高一数学必修一各章知识考点精编总结

1 第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念 第一第一节节 集合集合 一 集合有关概念一 集合有关概念 1 集合的含集合的含义义 集合 集 某些指定的对象集在一起就成为一个集合 集 其中 每一个对象叫元素 2 集合的中元素的三个特性 确定性集合的中元素的三个特性 确定性 互异性互异性 无序性无序性 1 元素的确定性确定性如 世界上最高的山 2 元素的互异性互异性如 由 HAPPY 的字母组成的集合 H A P Y 3 元素的无序性无序性如 a b c 和 a c b 是表示同一个集合 3 集合的表示 集合的表示 1 用拉丁字母表示集合 A 我校的篮球队员 B 1 2 3 4 5 2 集合的表示方法 列举法 描述法和图示法 1 列列举举法 法 a b c 2 描述法 描述法 将集合中的元素的公共属性描述出来 写在大括号内表示集合的方 法 x R x 3 2 x x 3 2 分为 符号描述法 语言描述法 例 不是直角三角形的三角形 注 注 描述法一般适用于表示元素较多的有限集或无限集 3 图图示法示法 分为 区间法 用开区间 闭区间以及半开 半闭 区间表示 Venn 法 注意 常用数集及其注意 常用数集及其记记法 法 非负整数集 即自然数集 记作 N 正整数集 或 N N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 4 集合的分 集合的分类类 有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合 空集 不含任何元素的集合 例 x x2 5 2 二 集合二 集合间间的基本关系的基本关系 1 包含包含 关系关系 子集子集 表示 A 包含于 B 或者说 B 包含 A BA 注意 有两种可能 1 A 是 B 的一部分 2 A 与 B 是同一集合 BA 反之 集合 A 不包含于集合 B 或集合 B 不包含集合 A 记作 A B 或 B A 2 相等相等 关系 关系 集合相等的定集合相等的定义义 如果 A B 同时 B A 那么 A B 5 5 且 5 5 则 5 5 自反律 自反律 任何一个集合是它本身的子集 A A 实例 设 A x x2 1 0 B 1 1 元素相同则两集合相等 真子集真子集 如果 A B 且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集 记作 AB 或 BA 传递传递律 律 如果 A B B C 那么 A C 3 空集 空集 不含任何元素的集合叫做空集 记为 规规定定 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集 4 幂幂集 集 有 n 个元素的集合 含有 2n个子集 2n 1个真子集 三 集合的运算三 集合的运算 运算运算 类类型型 交交 集集并并 集集补补 集集 定定 义义 由所有属于 A 且 属于 B 的元素所 组成的集合 叫做 A B 的交集交集 记记作作 AB 读作 A 交 B 即 即 AB x xA 且且 xB 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元 素所组成的集合 叫 做 A B 的并集并集 记记 作 作 AB 读作 A 并 B 即 即 AB x xA 或 或 xB 设 S 是一个集合 A 是 S 的 一个子集 由 S 中所有不属 于 A 的元素组成的集合 叫 做 S 中子集 A 的补补集集 或余 或余 集 集 记记作作 即 即ACS CSA AxSxx 且 韦韦 恩恩 图图 示示 AB 图 1 A B 图 2 性性 质质 AA A A AB BA ABA ABB AA A A A AB BA AB ABB CuA CuB Cu AB CuA CuB Cu AB A CuA U A CuA S A S A 3 四 一些基本集合恒等式四 一些基本集合恒等式 1 结结合律 合律 AB C A B C AB C A B C 2 分配律 分配律 A BC AB AC A BC AB AB 3 吸收律 吸收律 A AB A A AB A 4 德 德 摩根定律 摩根定律 反演律反演律 CuA CuB Cu AB A CuA U CuA CuB Cu AB A CuA Cu CuA A 五 容斥定理 五 容斥定理 原理原理 1 如果被计数的事物有 A B 两类 那么 A 类 B 类元素个数总和 属于 A 类 元素个数 属于 B 类元素个数 既是 A 类又是 B 类的元素个数 card A B card A card B card A B 原理原理 2 如果被计数的事物有 A B C 三类 那么 A 类和 B 类和 C 类元素个数总和 A 类元素个数 B 类元素个数 C 类元素个数 既是 A 类又是 B 类的元素个数 既是 A 类又是 C 类的元素个数 既是 B 类又是 C 类的元素个数 既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数 A B C A B C A B B C C A A B C 第二第二节节 函数的有关概念函数的有关概念 