高中数学人教A版必修5导学案：2.5 第1课时 等比数列的前n项和（一）

1 自学目标 1 掌握等比数列的前 n 项和公式及公式推导思路 2 会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题 1 等比数列前 n 项和公式 1 公式 Sn Error 2 注意 应用该公式时 一定不要忽略 q 1 的情况 2 等比数列前 n 项和公式的变式 若 an 是等比数列 且公比 q 1 则前 n 项和 Sn 1 qn A qn 1 其中 A a1 1 q a1 q 1 3 错位相减法 推导等比数列前 n 项和的方法叫 法 一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对 应项积的前 n 项和 情境导学 国际象棋起源于古代印度 相传国王要奖赏象棋的发明者 问他想要什么 发明者说 请在 象棋的第一个格子里放 1 颗麦粒 第二个格子放 2 颗麦粒 第三个格子放 4 颗麦粒 以此类推 每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍 直到第 64 个格子 请给我足够的麦粒以实现上 2 述要求 国王觉得这个要求不高 就欣然同意了 假定千粒麦子的质量为 40 g 据查目前世 界年度小麦产量约 6 亿吨 根据以上数据 判断国王是否能实现他的诺言 探究点一 等比数列前 n 项和公式的推导 思考 1 在情境导学中 如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列 那么这个数列是怎样的 一个数列 通项公式是什么 思考 2 在情境导学中 国王能否满足发明者要求的问题 可转化为一个怎样的数列问题 思考 3 类比求等差数列前 n 项和的方法 能否用倒序相加法求数列 1 2 4 8 263的和 为什么 思考 4 如何求等比数列 an 的前 n 项和 Sn 例 1 求下列等比数列前 8 项的和 1 1 2 1 4 1 8 2 a1 27 a9 q 0 1 243 反思与感悟 涉及等比数列前 n 项和时 要先判断 q 1 是否成立 防止因漏掉 q 1 而出错 3 跟踪训练 1 若等比数列 an 满足 a2 a4 20 a3 a5 40 则公比 q 前 n 项和 Sn 探究点二 等比数列前 n 项和的实际应用 例 2 某商场今年销售计算机 5 000 台 如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10 那么从今起 大约几年可使总销售量达到 30 000 台 结果保留到个位 跟踪训练 2 一个热气球在第一分钟上升了 25 m 的高度 在以后的每一分钟里 它上升的 高度都是它在前一分钟里上升高度的 80 这个热气球上升的高度能超过 125 m 吗 探究点三 错位相减法求和 思考 教材中推导等比数列前 n 项和的方法叫错位相减法 这种方法也适用于一个等差数列 an 与一个等比数列 bn 对应项之积构成的新数列求和 如何用错位相减法求数列 前 n n 2n 项和 4 例 3 求和 Sn x 2x2 3x3 nxn x 0 跟踪训练 3 求数列 1 3a 5a2 7a3 2n 1 an 1的前 n 项和 1 等比数列 1 x x2 x3 的前 n 项和 Sn为 A B 1 xn 1 x 1 xn 1 1 x C Error D Error 2 设等比数列 an 的公比 q 2 前 n 项和为 Sn 则等于 S4 a2 A 2 B 4 C D 15 2 17 2 3 等比数列 an 的各项都是正数 若 a1 81 a5 16 则它的前 5 项的和是 A 179 B 211 C 243 D 275 4 某厂去年产值为 a 计划在 5 年内每年比上一年产值增长 10 从今年起 5 年内 该厂 的总产值为 5 呈重点 现规律 1 在等比数列的通项公式和前 n 项和公式中 共涉及五个量 a1 an n q Sn 其中首项 a1和 公比 q 为基本量 且 知三求二 2 前 n 项和公式的应用中 注意前 n 项和公式要分类讨论 即 q 1 和 q 1 时是不同的公式 形式 不可忽略 q 1 的情况 3 一般地 如果数列 an 是等差数列 bn 是等比数列且公比为 q 求数列 an bn 的前 n 项和 时 可采用错位相减的方法求和 一 基础过关 1 设数列 1 n 的前 n 项和为 Sn 则 Sn等于 A B n 1 n 1 2 1 n 1 1 2 C D 1 n 1 2 1 n 1 2 2 在各项都为正数的等比数列 an 中 首项 a1 3 前 3 项和为 21 则 a3 a4 a5等于 A 33 B 72 C 84 D 189 3 设 Sn为等比数列 an 的前 n 项和 8a2 a5 0 则等于 S5 S2 A 11 B 5 C 8 D 11 4 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 S3 a2 10a1 a5 9 则 a1等于 A B 1 3 1 3 6 C D 1 9 1 9 5 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 a1 1 S6 4S3 则 a4 6 如果数列 an 满足 a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 是首项为 1 公比为 2 的等 比数列 那么 an 7 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 S3 S6 2S9 求数列的公比 q 8 求和 1 21 2 22 3 23 n 2n 二 能力提升 9 一弹性球从 100 米高处自由落下 每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下 则第 10 次着地时所经过的路程和是 结果保留到个位 A 300 米 B 299 米 C 199 米 D 166 米 10 已知数列 an 满足 3an 1 an 0 a2 则 an 的前 10 项和等于 4 3 A 6 1 3 10 B 1 3 10 1 9 C 3 1 3 10 D 3 1 3 10 11 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 S1 2S2 3S3成等差数列 则 an 的公比为 12 为保护我国的稀土资源 国家限定某矿区的出口总量不能超过 80 吨 该矿区计划从 7 2013 年开始出口 当年出口 a 吨 以后每年出口量均比上一年减少 10 1 以 2013 年为第一年 设第 n 年出口量为 an吨 试求 an的表达式 2 因稀土资源不能再生