4.3 任意角的三角函数(一)

高中数学教案 第三章 三角函数 第 5 课时 第 1 页 共 6 页 课课 题题 4 34 3 任意角的三角函数 一 任意角的三角函数 一 教学目标 教学目标 1 理解并掌握任意角三角函数的定义 2 理解三角函数是以实数为自变量的函数 3 掌握正弦 余弦 正切函数的定义域 教学重点 教学重点 任意角三角函数的定义 教学难点 教学难点 正弦 余弦 正切函数的定义域 授课类型 授课类型 新授课 课时安排 课时安排 1 课时 教教 具具 多媒体 实物投影仪 内容分析内容分析 通过三角函数定义的变化 从锐角三角函数到任意角三角函数 由边的 比变为坐标与距离 坐标与坐标 距离与坐标的比 使学生在理解掌握定义的 基础上 加深特殊与一般关系的理解 通过对定义的剖析 使学生对正弦 余弦 正切函数的定义域有比较深刻的认识 达到突破难点之目的 使学生通 过任意角三角函数的定义 认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例 加深特殊与一般关系的理解 教学过程教学过程 一 复习引入 一 复习引入 1 在初中我们学习了锐角三角函数 它是以锐角为自变量 边的比值为函 数值的三角函数 c b sin c a cos a b tan b a cot 2 前面我们对角的概念进行了扩充 并学习了弧 度制 知道角的集合与实数集是一一对应的 在这个 基础上 今天我们来研究任意角的三角函数 二 讲解新课 二 讲解新课 对于锐角三角函数 我们是在直角三角形中定义的 今天 对于任意角的 三角函数 我们利用平面直角坐标系来进行研究 1 设是一个任意角 在的终边上任取 异于原点的 一点 P x y 则 P 与原点的距离0 22 22 yxyxr 2 比值叫做的正弦 记作 r y r y sin c b a A B C 高中数学教案 第三章 三角函数 第 5 课时 第 2 页 共 6 页 比值叫做的余弦 记作 r x r x cos 比值叫做的正切 记作 x y x y tan 比值叫做的余切 记作 y x y x cot 比值叫做的正割 记作 x r x r sec 比值叫做的余割 记作 y r y r csc 根据相似三角形的知识 对于终边不在坐标轴上确定的角 上述六个 比值都不会随 P 点在的终边上的位置的改变而改变 当角的终边在纵轴上 时 即时 终边上任意一点 P 的横坐标 x 都为 0 所以 tanZ 2 kk sec无意义 当角的终边在横轴上时 即 Z 时 终 边上任意一点 P 的纵坐标 都为 0 所以 cot csc无意义 除此之外 对 于确定的角 上面的六个比值都是惟一确定的实数 这就是说 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割都是以角为自变量 以比值为函数值的函数 以上六种函数 统称为三角函数 3 突出探究的几个问题 角是 任意角 当 2k k Z 时 与 的同名 三角函数值应该是相等的 即凡是终边相同的角的三角 函数值相等 实际上 如果终边在坐标轴上 上述定义同样适用 三角函数是以 比值 为函数值的函数 而 x y 的正负是随象限的变化而不同 故三角函数的符号应由象限确0 r 定 定义域 对于正弦函数 因为 0 所以恒有意义 即取 r y sin r y 任意实数 恒有意义 也就是说 sin恒有意义 所以正弦函数的定义域是 r y R 类似地可写出余弦函数的定义域 对于正切函数 因为 x 0 时 x y tan r y x P 0 x y 2400 5100 高中数学教案 第三章 三角函数 第 5 课时 第 3 页 共 6 页 无意义 即 tan无意义 又当且仅当角的终边落在纵轴上时 才有 x y x 0 所以当的终边不在纵轴上时 恒有意义 即 tan恒有意义 所以 x y 正切函数的定义域是 从而有 2 Z kk tan cos sin y y y 2 Zkk R R csc sec cot y y y 2 Zkk Zkk Zkk 4 注意 1 以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题 其顶点都在原点 始边都与 x轴的非负半轴重合 2 OP是角的终边 至于是转了几圈 按什么方向旋转的不清楚 也只有这 样 才能说明角是任意的 3 sin是个整体符号 不能认为是 sin 与 的积 其余五个符号也 是这样 4 定义中只说怎样的比值叫做的什么函数 并没有说的终边在什么位置 终边在坐标轴上的除外 即函数的定义与的终边位置无关 5 比值只与角的大小有关 6 任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别 任意角的三角函数就包含锐角三角函数 