圆锥曲线共线向量问题

共线向量问题共线向量问题 解析几何中的向量共线 就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题 再通过未达定理 同类坐标变换 将问题解决 此类问题不难解决 例题例题 7 设过点 D 0 3 的直线交曲线 M 于 P Q 两点 且 求实数 22 1 94 xy DPDQl uuu ruuu r 的取值范围 l 分析分析 由可以得到 将 P x1 y1 Q x2 y2 代人曲线方程 解出DPDQl uuu ruuu r 12 12 3 3 xx yy l l 点的坐标 用表示出来 l 解 设 P x1 y1 Q x2 y2 x1 y1 3 x2 y2 3 即QDPDQl uuu ruuu r l 12 12 3 3 xx yy l l 方法一 方法一 方程组消元法 又P Q 是椭圆 1 上的点Q 2 9 x 2 4 y 22 22 22 22 1 94 33 1 94 xy xylll 消去 x2 可得 即 y2 222 2 22 33 1 4 yylll l 135 6 l l 又 2y22 22 解之得 Q 135 6 l l 1 5 5 则实数的取值范围是 l 1 5 5 方法二 方法二 判别式法 韦达定理法 配凑法 设直线 PQ 的方程为 3 0ykxk 由消 y 整理后 得 22 3 4936 ykx xy 22 49 54450kxkx P Q 是曲线 M 上的两点 22 54 4 45 49 kk 2 144800k 即 2 95k 由韦达定理得 1212 22 5445 4949 k xxx x kk 即 2 1212 1221 2 xxxx x xxx 222 2 54 1 45 49 k k 2 222 36944 1 5 1 99 k kk 由 得 代入 整理得 解之得 2 11 0 95k 2 369 1 5 1 5 1 5 5 当直线 PQ 的斜率不存在 即时 易知或 0 x 5 1 5 总之实数的取值范围是 l 1 5 5 方法总结 通过比较本题的第二步的两种解法 可知第一种解法 比较简单 第二种方法 是通性通法 但计算量较大 纵观高考中的解析几何题 若放在后两题 很多情况下能用 通性通法解 但计算量较大 计算繁琐 考生必须有较强的意志力和极强的计算能力 不 用通性通法 要求考生必须深入思考 有较强的思维能力 在命题人设计的框架中 找出 破解的蛛丝马迹 通过自己的思维将问题解决 例题例题 8 已知椭圆 C 的中心在原点 焦点在 x 轴上 它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点 离心率为 2 4 1 xy 5 52 1 求椭圆 C 的标准方程 2 过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A B 两点 交 y 轴于 M 点 若 求的值 AFMA 1 BFMB 2 21 分析 07 福建理科 如图 已知点 1 0 直线 l x 1 P 为平面上的动点 过作直FP 线 l 的垂线 垂足为点 且QQP QFFP FQ 求动点的轨迹 C 的方程 P 过点 F 的直线交轨迹 C 于 A B 两点 交直线 l 于点 M 已知 求的值 12 MAAF AFBF 12 小题主要考查直线 抛物线 向量等基础知识 考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特 征的基本方法 考查运算能力和综合解题能力 满分 14 分 解法一 解法一 设点 则 由得 P xy 1 Qy QP QFFP FQ AA 化简得 10 2 1 2 xyxyy AA 2 4C yx 设直线的方程为 AB1 0 xmym 设 又 11 A xy 22 B xy 2 1M m 联立方程组 消去得 故 2 4 1 yx xmy x 2 440ymy 2 4 120m 12 12 4 4 yym y y 由 得 1 MAAF 2 MBBF 整理得 111 2 yy m 222 2 yy m 1 1 2 1 my 2 2 2 1 my 12 12 211 2 myy 12 12 2 2 yy my y A 2 4 2 4 m m A0 解法二 解法二 由得 QP QFFP FQ AA 0FQ PQPF A 0PQPFPQPF A 22 0PQPF PQPF 所以点的轨迹是抛物线 由题意 轨迹的方程为 PCC 2 4yx 由已知 得 1 MAAF 2 MBBF 12 0 A 则 1 2 MAAF