高一数学《必修一真题难点分类精练》

1 必修一真题难点分类精练 第一章 集合与函数 集合与元素 1 0 201120102 babaaB a b aA 则例 已知集合 11 1 0 2 ba a b aaba解析 5 6 MZaN a aM则用列举法表示集合且例 已知集合 6 3 2 16 3 2 16 3 2 15 Maa解析 1 2 的取值范围 则实数例 给定三元集合xxxx 2 15 2 1 0 x解析 1 1 1 2 a xax xAaa则为常数且满足例 若实数 1 0 11 1 00 0 2 aaa a xaa故解析 2 lg 3 2 2 1 1 1 1 2 000 的取值范围 求实数属于集合设函数 满足的条件 和 试求实数属于集合若函数 说明理由 是否属于集合函数 成立使得内存在的全体 在定义域是满足下列性质的函数例 已知集合 aM x a xf bkMbkxf M x xf fxfxfxDxfM x 2 集合之间的关系 6 5 4 3 2 1个有 那么符合要求的集合则且若满足 例 若非空集合SSaSaSS 712 4 2 3 5 1 3 个合有个非空子集 即元素组然后有满足 解析 首先有三对集合 01 6 2 的取值集合为则且例 集合mMNmxxNxxxM 3 1 2 1 02 3 mM解析 2 1 1 0 2 的取值范围是则实数且例 已知集合mABBx mx xm zzBxxA 0 2 2 012 012 012 012 2 01 01 2 01 01 2 0 1 1 22222 m m m m x mx xm x mx xm x mx xm 解析 3 121620 4812BAZrqprqpxxBZlnmlnmxxA则集合例 集合 BAAxrqprqpyBy BylnlnmlnllnnmlnmxAx 122854121620 1620 1248 124812 任一 解析 任一 14 12BAZkkxxBZkkxxA则集合例 集合 BAAxkkyBy Byp pp pp kxAx 1 2 214 14 121 12 2 141 2 2 12 任一 解析 任一 1 2 1 2 的取值范围求实数且若 求证 即和记为 点 的集合分别的 不动点 和 稳定的 稳定点 函数 为则称的 不动点 若为则称例 对于函数 aBARxRaaxxf BA xxffxBxxfxABA xfxf xxxffxfxxxf 4 3 4 1 4 3 4 3 0120100 010101 0 1 1 01 1 1 1 4 1 0 0 01 1 2 1 2222 22222 2222 222 2 2 a aaaxaaxxaaaxxa aaxxaxaxaaxxa aaxxaxaxxax xaxaxax a a axax RxRaaxxfBA BABtttftffAtABAA 或同解即与或 同解与无解或 同解与 同解与稳定点 不动点 同时也是 或有解存在的 不动点 也是 稳定点 存在的 不动点 同时 即则设解析 集合之间的运算 3 2 2 1 0 5 1 2 023 222 的取值范围求实数若 的取值范围求实数若 的值求实数若 例 设集合 aABCARU aABA aBA axaxxBxxxA U 21 3 3 3 30 0 0 62 4 2 313 122 2 1 1 BBaaBBBA aaAB aaBBAA 且 检验 或检验得解析 4 函数与映射 映射个数 个的映射有到集合个元素 则从集合中有个元素 非空集合中有例 证明 若非空集合 a bBAbBaA 个数原理 故共有映射种选择 又由 分步计对唯一 都有中的每个元素由 任一解析 a bbA 定义域 例 已知函数的定义域为 求的取值范围 86 2 mmxmxyRm 解析 0 m1 0 1 0 0 0 m mm mm 例 若函数的定义域为 求函数的定义域 xf 4 1 2 xf 解析 421 x 例 若函数的定义域为 求函数的定义域 12 xf 5 2 xf 解析 11 5 1112552 xx 例 若函数的定义域为 求函数的定义域 1 xf 3 2 12 xf 解析 5 2 0 4121 41132 xxx 同一函数 例 下列各组函数中表示同一函数的是 A 与 B 与xxf 2 xxg xxxf 2 2 x x xg 0 0 x x C 与 D 与 xxf 33 xxg 1 1 2 x x xf 1 1 xxxg 解析 D 函数值 例 已知已知函数 则 0 1 21 2 2 x x x xf 2 1 f 解析 15 2 1 2 1 21 fx 例 已知已知函数且 则 23 12 xxf4 af a 5 解析 5 12 aax 函数解析式 配凑法 例 已知函数 求的解析式 xxxf2 1 xf 解析 换元法 注意范围 亦可 1 1 1 1 2 1 22 xxxfxxxxf 例 已知函数 求的解析式 解析 拼凑法或换元法 注意定义域 242 4 2 xxxf xf 赋值法 例 已知函数 若且 求 cbxaxxf 2 0 0 f1 1 xxfxf xf 解析 代入可得 0 1 1 1 0 0 fff 对偶法 例 已知函数 求的解析式 23 1 2 x x fxf xf 解析 换元 联立解出 函数值域 直接法 例 求值域 4 5 323 22 xxfxxfxxf 解析 即 值域为 032 x3 xf 3 5 2 0 配方法 例 求值域32 32 1 2 1 2 22 xxy xx yxxyxxy 解析 配方法 4 3 4 