实质上锐角三角函数的定义与任 意角的三角函数的定义是一致的 锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例 所不同的是 锐角三角函数是以边的比来定义的 任意角的三角函数是以坐标 与距离 坐标与坐标 距离与坐标的比来定义的 即正弦函数值是纵坐标比距 离 余弦函数值是横坐标比距离 正切函数值是纵坐标比横坐标 余切函数 值是横坐标比纵坐标 正割函数值是距离比横坐标 余割函数值是距离比纵坐 标 7 为了便于记忆 我们可以利用两种三角函数定义的一致性 将直角三角形 置于平面直角坐标系的第一象限 使一锐角顶点与原点重合 一直角边与x轴 的非负半轴重合 利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆 三 讲解范例 三 讲解范例 例例 1 1 已知角的终边经过点P 2 3 如图 求的六个三角函数值 解 x 2 3 13 3 2 22 r 高中数学教案 第三章 三角函数 第 5 课时 第 4 页 共 6 页 于是 13 133 13 3 sin r y 13 132 13 2 cos r x 2 3 tan x y 3 2 cot y x 2 13 sec x r 3 13 csc y r 例例 2 2 求下列各角的六个三角函数值 1 0 2 3 4 2 3 2 解 1 因为当 0 时 x 0 所以 sin0 0 cos0 1 tan0 0 cot0 不存在 sec0 1 csc0 不存在 2 因为当 时 x 0 所以 sin 0 cos 1 tan 0 cot 不存在 sec 1 csc 不存在 3 因为当时 x 0 所以 2 3 不存在 0 2 3 cos 1 2 3 sin 2 3 tan 0 2 3 cot 不存在 2 3 sec 1 2 3 csc 4 当 时 所以 2 ryx 0 sin 1 cos 0 tan不存在 cot 0 2 2 2 2 sec不存在 csc 1 2 2 例例 3 3 填表 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 sin cos tg ctg 高中数学教案 第三章 三角函数 第 5 课时 第 5 页 共 6 页 sec csc 例例 4 4 已知角 的终边经过 P 4 3 求 2sin cos 的值 已知角 的终边经过 P 4a 3a a 0 求 2sin cos 的值 解 由定义 sin cos 2sin cos 5 r 5 3 5 4 5 2 若 则 sin cos 2sin cos 0 aar5 5 3 5 4 5 2 若 则 sin cos 2sin cos 0 aar5 5 3 5 4 5 2 例例 5 5 求函数的值域 x x x x y tan tan cos cos 解 定义域 cosx 0 x 的终边不在 x 轴上 又 tanx 0 x 的终边不在 y 轴上 当 x 是第 象限角时 cosx cosx tanx tanx y 20 0 yx 当 x 是第 象限角时 cosx cosx tanx tanx y 20 0 yx 当 x 是第 象限角时 cosx cosx tanx tanx y 00 0 yx 当 x 是第 象限角时 cosx cosx tanx tanx y 00 0 yx 四 课堂练习四 课堂练习 1 若点P 3 是角 终边上一点 且 则 的值是 3 2 sin 答案 5 56 2 角的终边上一个点P的坐标为 5a 12a a 0 求 sin 2cos的值 解 依题意得 x 5a y 12a 13 12 5 2222 aaayxr 1 当a 0 时 角 是第四象限角 则 13 5 cos 13 12 13 12 sin r x a a r y 高中数学教案 第三章 三角函数 第 5 课时 第 6 页 共 6 页 sin 2cos 13 2 2 当a 0 时 角是第二象限角 则 13 5 cos 13 12 13 12 sin r x a a r y cos 2cos 13 2 五 小结五 小结 本节课我们给出了任意角三角函数的定义 并且讨论了正弦 余弦 正切函数的定义域 任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展 是将锐 角三角函数中边的比变为坐标与距离 坐标与坐标 距离与坐标的比 记忆方 法可用锐角三角函数类比记忆 至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分 析得到 六 课后作业六 课后作业 课本 P 习题 已知角 的终边上一点P的坐标是 x 2 x 0 且 求 3 cos x sin 和 tan 的值 分析 又 即 x 3x4 2 x