一块边长 6 67cm 的正方形纸片中 挖去一个边长 3 33cm 的正方形 求纸片剩余部分的 ab 面积 21 如图 某环保工程需要一种空心混凝土管道 它的规格是内径 外径长 45dcm 75Dcm 3lm 利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土 取 3 14 结果保留 2 位有效数字 22 观察下列等式的规律 并根据这种规律写出第 5 个等式 2 42 842 16842 1 111 2 1111 3 11111 4 111111 5 xxx xxxx xxxxx xxxxxx 1 分解因式 1 y 2x 1 y x4 1 y 2 证明 对于任何数 x y 下式的值都不会为 33 x5 3x4y 5x3y2 4xy4 12y5 因式分解小结 l d D 8 因式分解的一般步骤是 1 通常采用一 提 二 公 三 分 四 变 的步骤 即首先看有无公因式可提 其次看能否 直接利用乘法公式 如前两个步骤都不能实施 可用分组分解法 分组的目的是使得分组后有公因式可提 或可利用公式法继续分解 2 若上述方法都行不通 可以尝试用配方法 换元法 待定系数法 试除法 拆项 添项 等方法 1 通过基本思路达到分解多项式的目的 例 1 分解因式 分析 这是一个六项式 很显然要先进行分组 此题可把分别看成一组 此时六项式变成二项式 提取公因式后 再进一步分解 也可把 分别看成一组 此时的六项式变成三项式 提取公因式后再进行分解 解一 原式 解二 原式 2 通过变形达到分解的目的 例 1 分解因式 解一 将拆成 则有 解二 将常数拆成 则有 9 3 在证明题中的应用 例 求证 多项式的值一定是非负数 分析 现阶段我们学习了两个非负数 它们是完全平方数 绝对值 本题要证明这个多项式是非负数 需要变形成完全平方数 证明 设 则 4 因式分解中的转化思想 例 分解因式 分析 本题若直接用公式法分解 过程很复杂 观察 a b b c 与 a 2b c 的关系 努力寻找一种代换 的方法 解 设 a b A b c B a 2b c A B 说明 在分解因式时 灵活运用公式 对原式进行 代换 是很重要的 10 中考点拨 1 在中 三边 a b c 满足 求证 2 若 x 为任意整数 求证 的值不大于 100 3 将 试卷 因式分解 一 填空 30 分 1 若是完全平方式 则的值等于 16 3 2 2 xmxm 2 则 3 与的公因式是 22 nxmxx mn 23 2yxyx612 4 若 则 m n nm yx 4222 yxyxyx 5 在多项式中 可以用平方差公式分解因式的 235 3515yyy 有 其结果是 6 若是完全平方式 则 m 7 16 3 2 2 xmx 2 2 2 xxxx 8 已知则 01 200520042 xxxx 2006 x 9 若是完全平方式 M 25 16 2 Mba 11 10 22 3 6 xxx 22 3 9 xx 11 若是完全平方式 则 k 14 若则 22 9ykx 6 4 22 yxyx xy 12 若的值为 0 则的值是 44 2 xx5123 2 xx 13 若则 15 方程 的解是 15 1 15 2 xxaxxa04 2 xx 二 选择题 10 分 1 多项式的公因式是 xbxaabbxxaa A a B C D bxxaa xaa axa 2 若 则 m k 的值分别是 22 32 9 xkxmx A m 2 k 6 B m 2 k 12 C m 4 k 12 D m 4 k 12 3 下列名式 中能用平方差公 4422222222 yxyxyxyxyx 式分解因式的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4 计算的值是 10 1 1 9 1 1 3 1 1 2 1 1 2232 A B 2 1 20 11 10 1 20 1 DC 三 分解因式 30 分 1 2 3 4 234 352xxx 26 33xx 22 2 4 2 25xyyx 24 369yx 5 6 7 8 22 414yxyx xx 52 axabaxbxbx 2 8118 24 xx 12 四 代数式求值 15 分 1 已知 求 的值 3 1 2 yx2 xy 4334 2yxyx 2 若 x y 互为相反数 且 求 x y 的值4 1 2 22 yx 3 已知 求的值2 ba 8 22222 baba 五 计算 15 1 0 75 2 3 66 2 4 3 66 3 20002001 2 1 2 1 22 44222568562 六 试说明 8 分 1 对于任意自然数 n 都能被动 24 整除 22 5 7 nn 2 两个连续奇数的积加上其中较大的数 所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的