韦达定理与根与系数的关系测试题

根与系数的关系练习题根与系数的关系练习题 一 选择题 1 若 是一元二次方程的两个根 则的值是 1 x 2 x013 2 xx 21 11 xx A 2 B 1 C 1 D 3 2 若关于 x 的一元二次方程的两个实数根分别是 且满足 22 430 xkxk 12 x x 则 k 的值为 1212 xxx x A A 1 或 B 1 C D 不存在 3 4 3 4 3 方程 x2 3x 6 0 与方程 x2 6x 3 0 的所有根的乘积为 A 18 B 18 C 3 D 3 4 若 x1 x2是一元二次方程 2x2 3x 1 0 的两个根 则 x12 x22 的值是 A B C D 7 4 5 4 9 4 11 5 若关于 x 的一元二次方程 2x2 2x 3m 1 0 的两个实数根 x1 x2 且 x1 x2 x1 x2 4 则实数 m 的取值范围是 A m B m C m D m 5 3 1 2 5 3 5 3 1 2 5 已知方程x2 2k 1 x k2 2 0的两实根的平方和等于11 k的取值是 A 3B 3C 1D 3 或 1 6 下列说法中不正确的是 A 方程 x2 2x 7 0 的两实数根之和为 2 B 方程 x2 3x 5 0 的两实数根之积为 5 C 方程 x2 2x 7 0 的两实数根的平方和为 18 D 方程 x2 3x 5 0 的两实数根的倒数和为 5 3 7 如果 x 的方程 x2 kx 1 0 的两根的差为 1 那么 k 的值为 A 2 B C D 356 8 已知关于 x 的方程 5x2 kx 6 0 的一个根为 2 设方程的另一个根为 x1 则有 A x1 k 7 B x1 k 7 C x1 k 7 D x1 k 7 5 3 5 3 5 3 5 3 二 填空题 1 已知一元二次方程的两根为 则 0132 2 xx 1 x 2 x 21 xx 2 如果 是方程 065 2 xx 的两个根 那么21 xx 1 x 2 x 3 已知 是方程的两实数根 则的值为 1 x 2 x 2 630 xx 21 12 xx xx 4 已知 是关于的方程的两个实数根 且 1 x 2 xx01 1 22 axxa 则 1 x 2 x 3 1 21 xx 5 设 x1 x2是方程 2x2 4x 3 0 的两个根 则 x1 1 x2 1 6 若方程的两根为a 则 0342 2 xx 22 2aa 7 若方程的两根之比是2 3 则 k 052 2 kxx 8 请写出一个二次项系数为 1 两实根之和为 3 的一元二次方程 三 解答题 1 已知关于 x 的二次方程 x2 mx 1 0 的一个根是 求另一个根及 m 的值 12 2 已知关于 x 的方程 x2 k 1 x k 2 0 的两个实数根的平方和等于 6 求 k 的值 3 是关于 x 的一元二次方程 m 1 x2 x 1 0 的两个实数根 且满足 1 1 m 1 求实数 m 的值 4 已知关于x 的方程 问 是否存在正实数 m 使方程的两个实0 2 2 22 mxmx 数根的平方和等于56 若存在 求出m 的值 若不存在 请说明理由 5 已知关于 x 的一元二次方程 x2 4m 1 x 2m 1 O 1 求证 不论 m 为任何实数 方程总有两个不相等的实数根 2 若方程两根为 x1 x2 且满足 求 m 的值 1 x1 1 x2 1 2 一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 安徽省利辛县教育局督导室 夏 飞 对于一元二次方程 当判别式 时 其求根公式为 若两根为 当 0 时 则两根的 关系为 根与系数的这种关系又称为韦达定理 它的 逆定理也是成立的 即当 时 那么则是 的两根 一元二次方程的根与系数的关系 综合性强 应 用极为广泛 在中学数学中占有极重要的地位 也是数学学习中的重点 学习 中 老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外 还常常要求同学 们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种 情况 以及应用求根公式求出方程的两个根 进而 分解因式 即 下面就对应用韦达定理可能出现的 问题举例做些分析 