3 2 1 2 xyRx 2 3 0 2 1 4 9 2 1 2 xyx 1 1 3 3 x 44 1 0 1 4 1 1 22 2 xx x y 或 值域为 此题画图求解更方便 4 1 4 1 1 2 x 0 4 1 1 2 x 0 4 1 6 2 22 1 2 xy 换元法 例 求值域 1 123xxyxxy 解析 2 7 2 7 1 1 8 1 2 1 2 7 2 1 0 12 222 yttttytxt 4 3 4 3 4 3 2 1 0 2 1 4 3 2 1 1 0 1 2222 tttttytxt 三角换元法 例 已知求的值 Ryxyx 1 22 yx 解析 设 则 2 0 4 sin 2 sin cos yxyx1 2 minmax yxyx 消元法 例 已知 求的最小值 1 yx 22 yx 解析 带入得xy 1 22 yx 2 1 122 2 xx 作图法 例 求值域 2 2 2 2 2 1 22 x yxxxyxxy 解析 表示数轴上到点 1 和点 2 的距离之和 易知该距离 3 即值域 3 作图 值域 4 作图 值域 0 0 例 求值域 2 12 x xy x xy x xx y 3 2 解析 22 22 4 0 132 132 分离常数法 例 求值域 12 34 41 23 2 1 2 2 xx xx y x x y x x y 求 解析 在定义域下变形 1 1 4 3 4 3 2 1 2 1 自然定义域分类判别式方法 例 求值域 1 2 2 Rx x x y 32 742 2 2 xx xx y x xy 1 3 2 ox x xx y 解析 舍去 值域 舍去 值域 值域 图象法 1 y 1 2 y 2 2 9 2 2 值域 32 例 求使得函数的值域为的的取值范围 1 2 2 2 xx axx y 2 a 7 解析 又 得2 1 2 2 2 xx axx 01 2 xx 04 2 2 xaxRx 0 26 a 利用单调性 例 求值域 23 2 xxxy 解析 定义域 当时 为增函数 此时 2 1 2 x23 2 xxxy 2 y 当时 下证为减函数 1 x23 2 xxxxf 0 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4 9 3 4 9 3 2323 1 12121212 12121 2 12 2 212 1 2 12 2 212121221 xxxxxxxx xxxxxxxxxx xxxxxxxfxfxxxx且 即为减函数 得 又23 2 xxxy1 min y 2 3 23 11 2 3 23 23 23 23 23 23 2 22 22 2 xx x yx xxx x xxx xxxxxx xxxy 此时 2 3 1 y 综上 2 2 3 1 y 利用导数 例 求值域 23 2 xxxy 解析 定义域 当时 为增函数 此时 2 1 2 x23 2 xxxy 2 y 当时 下证为减函数 1 x23 2 xxxxf 即为减函数 得0 4 9 3 2 3 1 23 2 3 1 23 32 2 1 1 2 22 xx x xx x xx x y23 2 xxxy 又1 min y 8 2 3 23 11 2 3 23 23 23 23 23 23 2 22 22 2 xx x yx xxx x xxx xxxxxx xxxy 此时 2 3 1 y 综上 2 2 3 1 y 三角换元法 例 求值域 23 2 xxxy 解析 1 1 32 1 32 2 1 4 1 2 3 23 222 xxxxxxxxy 令 得 2 2 0 sec32 x 2 3 cos sin cos 1 2 1 tan 2 1 2 3 sec 2 1 y 当时 取则 2 2 0 x 0cos 1 sin 2 1 2 3 cos sin1 2 1 2 3 y 1 0 sin cos BA 2 1 2 1 2 3 ykky ABAB 当时 取则 1 2 x 0cos 1sin 2 1 2 3 cos sin1 2 1 2 3 y 1 0 sin cosBA 2 3 1 1 0 2 1 2 3 ykky ABAB 综上 2 2 3 1 y 例 函数 xxxf 11 1 求函数的值域 xf 2 设 记的最大值为 求的表达式 1 2 xfxmxF xF mg mg 3 在 2 条件下 试求满足不等式的实数的取值范围 m mg 4 9 m 解析 设 2 2 4 2 122 1 1 1 22 xfxxfx 0 0 0 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 222 mmmtmtmtxFtxttxf 9 作出图象 易知 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 m m m m mm mg 2 1 m 函数的单调性 定义形式 1 增函数 设函数 f x 的定义域为 I 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 的任意两个自变量 x1 x2 当 x1 x2时 都有 f x1 f x2 那么就说函数说函数 f x f x 在区间在区间 D D 上是增函数上是增函数 同理 可得减函数的定义 2 在单调区间上 增函数的图象从左向右是上升的 减函数的图象从左向右是下降的 3 在指定的区间内任取自变量 x1 x2 