1 映射的概念 映射的概念 1 映射的定映射的定义义 A B 是两个集合 如果按照某种对应法则 f 对于集合 A 中的 任何一个元素 x 在集合 B 中都有唯一的元素 y 和它对应 那么这样的对应叫 做集合 A 到集合 B 的映射 记做记作 f 对应关系 A 原象 B 象 对对于映射于映射 f A B 来来说说 则应满则应满足 足 a 集合 A 中的每一个元素 在集合 B 中都有象 并且象是唯一的 b 集合 A 中不同的元素 在集合 B 中对应的象可以是同一个 c 不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象 2 一一映射 一一映射 设 A B 是两个集合 f A B 是从集合 A 到集合 B 的映射 并且 对于集合 B 中的不同元素 在集合 A 中都有且只有一个原象 这时我们说这 两个元素之间存在一一对应关系 并称这个映射叫做从集合 A 到集合 B 的 一一映射 所以 一一映射是特殊的映射 而且如果 f A B 是一一映射 那 4 么 g B A 是映射 2 函数的概念 函数的概念 1 函数的定函数的定义义 设 A B 是非空的数集 如果按照某个确定的对应关系 f 使对于 集合 A 中的任意一个数 x 在集合 B 中都有唯一确定的数 f x 和它对应 那么就 称 f A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 记记作 作 y f x x A 其中 x 叫做 自变量 x 的取值范围 A 叫做函数的定义域 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值 函数值的集合 f x x A 叫做函数的值域 2 函数的三要素 函数的三要素 定义域 对应关系和值域 定 定义义域 域 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域 求函数的定求函数的定义义域域时时列不等式列不等式组组的主要依据是 的主要依据是 1 分式的分母不等于零 2 偶次方根的被开方数不小于零 3 对数式的真数必须大于零 4 指数 对数式的底必须大于零且不等于 1 5 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 那么 它的定义域 是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 6 指数为零底不可以等于零 7 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 8 三角函数中的正切函数 值值域域 先考先考虑虑其定其定义义域域 1 观察法 2 配方法 3 代换法 3 函数的表示法 函数的表示法 列表法 图象法 解析法 3 相同函数的判断方法相同函数的判断方法 表达式相同 与表示自变量和函数值的字母无关 定义域一致 两点必须同时具备 见课见课本本 21 页页相关例相关例 2 4 函数函数图图象知象知识归纳识归纳 1 定定义义 在平面直角坐标系中 以函数 y f x x A 中的 x 为横坐标 函数值 y 为纵坐标的点 P x y 的集合 C 叫做函数 y f x x A 的图象 C 上每一点的坐 标 x y 均满足函数关系 y f x 反过来 以满足 y f x 的每一组有序实数对 x y 为坐标的点 x y 均在 C 上 5 2 画法画法 A 描点法 B 图象变换法 1 平移变换 2 伸缩变换 3 对称变换 5 区 区间间的概念的概念 1 区间的分类 开区间 闭区间 半开半闭区间 2 无穷区间 3 区间的数轴表示 6 分段函数分段函数 1 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数 2 各部分的自变量的取值情况 3 分段函数的定义域是各段定义域的交集 值域是各段值域的并集 补补充 复合函数充 复合函数 如果 y f u u M u g x x A 则 y f g x F x x A 称为 f g 的复合 函数 第三第三节节 函数的性函数的性质质 单调单调性 奇偶性与周期性 性 奇偶性与周期性 1 函数的函数的单调单调性性 局部性局部性质质 1 单调单调函数的定函数的定义义 设函数 y f x 的定义域为 I 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两 个自变量 x1 x2 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 那么就说 f x 在区间 D 上是增函数 区间 D 称为 y f x 的单调 增区间 f x1 f x2 那么就说 f x 在区间 D 上是减函数 区间 D 称为 y f x 的单调 减区间 注意 注意 函数的单调性是函数的局部性质 2 单调单调区区间间的定的定义义 如果函数 y f x 在某个区间 D 上是增函数或减函数 那么就说函数 y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间 D 叫做 y f x 的单调区间 3 图图象的特点象的特点 6 