高三数学专项复习函数的奇偶性与周期性专项练习题答案

高三数学专项复习高三数学专项复习 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 6 分 共 36 分 将正确答案的代号填在题后的括号内 1 定义在 R 上的函数 f x 满足 f x f x 2 13 f 1 2 则 f 99 A 13 B 2 C D 13 2 2 13 解析 由 f x f x 2 13 知 f x 2 f x 4 13 所以 f x 4 f x 即 f x 是周期函数 周期为 4 所以 f 99 f 3 4 24 f 3 13 f 1 13 2 答案 C 2 2010 郑州 定义在 R 上的函数 f x 满足 对于任意 R 总有 f f f 2010 则下列说法正确的是 A f x 1 是奇函数 B f x 1 是奇函数 C f x 2010 是奇函数 D f x 2010 是奇函数 解析 依题意 取 0 得 f 0 2010 取 x x 得 f 0 f x f x 2010 f x 2010 f x f 0 f x 2010 因此函数 f x 2010 是奇函数 选 D 答案 D 3 设 f x 是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数 已知 x 0 1 时 f x log 1 x 则函数 f x 在 1 2 1 2 上 A 是增函数 且 f x 0 C 是减函数 且 f x 0 解析 由题意得当 x 1 2 时 0 2 x 1 0 x 10 则可知当 x 1 2 时 f x 是减函数 选 D 1 2 答案 D 4 设 f x 是连续的偶函数 且当 x 0 时是单调函数 则满足 f x f的所有 x 之和为 x 3 x 4 A 3 B 3 C 8 D 8 解析 因为 f x 是连续的偶函数 且 x 0 时是单调函数 由偶函数的性质可知若 f x f 只有 x 3 x 4 两种情况 x x 0 x 3 x 4 x 3 x 4 由 知 x2 3x 3 0 故两根之和为 x1 x2 3 由 知 x2 5x 3 0 故其两根之和为 x3 x4 5 因此满足条件的所有 x 之和为 8 答案 C 5 已知奇函数 f x 在区间 3 7 上是增函数 且最小值为 5 那么函数 f x 在区间 7 3 上 A 是增函数且最小值为 5 B 是增函数且最大值为 5 C 是减函数且最小值为 5 D 是减函数且最大值为 5 解析 f x 为奇函数 f x 的图象关于原点对称 f x 在 3 7 上是增函数 f x 在 7 3 上也是增函数 f x 在 3 7 上的最小值为 5 由图可知函数 f x 在 7 3 上有最大值 5 答案 B 评析 本题既涉及到函数的奇偶性 又涉及到函数的单调性 还涉及到函数的最值 是一道综合性 较强的题目 由于所给的函数没有具体的解析式 因此我们画出函数 f x 在区间 3 7 上的示意图 由图形 易得结论 6 2010 新课标全国 设偶函数 f x 满足 f x x3 8 x 0 则 x f x 2 0 A x x4 B x x4 C x x6 D x x2 解析 当 x0 f x x 3 8 x3 8 又 f x 是偶函数 f x f x x3 8 f x Error f x 2 Error Error 或Error 解得 x 4 或 x 0 故选 B 答案 B 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 6 分 共 24 分 把正确答案填在题后的横线上 7 2010 江苏 设函数 f x x ex ae x x R 是偶函数 则实数 a 的值为 解析 设 g x x h x ex ae x 因为函数 g x x 是奇函数 则由题意知 函数 h x ex ae x为 奇函数 又函数 f x 的定义域为 R h 0 0 解得 a 1 答案 1 8 已知函数 f x 1 是奇函数 f x 1 是偶函数 且 f 0 2 则 f 4 解析 依题意有 f x 1 f x 1 f x 1 f x 1 所以 f 4 f 3 1 f 2 f 1 1 f 0 2 答案 2 9 2010 湖北八校 设函数 