且 x1 x2 化简 f x1 f x2 至可判断正负 若 f x1 f x2 0 则 f x 在 指定区间内为减函数 若 f x1 f x2 0 则 f x 在指定区间内为增函数 4 设 x1 x2 给定的区间 且 x1 x2 化简 f x1 f x2 至可与 1 比较大小 若 f x1 f x2 1 则 f x 在指定 区间内为减函数 若 f x1 f x2 1 则 f x 在指定区间内为增函数 5 设 x1 x2 给定的区间 若 x1 x2 f x1 f x2 0 增 0 减 6 设 x1 x2 给定的区间 且 x1 x2 化简 f x1 f x2 x1 x2至可与 0 比较大小 若 f x1 f x2 x1 x2 0 则 f x 在指定区间内为增函数 若若 f x1 f x2 x1 x2 0 则 f x 在指定区间内为减函数 7 函数在给定区间内可导 求出导函数 通过判断在给定区间内导函数的取值的正负 0 表示原函数在这一点有 极值即有水平切线 来确定原函数的单调性 图象法 例 判断函数的单调性 43 2 xxy43 2 xxy x x xf 21 2 0 k x k xxf 作差法 例 求函数的单调性 1 xxxfxxxf 1 2 解析 无理化分母 有理化分母逆用 放缩法 复合函数单调性 1 13 1 1 32 2 DCBA xxxf 的递增区间为 例 函数 的增区间的条件下求性 同增异减 得 在解 由复合函数的单调32 032 22 xxxgxx 3 1 1 1 32ln 2 DCBA xxxf的单调减区间为练 函数 10 2 4 4 4 2 4 2 3 log 2 2 DCBA aaaxxxf的取值范围是上是增函数 则在例 已知函数 44 2 2 0322 2 3 log 0 2 2 2 aa aa aaxxxf 即 上是增函数在 性可得同时利用复合函数单调解析 真数 思考 更改题设中的区间对分析方法有影响吗 另外 g 2 0 与 2 正根是等价条件吗 如果是 那为什么我们 考虑前者而不考虑后者呢 此题判别式不定所以不考虑 1 10 3 log的取值范围是上是增函数 则在区间且练 若aaaaxy a 思考 对比上题分析时应注意什么 a 3 时原函数在 1 上是可取的 因为 1 取不到 RDCBA axxy 1 0 0 2lg 2 的值域不可能是练 函数 有可能 即时值域为有可能 当即时值域为当复合函数有最小值若 有可能 即复合函数值域为若 则函数图象开口向上解析 设 CtBt DR axxt 1 10 0 1 0 0 2 2 11 方法 作为选择题 易知开口向上可取到 结合外层函数为增函数 所以复合函数定含 axxt 2 2 0 1 0 1 1 log 1 1 10 2 DCBA xyfaaaxf a x 的单调减区间为则函数满足且练 函数 利用单调性比较大小 cabDcbaCacbBabcA cbaecbxaex xx 2 1 ln 1 lnln1 的大小关系为 则例 若 bcaDcbaCacbBabcA chbgafxxxhxxxgxxf x 0 ln log 2 2 则若例 已知函数 12 分段函数单调性 sgn sgn sgn sgn sgn sgn sgn sgn 1 0 1 0 0 0 1 sgn xfxgDxfxgCxxgBxxgA aaxfxfxgRxf x x x x 则上的增函数 是例 已知符号函数 x x x x xg xgaxfxfxgxaxx xgxgx xgaxfxfxgxaxx aRxf sgn 0 1 0 0 0 1 sgn 1 sgn 0 0 0 sgn 0 0 1 sgn 0 0 1 时 时 时 上在解析 例 函数 若对任意的 都有 则实数的取值范围是 21 4 1 log 1 a axa x f x xx 12 xx 21 21 0 f xf x xx a 2 1 6 1 1log41 12 10 012 a aa a a Rxf a 上在解析 例 已知函数在上是增函数 则常数的取值范围是 0 23 0 23 2 xaax xx xfRa 2 1 2300 232 aaaRxf上在解析 例 函数 其中 若函数在上单调递减 且对任意的 2 2 3f xxax aR f x 2 12 1 1x xa 总有 则实数的取值范围为 12 4f xf x a 32 4 1 2 11 min a aff a afxfaaa远且离较离解析 作图知 导数法 例 函数的定义域 存在闭区间 使得函数满足 在内是单调函数 xfDDba xf xf ba 在上的值域为 则称区间为的 倍值区间 下列函数中存在 倍值区间 的有 xf ba 2 2 ba ba xf 13 解析 例 已知函数 若函数在上是单调递增的 则实数的取值范围为 x a xxf 2 xf 2 a 14 例 已知函数在上是增函数 则常数的取值范围是 0 23 0 23 2 xaax xx xfRa 15 注意 体会二次函数对称轴在求某个区间该函数最值时的分类讨论方法 16 类型二 隐函数 抽象函数恒等式 单调性 奇偶性 周期性证明及其运用 方法 抽象函数恒等式一般采用特殊赋值法处理 周期函数的性质 2 1 0 1 2015 0 2 1 0 1 log 2 DCBA f xxfxf xx xfxfR 的值为则满足上的函数例 定义在 2012 2012 1 1 1 2012 2012 2011 2012 DCBA ffxfxfxfRx则且满足 函数例 若对