希望能给同学们带来小小的帮助 一 根据判别式 讨论一元二次方程的根 一 根据判别式 讨论一元二次方程的根 例例 1 1 已知关于的方程 1 有两个不相等的实数 根 且关于的方程 2 没有实数根 问取什么整数时 方程 1 有整数解 分析分析 在同时满足方程 1 2 条件的的取值范围中筛选符合条件 的的整数值 解解 方程 1 有两个不相等的实数根 解得 方程 2 没有实数根 解得 于是 同时满足方程 1 2 条件的的取值范围是 其中 的整数值有或 当时 方程 1 为 无整数根 当时 方程 1 为 有整数根 解得 所以 使方程 1 有整数根的的整数值是 说明 说明 熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础 正确确定 的取值范围 并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理 从而筛 选出 这也正是解答本题的基本技巧 二 判别一元二次方程两根的符号 二 判别一元二次方程两根的符号 例例 1 1 不解方程 判别方程两根的符号 分析 分析 对于来说 往往二次项系数 一次项系数 常 数项皆为已知 可据此求出根的判别式 但 只能用于判定根的存在与否 若判定根的正负 则需要确定 或的正负情况 因此解答此题的关键 是 既要求出判别式的值 又要确定 或的正负情况 解 解 4 2 7 65 0 方程有两个不相等的实数根 设方程的两个根为 0 原方程有两个异号的实数根 说明 说明 判别根的符号 需要把 根的判别式 和 根与系数的关系 结 合起来进行确定 另外由于本题中 0 所以可判定方程的根为一正一负 倘若 0 仍需考虑的正负 方可判别方程是两个正根还是两个负根 三 已知一元二次方程的一个根 求出另一个根以及字母系数的值 三 已知一元二次方程的一个根 求出另一个根以及字母系数的值 例例 2 2 已知方程的一个根为 2 求另一个根及的 值 分析 分析 此题通常有两种解法 一是根据方程根的定义 把代入原方程 先求出的值 再通过解方程办法求出另一个根 二是利用一元二次方程的根 与系数的关系求出另一个根及的值 解法一 解法一 把代入原方程 得 即 解得 当时 原方程均可化为 解得 方程的另一个根为 4 的值为 3 或 1 解法二 解法二 设方程的另一个根为 根据题意 利用韦达定理得 把代入 可得 把代入 可得 即 解得 方程的另一个根为 4 的值为 3 或 1 说明 比较起来 解法二应用了韦达定理 解答起来较为简单 例例 3 3 已知方程有两个实数根 且两个根的平方 和比两根的积大 21 求的值 分析 分析 本题若利用转化的思想 将等量关系 两个根的平方和比两根的积 大 21 转化为关于的方程 即可求得的值 解 解 方程有两个实数根 解这个不等式 得 0 设方程两根为 则 整理得 解得 又 说明 当说明 当求出后 还需注意隐含条件 应舍去不合 题意的 四 运用判别式及根与系数的关系解题 四 运用判别式及根与系数的关系解题 例例 5 5 已知 是关于的一元二次方程的两个 非零实数根 问和能否同号 若能同号 请求出相应的的取值范围 若 不能同号 请说明理由 解解 因为关于的一元二次方程有两个非零实数根 则有 又 是方程的两个实数根 所以由一元二次 方程根与系数的关系 可得 假设 同号 则有两种可能 1 2 若 则有 即有 解这个不等式组 得 时方程才有实树根 此种情况不成立 若 则有 即有 解这个不等式组 得 又 当时 两根能同号 说明 说明 一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数 的内在联系 是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具 也是计算有 关一元二次方程根的计算问题的重要工具 知识的运用方法灵活多样 是设计 考察创新能力试题的良好载体 在中考中与此有联系的试题出现频率很高 应 是同学们重点练习的内容 六 运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题 六 运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题 例 例 已知 是方程的两个实数根 求的值 