在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的 减函数的图象从左到右 是下降的 4 函数 函数单调单调区区间间与与单调单调性的判定方法性的判定方法 A 定定义义法 法 任取 x1 x2 D 且 x11 且 axn xannn N 负数没有偶次方根 0 的任何次方根都是 0 记作 00 n 当是奇数时 当是偶数时 naa nn n 0 0 a a a a aa nn 2 分数指数 分数指数幂幂 正数的分数指数正数的分数指数幂幂的意的意义义 规规定 定 1 0 nNnmaaa nm n m 1 0 11 nNnma a a a nm n m n m 0 的正分数指数幂等于 0 0 的负分数指数幂没有意义 9 3 实实数指数数指数幂幂的运算性的运算性质质 1 r a srr aa 0 Rsra 2 rssr aa 0 Rsra 3 srr aaab 0 Rsra 二 指数函数及其性 二 指数函数及其性质质 1 指数函数的概念 一 指数函数的概念 一般地 函数叫做指数函数 其中 x 是 1 0 aaay x 且 自变量 函数的定义域为 R 其中 a 为底数 注意 注意 指数函数的底数的取值范围 底数不能是负数 零和 1 2 指数函数的 指数函数的图图象和性象和性质质 1 0 aaay x 且 a 10 a0 1 x a x 0 1 x a x 0 1 x a x0 1 x a 奇偶性奇偶性非奇非偶函数 过过定点定点函数图象都过定点 0 1 A 变变化化对图对图 象的影响象的影响 在第一象限内 a 越大图象越高 在第二象限内 a 越大图象越低 注意 注意 利用函数的单调性 结合图象还可以看出 1 在 a b 上 值域是或 1a0a a x f x 且 b f a f a f b f 2 若 则 取遍所有正数当且仅当 0 x 1 x f x fRx 3 对于指数函数 总有 1a0a a x f x 且a 1 f 二 二 对对数函数数函数 一 一 对对数数 1 对对数的概念 数的概念 一般地 如果 那么数叫做以为底的对Na x 1 0 aaxaN 数 记作 底数 真数 对数式 Nx a log aNN a log 说说明 明 注意底数的限制 且 1 0 a1 a 10 2 xNNa a x log 注意对数的书写格式 3 两个重要两个重要对对数 数 常用常用对对数 数 以 10 为底的对数 记作 1 Nlg 自然自然对对数 数 以无理数为底数的对数 即当 a e 时 记作 2 71828 2 eNln 指数式与指数式与对对数式的互化数式的互化 幂值幂值 真数真数 N b b a logaN 底数底数 指数指数 对对数数 二 二 对对数的运算性数的运算性质质 如果如果 且 且 那么 那么 0 a1 a0 M0 N 1 M a log NM a logN a log 2 N M a logM a logN a log 3 n aM logn M a log Rn 注意 注意 换换底公式底公式 且 且 且 且 a b b c c a log log log 0 a1 a0 c1 c0 b 利用利用换换底公式推底公式推导导下面的下面的结论结论 1 2 b m n b a n am loglog a b b a log 1 log 三 三 对对数函数数函数 1 对对数函数的概念 函数数函数的概念 函数 且 且叫做叫做对对数函数 其中数函数 其中是自是自0 log axy a 1 ax 变变量 函数的定量 函数的定义义域是 域是 0 N a log 11 注意 注意 对对数函数的定数函数的定义义与指数函数与指数函数类类似 都是形式定似 都是形式定义义 注意辨 注意辨别别 如 如 1 都不是都不是对对数函数 而只能称其数函数 而只能称其为对为对数型函数 数型函数 xy 2 log2 5 log5 x y 对对数函数数函数对对底数的限制 底数的限制 且 且 2 0 a 1 a 2 对对数函数的性数函数的性质质 指数函数和对数函数 且的图象关于 y x 对称 x ay 0 log axy a 1 a a 10 a0 0log x a x 0 0log x a 0 x0 0log x a x 0 0log x a 0 x1 时 图像开口向上 0 a 1 时 图像开口向右 c 特别地 当时 幂函数的图象下凸 当时 幂函数1 10 的图象上凸 3 时a 幂函数的图象在区间上是减函数 0 0 b 在第一象限内 函数值随 x 的增大而减小 图像开口向上 c 在第一象限内 当从右边趋向原点时 图象在轴右方无限地xy 逼近轴正半轴 当趋于时 图象在轴上方无限地逼近yx x 轴正半轴 x 4 时 y x 0 是直线 y 1 去掉一点 0 1 它的图像不是直线 0 3 形如 形如 f x 其中 其中 m n Z 的 的幂幂函数性函数性质质 m n x N 1 当 n 为偶数时 f x 为偶函数 图象关于 y 轴对称 2 当 m n 都为奇数时 f x 为奇函数 图象关于原点对称 3 当 m 为偶数且 n 为奇数时 f x 为非奇非偶函数 图象只在一象限内 4 高 高频频重重难难突破突破 1 指数 指数 对对数数值值的大小比的大小比较较 常用方法有 a 化成同底的对数或指数 然后利用其单调性进行比较 b 直接作差作商