MBBF 过点分别作准线 的垂线 垂足分别为 AB l 1 A 1 B 则有 1 1 MAAAAF MBBBBF 由 得 即 1 2 AFAF BFBF 12 0 练习 练习 设椭圆 0 1 2 2 2 2 a y a x C的左 右焦点分别为 1 F 2 F A 是椭圆 C 上的 一点 且0 212 FFAF 坐标原点 O 到直线 1 AF的距离为 3 1 1 OF 1 求椭圆 C 的方程 2 设 Q 是椭圆 C 上的一点 过 Q 的直线 l 交 x 轴于点 0 1 P 较 y 轴于点 M 若 QPMQ2 求直线 l 的方程 山东山东 20062006 理理 双曲线C与椭圆有相同的焦点 直线y 为C的一条渐近线 22 1 84 xy x3 I 求双曲线C的方程 II 过点P 0 4 的直线 交双曲线C于A B两点 交x轴于Q点 Q点与C的顶点不重l 合 当 且时 求Q点的坐标 12 PQQAQB 3 8 21 解 解法一 由题意知直线 的斜率存在且不等于零 lk 设 的方程 l 11 4 ykxA x y 22 B xy 则 4 0 Q k 1 PQQA 111 44 4 xy kk 1 111 111 1 44 44 4 4 x kkx kk yy 在双曲线上 11 A x yC 2 1 2 11 11616 10 k 2222 11 16 1632160 3 kk 222 11 16 16 32160 3 kk 同理有 222 22 16 16 32160 3 kk 若则直线 过顶点 不合题意 2 160 k l 2 160 k 是二次方程的两根 12 222 16 16 32160 3 kxxk 12 2 328 163k 2 4k 此时 所求的坐标为 0 2k Q 2 0 解法二 由题意知直线 的斜率存在且不等于零lk 设 的方程 则 l 1122 4 ykxA x yB xy 4 0 Q k 分的比为 1 PQQA Q PA 1 由定比分点坐标公式得 1 1 11 11 11 1 11 44 1 1 44 0 1 x x kk y y 下同解法一 解法三 由题意知直线 的斜率存在且不等于零设 的方程 lkl 则 1122 4 ykxA x yB xy 4 0 Q k 12 PQQAQB 111222 444 4 xyxy kkk 又 1122 4yy 1 1 4 y 2 2 4 y 12 8 3 12 112 3yy 即 将代入得 1212 3 2yyy y 4ykx 2 2 1 3 y x 222 3 244830kyyk 否则 与渐近线平行 2 30k l 2 1212 22 24483 33 k yyy y kk 2 22 24483 32 33 k kk 2k 2 0 Q 解法四 由题意知直线 l 得斜率 k 存在且不等于零 设 的方程 l4ykx 则 1122 A x yB xy 4 0 Q k 1 PQQA 111 44 4 xy kk 1 1 1 4 4 4 4 k kx x k 同理 1 2 4 4kx 12 12 448 443kxkx 即 2 1212 25 80k x xk xx 又 消去 y 得 2 2 4 1 3 ykx y x 22 3 8190kxkx 当时 则直线 l 与双曲线得渐近线平行 不合题意 2 30k 2 30k 由韦达定理有 12 2 12 2 8 3 19 3 k xx k x x k 代入 式得所求 Q 点的坐标为 2 4 2kk 2 0 练习 已知椭圆 C 的中心在原点 焦点在 x 轴上 它的一个顶点恰好是抛物线的 2 4xy 焦点 离心率等于 2 5 5 1 求椭圆 C 的标准方程 2 点 P 为椭圆上一点 弦 PA PB 分别过焦点 F1 F2 PA PB 都不与 x 轴垂直 其 点 P 的纵坐标不为 0 若 求的值 111222 PFF A PFF B 12 解 1 设椭圆 C 的方程为 则 b 1 由 22 22 1 0 xy ab ab 得 则椭圆的方程为 2 2 2 41 11 55 b e a 2 5a 2 2 1 5 x y 2 由得 设 2 2 1 5 x y 12 2 0 2 0 FF 001122 P xyA x yB xy 有得 111222 PFF A PFF B 0011100222 2 2 2 2 xyxyxyxy 解得 00 12 12 yy yy 根据 PA PB 都不与 x 轴垂直 且 设直线 PA 的方程为 代 0 0y 0 0 2 2 y yx x 人 整理后 得 2 2 1 5 x y 2222 00000 2 54 2 0 xyyyxyy 根据韦达