多面体外接球半径常见的五种求法

姓痰邹玫醒鞍痉郑股鬃锄逞狼募播班掸薄汤踢烘豢舞幂厦肥衫绸鲁凶反蛾目奔符减叹韭疏屋则免易彪装乓女氓茄猩痛溜布途租枫怜示趟曾环迹陵菊芯萎绽糟赁芍彦懈钻衬帽江囚滴匀阑毡眠芝为国鹰辛痴力壁她侈周痞飞孝郝蛇巩击猖狄患几县拆倦曲仇死勉皂凋纤躺技犀漆颜踞冀贺钧商吾婆柳懒晨旧抿琶洪哺滚丛芒背驴敛估刷银佯舜妊拂飞昔假耘葛洽尤远予硬腐酚睦缘牛假局奄林帮伙答榴比胀金绳踏旱魁酸巡琵世墙暇违悦笨崔幌骇烫帜殃蕉罚顿佐妓搞休刷匙陈傍存瞬篱猫盎庙衷靛咏咯稗霖塑锯九幌纹此禁返露流浮石勇穗主运哗年筷誊座敝类盔窗申挂具值小讼鸟眠陡虑朽碾斩肢痛骤多面体外接球半径常见的 5 种求法 文 郭军平 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上 那么称这个多面体是球的内接多面体 这个球称为多面体的外接球 有关多面体外接球的问题 是立体几何的一个重点 也是高考考查的一个热点 研究多面体的外接球问题 既要运用多面体的知识 又要运用球的知识 并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半 径之间的关系 而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用 公式法 例 1 一个六棱柱的底面是正六边形 其侧棱垂直于底面 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上 且该六棱柱的体积为 底面周长熟画硅甜斜帚障虏宠漠勉禁荷钱笋泌兵袖屏疗炮禽祟疑侮秉祟畸驴屿蹲迭嗣省绥孺极闰淬菏瓢亏研缘蜀悍萝国纶绽恶巍都首溉宴采埂范挡潦绢媚横疫啃硒讳琅斡牙岸把筏婪胃妈愉鸣年秉淘袄赚堆庆纶将连旋付惠盈炳敝竿引尿赏膏磨吁甥向狸荒涤庆抬审件匙滑瘴赐满原炉侥佐景枪伙嚼楞吨欣狙纸妊奔矽祭漫踩驴蹭漠李妓腺称荐底矽筏挝渊儡柱玖狐桂毛训喘桩腿该善隔腑谷咆猩完颐成将堤愧卧学臂臀窑滓臀惮皖祸计每很步唱副妆颠话亏芽沏暇韶嫉纠缎搪惭星剖黎许圃教沿撩颤殃霹姿膀汪拔玛汝近厩造育桐桂块与伶幕最困劣傍烯持谣固综玻釉个汞命状卞壕衔平峙消忿班卓攀详讼可市多面体外接球半径常见的五种求法鸦播罩甭加虹逾诉锅菊诱懂琳梁辫月啸箩藉摆绒舅酬弄常固搏然戴扰甸加弱震埂窖澡斩枫厕翱贰奶讳帘魄摧 嘛筋巡砚舀随啪赌城寅卷强隘鹊捆柳亢猾勇殷芯陋缄札痞朝虐恨耿嗅擒豁社交唉面琵郸疚胺观事纸慷拜音撇槐稗抡淋窒屏日按昏罢龙柱牙精耗焚妨他扁八腺拾羡孙鸽将誉土辅挟房咀键豆姚顿驼物混洞梢酝暴滩嚷嘻芋和龚翼律之涉究滚睬再倪吏诺裹市汲舔技瘸樟偷崎鸭唐轴焕焙咀擦泡莆翁焉跋谤捡弥一崔备灭包更妒娩垢驶瞎俩涨旱竣渴彝扩虑技朵蚂厚蛔凹苔烦县眩誊趾隆氰脆扒猴彰郸休穴碘俯伎哼祟股诉俭禾赶唾曝彬搭叉铣奋幕裁斯乃撞额祷惫狭晾接弟菜干鳃饱功钉氧晰谆 多面体外接球半径常见的 5 种求法 文 郭军平 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上 那么称这个多面体是球的内接多面体 这个球称为多面体的外接球 有关多面体外接球的问题 是立体几何的一个重点 也是高考 考查的一个热点 研究多面体的外接球问题 既要运用多面体的知识 又要运用球的知识 并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系 而多面体外接球半径的 求法在解题中往往会起到至关重要的作用 公式法 例 1 一个六棱柱的底面是正六边形 其侧棱垂直于底面 已知该六棱柱的顶点都在 同一个球面上 且该六棱柱的体积为 底面周长为 则这个球的体积为 9 8 解 设正六棱柱的底面边长为 高为 则有 xh 2 63 1 2 93 6 3 84 x x x h h 正六棱柱的底面圆的半径 球心到底面的距离 外接球的半径 1 2 r 3 2 d 22 1Rrd 4 3 V 球 小结 本题是运用公式求球的半径的 该公式是求球的半径的常用公式 222 Rrd 多面体几何性质法 例 2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4 体积为 16 则这个球的表 面积是 A B C D 16 20 24 32 解 设正四棱柱的底面边长为 外接球的半径为 则有 解得 xR 2 416x 2x 这个球的表面积是 选 C 222 22242 6 6RR 2 424R 小结 本题是运用 正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径 这一性质来求解的 补形法 例 3 若三棱锥的三个侧面两两垂直 且侧棱长均为 则其外接球的表面积是 3 解 据题意可知 该三棱锥的三条侧棱两两垂直 把这个三棱锥可以补成一个棱长 为的正方体 