集体备课案--抛物线

抛物线抛物线 高考要求高考要求 头 头 头 头头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 掌握抛物线的定义 标准方程和抛物线的简单几何性质 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 知识点归纳知识点归纳 头 头 头 头头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点 F 叫做 抛物线的焦点 定直线 l 叫做抛物线的准线 注 圆锥曲线统一定义 平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨 迹 当 0 e 1 时 表示椭圆 当e 1 时 表示抛物线 当e 1 时 表示双曲线 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头抛物线标准方程的四种形式 设 抛物线的标准方程 类型及其几何性质 0p pxy2 2 pxy2 2 pyx2 2 pyx2 2 图形 y x O y x O y x O y x O 焦点 0 2 p F 0 2 p F 2 0 p F 2 0 p F 准线 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 范围 Ryx 0Ryx 00 yRx0 yRx 对称轴轴x轴y 顶点 0 0 离心率1 e 焦半径 1 2 x p PF 1 2 x p PF 1 2 y p PF 1 2 y p PF 3 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头抛物线 的图像和性质 pxy2 2 1 焦点坐标是 2 准线方程是 0 2 p 2 p x 3 顶点是焦点向准线所作垂线段中点 顶点平分焦点到准线的垂线段 2 p OFOK M1 Q M2 KF P o y x 4 焦准距 FKp 5 焦半径公式 若点是抛物线上一点 则该点到抛物线 00 yxPpxy2 2 的焦点的距离 称为焦半径 是 0 2 p PFx 6 焦点弦长公式 过焦点弦长 1212 22 pp PQxxxxp 7 通径 过焦点垂直于轴的弦长为 这是过焦点的所有弦中最短的2p 8 焦半径为半径的圆 以 P 为圆心 FP 为半径的圆必与准线相切 所有这样 的圆过定点 F 准线是公切线 9 焦半径为直径的圆 以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线 相切 所有这样的圆过定点 F 过顶点垂直于轴的直线是公切线 10 焦点弦为直径的圆 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与准线相切 所有这样的圆的公切线是 准线 11 抛物线上的动点可设为 P或或 Ppxy2 2 2 2 y p y 2 2 2 Pptpt pxyyx2 2 中中 4 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头一般情况归纳 方程图象焦点准线定义特征 k 0 时开口向右 y2 kx k0 时开口向上 x2 ky k 0 时开口向下 0 k 4 y k 4 到焦点 0 k 4 的距离等于 到准线 y k 4 的距离 题型讲解题型讲解 头 头 头 头头 头 头头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头 一一 抛物线的方程抛物线的方程 例例 1 求满足下列条件的抛物线的标准方程 并求对应抛物线的准线方程 1 过点 3 2 2 焦点在直线 x 2y 4 0 上 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 分析 从方程形式看 求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数 p 从实际分析 一般需确定 p 和确定开口方向两个条件 否则 应展开相应的讨论 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解 1 设所求的抛物线方程为 y2 2px 或 x2 2py p 0 过点 3 2 4 2p 3 或 9 2p 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 p 或 p 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 2 4 9 C N M1 Q M2 K F P o 所求的抛物线方程为 y2 x 或 x2 y 前者的准线方程是 x 后者的准线方 3 4 2 9 3 1 程是 y 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 8 9 2 令 x 0 得 y 2 令 y 0 得 x 4 抛物线的焦点为 4 0 或 0 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头当焦点为 4 0 时 4 2 p p 8 此时抛物线方程 y2 16x 焦点为 0 2 时 2 2 p p 4 此时抛物线方程为 x2 8y 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 所求的抛物线的方程为 y2 16x 或 x2 8y 对应的准线方程分别是 x 4 y 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 点评 这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论 先入为主 设定一种形式的标准 方程后求解 以致失去一解 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 例例 2 2 如下图所示 直线相交于点 M 点 以 A B 为端点的曲线段 21 l l 21 ll 1 lN C 上的任一点到 的距离与到点 N 的距离相等 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头若 为锐角三角形 2 lAMN 建立适当的坐标系 求曲线段 C 的方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 6 3 17 BNANAM 分析 由题意所求曲线段是抛物线的一部分 求曲线方程需建立适当的直角坐标 系 设出抛物线方程 由条件求出待定系数即可 求出曲线方程后要标注 x y 的取值范围 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解 以 MN 中点为原点 MN 所在直线方程为 x 轴建立直角坐标系 设曲线方程为 由得 0 0 2 2 yxxxppxy BA 3 17 ANAM 又 9 2 17 2 22 22 AA AA y P x y p x p xA 4 3 2 p xAN A 3 2 4 p p 解得 4 2 p 由锐角为三角形 AMN 179 917 2 2 p p 268 2 p4 p 又 故所求曲线方程为 4 6 2 BB x