函数与方程知识点总结

0 函数与方程知识点总结 1 函数零点的定义 1 对于函数 我们把方程的实数根叫做函数的零点 xfy 0 xf xfy 2 方程有实根函数的图像与 x 轴有交点函数有零点 因此判断一个函数是0 xf yf x yf x 否有零点 有几个零点 就是判断方程是否有实数根 有几个实数根 函数零点的求法 解方程0 xf 所得实数根就是的零点0 xf f x 3 变号零点与不变号零点 若函数在零点左右两侧的函数值异号 则称该零点为函数的变号零点 f x 0 x f x 若函数在零点左右两侧的函数值同号 则称该零点为函数的不变号零点 f x 0 x f x 若函数在区间上的图像是一条连续的曲线 则是在区间内有零点的充分不必要 f x a b 0 bfaf f x a b 条件 2 函数零点的判定 1 零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线 并且有 那么 xfy ba 0f af b 函数在区间内有零点 即存在 使得 这个也就是方程的根 xfy a b 0 bax 0 0 xf 0 x0 xf 2 函数零点个数 或方程实数根的个数 确定方法 xfy 0 xf 代数法 函数的零点的根 xfy 0 xf 几何法 对于不能用求根公式的方程 可以将它与函数的图象联系起来 并利用函数的性质找出零 xfy 点 3 二次函数零点个数确定 有 2 个零点有两个不等实根 0 xfy 0 xf 有 1 个零点有两个相等实根 0 xfy 0 xf 无零点无实根 对于二次函数在区间上的零点个数 要结合图像进行确定 0 xfy 0 xf a b 1 二分法 1 二分法的定义 对于在区间上连续不断且的函数 通过不断地把函数的零点 a b 0f af b yf x yf x 所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点的近似值的方法叫做二分法 1 2 用二分法求方程的近似解的步骤 确定区间 验证 给定精确度 求区间的中点 计算 a b 0f af b a bc f c 若 则就是函数的零点 若 则令 此时零点 0f c c 0f af c bc 0 xa c 若 则令 此时零点 0f cf b ac 0 xc b 判断是否达到精确度 即 则得到零点近似值为 或 否则重复 至 步 ab ab 经典例题 例 1 函数 3 2 2 x f xx 在区间 0 1 内的零点个数是 B A 0 B 1 C 2 D 3 解析 解法 1 因为 0 1 02 1f 3 1 2 22 8f 即 0 1 0ff 且函数 f x在 0 1 内连续不断 故 f x在 0 1 内的零点个数是 1 解法 2 设 1 2 x y 3 2 2 yx 在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示 可知 B 正确 8 6 4 2 2 4 6 8 105510 例 2 函数 f x 2x 3x 的零点所在的一个区间是 B A 2 1 B 1 0 C 0 1 D 1 2 解析 f 1 2 1 3 1 0 f 1 f 0 0 5 2 f x 2x 3x 的零点所在的一个区间为 1 0 例 3 下列函数中能用二分法求零点的是 C 2 例 4 若函数 且 有两个零点 则实数的取值范围是 xf x axa 0a 1a a 1 解析 函数 且 有两个零点 方程有两个不相等的实数根 即 xf x axa 0a 1a 0 axa x 两个函数与的图像有两个不同的交点 当时 两个函数的图像有且仅有一个交点 不 x ay axy 10 a 合题意 当时 两个函数的图像有两个交点 满足题意 1 a 例 5 函数 零点个数为 B 2 23 0 2ln 0 xxx f x x x A 3 B 2 C 1 D 0 例 6 若函数 32 22f xxxx 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算 其参考数据如下 f 1 2f 1 5 0 625f 1 25 0 984 f 1 375 0 260f 1 4375 0 162f 1 40625 0 054 那么方程 32 220 xxx 的一个近似根 精确到 0 1 为 C A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 5 例 7 如果二次函数有两个不同的零点 则的取值范围是 C 2 3yxxm m A B C D 11 4 11 2 11 4 11 2 例8 方程根的个数为 D 0lg xx A 无穷多 B C D f 3 310 例9 用二分法研究函数13 3 xxxf的零点时 第一次经计算0 5 0 0 0 ff 可得其中一个零点 3 0 x 第二次应计算 以上横线上应填的内容为 A A 0 0 5 25 0 f B 0 1 25 0 f C 0 5 1 75 0 f D 0 0 5 125 0 f 反思 1 函数零点 即方程的根 的确定问题 常见的有 函数零点值大致存在区间的确定 零点个数的确定 两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定 解决这类问题的常用方法有解方程法 利用零点存在的判定或 数形结