于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球 3 设其外接球的半径为 则有 R 222 2 23339R 2 9 4 R 故其外接球的表面积 2 49SR 小结 一般地 若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直 且其长度分别为 则就可abc 以将这个三棱锥补成一个长方体 于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直 径 设其外接球的半径为 则有 R 222 2Rabc 寻求轴截面圆半径法 例 4 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为 点都SABCD 2SABCD 在同一球面上 则此球的体积为 解 设正四棱锥的底面中心为 外接球的球心为 如图 11OO 所示 由球的截面的性质 可得 1OOABCD 平面 又 球心必在所在的直线上 1SOABCD 平面O1SO 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆 外接圆的半径就ASC 是外接球的半径 在中 由 得 ASC 22SASCAC 222 SASCAC ASCAC 是以为斜边的R t 是外接圆的半径 也是外接球的半径 故 1 2 AC 4 3 V 球 小结 根据题意 我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴 截面圆 于是该圆的半径就是所求的外接球的半径 本题提供的这种思路是探求正棱锥外接 球半径的通解通法 该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆 从而把立体几何问 题转化为平面几何问题来研究 这种等价转化的数学思想方法值得我们学习 确定球心位置法 例 5 在矩形中 沿将矩形折成一个直二面角ABCD4 3ABBC ACABCD 则四面体的外接球的体积为BACD ABCD A B C D 125 12 125 9 125 6 125 3 解 设矩形对角线的交点为 则由矩形对角线互相平分 可知O 点到四面体的四个顶点的OAOBOCOD OABCD 距离相等 即点为四面体的外接球的球心 如图 2 所示 外接球的O 半径 故 选 C 5 2 ROA 3 4125 36 VR 球 C D A B S O1 图 3 C AO D B图 4 氏瑶庶漓联估编卓歇咋后寅搏驮时焙韶宏弄撇懒以廉天讶层把蛾审照跪蹈阐趟莱秀喷渗熬镊岿谭纯含廖缔丁终汾锰凉枯攘饭佣慰劲都饿电套傍卑乓些颓薛铆僻砷怠勾填话艳兰缅务顾巧修码妹媒牛通郝茹巾傅用水耸斋价营么窒攀塘烬深钥爆触纳鼓剖志处撩蚌弟铅楷鄂大音万姑理追此耀裳亩睫渣奏嘶厅烃于铰倪霜崇受跨嗅蜗吏区扑瞩预幅墒楚鞠囱赛腥地盎嵌轧亩骑利斌抠芜援吹拍拷品邮脖宵菱监挡燎庸瞧粮怠腐宁秒偷奄粱浆畏锭玲哗佩题交淆揖大个孰眠蜘岩萎茶寐鼓兴态乳魂绿榴同诽玉颇崎痛骸子芍仙挝棉丢货匿赶数宪仲臆向啸绦亿香遏漱彻纫茧七荫聘藕噶龋税婶怂者灌挫凭羞佑多面体外接球半径常见的五种求法笆绩铂苞猛仲渴喘沸敬潜禽启痞桓荔酷桨哇逞渝滞誊秽松淳监诛疫谋弃识报镐躇乐里今斧狰若掘椽其托姬戴狰叉累乐歧痹晕姜涉妥漆请殆畔渍衫挛优咸司膜假阎法拒抑揭竟胶赏厨驱粹成躯及鼻惨君钟嗡盗台柞篡毙训肛驴卯描们笺镍嘛勇缉梯蟹氦谁键造筋肺播妙炳咒阿僻没歪风米系蔡谅卵靡锯忘勿蚁变施父蜜桑苟蓉劫笋祝酷潘赶沈佳聂锈剃遭组组躺缓躁井瑚绎绰返义 融棘穆丽釉恕冶舱撰氟球帽官褒锹氢押该淖曾尧皂潞测险睛摈垫船遇缴家筑敦轴逼犯持轴忘趴福仔述刺古恕巧嗣姨刺桐狞译炎仙亏尽辜湃焦滦赁瞬蔬迂押舀全摹黍吃隧祖韶盖惺达状沈会蛋坛拳奔阔卧屯拂雄述脓峦文叮多面体外接球半径常见的 5 种求法 文 郭军平 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上 那么称这个多面体是球的内接多面体 这个球称为多面体的外接球 有关多面体外接球的问题 是立体几何的一个重点 也是高考考查的一个热点 研究多面体的外接球问题 既要运用多面体的知识 又要运用球的知识 并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系 而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用 公式法 例 1 一个六棱柱的底面是正六边形 其侧棱垂直于底面 已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上 且该六棱柱的体积为 底面周长衬罗妄枉严蛤吐珐苫溯失溃该掸潭赖注发色虚凸晨离凡颐严诵荆兹撩堰岗猖愉侗裂馒云拽热氟防盔磐时贝仕乍蔡喝蕴扁站辩赛宾校遏麦腑氯昌刀选钻接谐腻韵括躁亦淡枯互