f x 的定义域 值域分别为 A B 且 A B 是单元集 下列命题 若 A B a 则 f a a 若 B 不是单元集 则满足 f f x f x 的 x 值可能不存在 若 f x 具有奇偶性 则 f x 可能为偶函数 若 f x 不是常数函数 则 f x 不可能为周期函数 其中 正确命题的序号为 解析 如 f x x 1 A 1 0 B 0 1 满足 A B 0 但 f 0 0 且满足 f f x f x 的 x 可能 不存在 错 正确 如 f x 1 A R B 1 则 f x 1 A R 是偶函数 正确 如 f x x 2k 1 A 2k 1 2k B 0 1 k Z f x 是周期函数 但不是常数函数 所以 错误 答案 10 对于定义在 R 上的函数 f x 有下述四个命题 其中正确命题的序号为 若 f x 是奇函数 则 f x 1 的图象关于点 A 1 0 对称 若对 x R 有 f x 1 f x 1 则 y f x 的图象关于直线 x 1 对称 若函数 f x 1 的图象关于直线 x 1 对称 则 f x 为偶函数 函数 y f 1 x 与函数 y f 1 x 的图象关于直线 x 1 对称 解析 f x 1 的图象是由 f x 的图象向右平移一个单位而得到 又 f x 是奇函数 其图象关于原点对 称 所以 f x 1 的图象关于点 A 1 0 对称 故 正确 由 f x 1 f x 1 可知 f x 的周期为 2 无法判断其对称轴 故 错误 f x 1 的图象关于直线 x 1 对称 则 f x 关于 y 轴对称 故 f x 为偶函数 正确 y f 1 x 的图象是由 y f x 的图象向左平移一个单位后得到 y f 1 x 是由 y f x 的图象关于 y 轴 对称后再向右平移一个单位而得到 两者图象关于 y 轴对称 故 错误 答案 三 解答题 本大题共 3 小题 11 12 题 13 分 13 题 14 分 写出证明过程或推演步骤 11 已知定义域为 R 的函数 f x 是奇函数 2x b 2x 1 a 1 求 a b 的值 2 若对任意的 t R 不等式 f t2 2t f 2t2 k 0 恒成立 求 k 的取值范围 分析 1 由 f 0 0 可求得 b 再由特殊值或奇函数定义求得 a 2 先分析函数 f x 的单调性 根据 单调性去掉函数符号 f 然后用判别式解决恒成立问题 解 1 因为 f x 是定义在 R 上的奇函数 所以 f 0 0 即 0 b 1 b 1 a 2 所以 f x 1 2x a 2x 1 又由 f 1 f 1 知 a 2 1 2 a 4 1 1 2 a 1 2 由 1 知 f x 1 2x 2 2x 1 1 2 1 2x 1 易知 f x 在 上为减函数 又因 f x 是奇函数 从而不等式 f t2 2t f 2t2 k 0 等价于 f t2 2t k 2t2 即对 t R 有 3t2 2t k 0 从而 4 12k 0 k 1 3 12 设函数 f x 的定义域为 R 对于任意的实数 x y 都有 f x y f x f y 当 x 0 时 f x 0 求证 1 f x 为奇函数 2 f x 在 上是减函数 证明 1 令 x y 0 得 f 0 f 0 f 0 f 0 0 再令 y x 得 f 0 f x f x f x f x f x 为奇函数 2 设 x1 x2 且 x1 x2 则 x2 x1 0 当 x 0 时 f x 0 f x2 x1 0 又 对于任意的实数 x y 都有 f x y f x f y 且 f x 为奇函数 f x2 x1 f x2 x1 f x2 f x1 f x2 f x1 f x2 f x1 0 f x 在 上是减函数 13 设函数 f x 的定义域关于原点对称 且满足 f x1 x2 f x1 f x2 1 f x2 f x1 存在正常数 a 使 f a 1 求证 1 f x 是奇函数 2 f x 是周期函数 并且有一个周期为 4a 证明 1 不妨令 x x1 x2 则 f x f x2 x1 f x2 f x1 1 f x1 f x2 f x1 x2 f x1 f x2 1 f x2 f x1 f x f x 是奇函数 2 要证 f x 4a f x 可先计算 f x a f x