分析 分析 本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题 应摒弃常规的求 根后 再带入的方法 力求简解 解法一 解法一 由于是方程的实数根 所以 设 与相加 得 变形目的是构造和 根据根与系数的关系 有 于是 得 0 解法二 解法二 由于 是方程的实数根 说明 说明 既要熟悉问题的常规解法 也要随时想到特殊的简捷解法 是解题 能力提高的重要标志 是努力的方向 有关一元二次方程根的计算问题 当根是无理数时 运算将十分繁琐 这 时 如果方程的系数是有理数 利用根与系数的关系解题可起到化难为易 化 繁为简的作用 这类问题在解法上灵活多变 式子的变形具有创造性 重在考 查能力 多年来一直受到命题老师的青睐 七 运用一元二次方程根的意义及判别式解题 七 运用一元二次方程根的意义及判别式解题 例例 8 8 已知两方程和至少有一 个相同的实数根 求这两个方程的四个实数根的乘积 分析 分析 当设两方程的相同根为时 根据根的意义 可以构成关于和 的二元方程组 得解后再由根与系数的关系求值 解 解 设两方程的相同根为 根据根的意义 有 两式相减 得 当时 方程的判别式 方程无实数解 当时 有实数解 代入原方程 得 所以 于是 两方程至少有一个相同的实数根 4 个实数根的相乘积为 说明 说明 1 本题的易错点为忽略对的讨论和判别式的作用 常常 除了犯有默认的错误 甚至还会得出并不存在的解 当时 两方程相同 方程的另一根也相同 所以 4 个根 的相乘积为 2 既然本题是讨论一元二次方程的实根问题 就应首先确定方程有实根 的条件 且 另外还应注意 求得的的值必须满足这两个不等式才有意义 趁热打铁趁热打铁 一 填空题 一 填空题 1 如果关于的方程的两根之差为 2 那么 2 已知关于的一元二次方程两根互为倒数 则 3 已知关于的方程的两根为 且 则 4 已知是方程的两个 根 那么 5 已知关于的一元二次方程的两根为和 且 则 6 如果关于的一元二次方程的一个根是 那么另 一个根是 的值为 7 已知是的一根 则另一根为 的值为 8 一个一元二次方程的两个根是和 那么这个一元二次方程 为 二 求值题 二 求值题 1 已知是方程的两个根 利用根与系数的关系 求 的值 2 已知是方程的两个根 利用根与系 数的关系 求的值 3 已知是方程的两个根 利用根与系数的关系 求的值 4 已知两数的和等于 6 这两 数的积是 4 求这两数 5 已知关于 x 的方程的两根满足关系式 求的值及方程的两个根 6 已知方程和有一个相同的根 求的 值及这个相同的根 三 能力提升题 三 能力提升题 1 实数在什么范围取值时 方程有正的实数根 2 已知关于的一元二次方程 1 求证 无论取什么实数值 这个方程总有两个不相等的实数根 2 若这个方程的两个实数根 满足 求的值 3 若 关于的方程有两个相等的正的实数 根 求的值 4 是否存在实数 使关于的方程的两个实根 满足 如果存在 试求出所有满足条件的的值 如果不存在 请说明理由 5 已知关于的一元二次方程 的两实数根为 若 求的值 6 实数 分别满足方程和 求代数 式 的值 答案与提示 答案与提示 一 填空题 一 填空题 1 提示 解得 2 提示 由韦达定理得 解得 代入检验 有意义 3 提示 由于韦达定理得 解得 4 提示 由韦达定理得 由 可判定方程的两根异号 有两种情况 设 0 0 则 设 0 0 则 5 提示 由韦达定理得 6 提示 设 由韦达定理得 解得 即 7 提示 设 由韦达定理得 8 提示 设所求的一元二次方程为 那么 即 设 所求的一元二次方程为 二 求值题 二 求值题 1 提示 由韦达定理得 2 提示 由韦达定理得 3 提示 由韦达定理得 4 提示 设这两个数为 于是有 因此 可看作方程的两根 即 所 以可得方程 解得 所以所求的两个 数分别是 5 提示 由韦达定理得 化简得 解得 以下分两种情况 当时 组成方程组 解这个方程组得 当时 组成方程组 解这个方程组得 6 提示 设和相同的根为 于是可 得方程组 得 解这个方程得 以下分两种情况 1 当时 代入 得 2 当时 代入 得 所以和相同的根为 的值分别为 三 能力提升题 三 能力提升题 1 提示 方程有正的实数根的条件必须同时具备 判别式 0 0 0 于是可得不等式组 解这个不