10向量及其运算

高中数学新教材巩固练习 向量及其运算 1 向量及其运算 一 选择题 1 下列各量中是向量的是 A 密度B 体积C 重力D 质量 C 2 两个非零向量的模相等是这两个向量相等的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 即不充分也不必要条件 B 3 下列说法正确的是 A 平行向量就是向量所在的直线平行的向量 B 长度相等的向量叫相等向量 C 零向量的长度为 0 D 共线向量是指在一条直线上的向量 C 4 化简等于 AB AC BC A 2B 0C 2D 2 BC BC AC C 5 如图 D E F 分别是 ABC 的边 AB BC CA 的中 点 则下列等式中成立的是 A B 0 FD DA FA FD DE FE C D DE DA EB DA DE ED A 6 在平行四边形 ABCD 中 设 d AB aAD bAC cBD C ADB EF AB C D b a a d c 高中数学新教材巩固练习 向量及其运算 2 则下列各等式不成立的是 A a b cB a b d C b a dD c a b B 7 向量 a b 都是非零向量 下列说法中不正确的是 A 向量 a 与 b 同向 则向量 a b 与 a 的方向相同 B 向量 a 与 b 同向 则向量 a b 与 b 的方向相同 C 向量 a 与 b 反向 且 a b 则向量 a b 与 a 的方向相同 D 向量 a 与 b 反向 且 a b 则向量 a b 与 a 的方向相同 D 8 在平行四边形 ABCD 中 O 是对角线的交点 下列结论正确的是 A B AB CD BC AD AO OD DA C D AO OD AC CD AB BC CD DA C 9 在四边形 ABCD 中 AB CA BD A B C D AB BC CD BA C 10 如图 设 则 AB a AD b BC cDC A a b cB b a c C a b cD b a c A 11 在正三角形 ABC 中 P Q R 分别是 AB BC AC 的中点 则与向量相等的向量是 PQ A BC Db b a c 高中数学新教材巩固练习 向量及其运算 3 A B C D PR 与QR AR 与RC RA 与CR PA 与QR B 12 已知正方形 ABCD 的边长等于 1 则 a b c 的模等于 AB a BC b AC c A 0B 3C D 2 22 D 13 如图 在 ABC 中 AD BE CF 分别是 BC CA AB 边上的中线 G 是他们的交点 则下列等式中不正确的是 A B BG 2 3BE DG 1 2AG C D CG 2FG 1 3DA 2 3FC 1 2BC B 14 设 e1 1 e2 2是两个不共线的向量 则向量 a 2e1 1 e2 2与向量 b e1 1 e2 2 R 共线的充要条 件是 A 0B 1C 2D 1 2 D 15 有下面三种说法 一个平面内只有一对不共线的向量可以作为表示该平面所有向两的基底 一个平面内有无数多对不共线的向量可以作为表示该平面所有向两的基底 零向量不可以作为基底中的向量 其中正确的说法是 A B C D B 16 设 O 是平行四边形 ABCD 对角线的交点 给出下列四组向量 A BC D F G E 高中数学新教材巩固练习 向量及其运算 4 AD 与AB DA 与BC CA 与DC OD 与OB 其中可以作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底是 A B C D B 17 设四边形 ABCD 中 有 则这个四边形是 DC 1 2AB AD BC A 平行四边形B 矩形C 等腰梯形D 菱形 C 18 4 a b 3 a b b A a 2 2bB aC a 8 8bD a 6 6b C 19 下列命题中是假命题的是 A 对于两个非零向量 a b 若存在一个实数 k 满足 a kb 则 a b 共线 B 若 a b 则 a b C 若 a b 是两个非零向量 则 a b a b D 若两个向量 a b 方向相同 则 a b a b C 20 已知 A 0 0 B Error 则下列计算正确的是 A 向量的坐标是 B 向量的坐标是 0 AB 1 2 1 3 BC 1 3 C 向量 6的坐标是 3 4 D 向量的坐标是 0 AC AC AB 1 3 D 21 设向量 2 3 且点 A 的坐标为 1 2 则点 B 的坐标为 AB A 1 1 B 1 1 C 3 5 D 4 4 C 高中数学新教材巩固练习 向量及其运算 5 22 下列各组向量中 共线的是 A a 2 3 b 4 6 B a 2 3 b 3 2 C a 1 2 b 7 14 D a 3 2 b 6 4 D 23 若三个点 P 1 1 A 2 4 B x 9 共线 则 x A 1B 3C D 51 9 2 B 24 设 A B C D 四点的坐标依次为 1 0 0 2 4 3 3 1 则四边形 ABCD 为 A 正方形B 矩形C 菱形D 平行四边形 D 25 设 a sin b cos 且 a b 则锐角 3 2 1 3 A 30 B 60 C 45 D 75 C 26 与向量 a 5 4 一定平行的向量是 A 5k 4k B C 10 2 D 5k 4k 5 k 4 k A 27 若 P Q R S 四点共线 且依次排开 R 是 QS 的中点 PQ m PR n 则 PS A 2m nB 2n mC n mD m n B 28 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A B C 的坐标分别是 2 1 3 4 1 3 则第四个顶点 D 的坐标为 A 2 2 B 6 0 C 4 6 D 以上都不对 B 高中数学新教材巩固练习 向量及其运算 6 29 已知非零向量 a 与 b 反向 下列等式成立的是 A a b a b B a b a b C a b a b D a b a b C 30 点 M 4 3 关于点 N 5 6 的对称点为 A 4 3 B 0 C 3 D 6 9 9 2 1 2 D 31 设线段 AB 的长为 6cm 若点 P 在 AB 的延长线上 1cm 则 P 分有向线段的比 BP AB 为 A 7B 6C 5D 7 D 32 已知点 A m n B m n 点 C 分有向线段的比为 2 则点 C 的坐标为 AB A 3m 3n B m n C 3m 3n D m n A 33 已知点 P 分有向线段的比为 3 则点 A 分的比为 AB BP A B C D 4 3 2 3 1 2 3 2 B 34 设点 P 分有向线段的比为 且点 P 在有向线段的延长线上 则 的取值范围是 AB AB A 1 B 1 0 C 0 D 1 2 A 高中数学新教材巩固练习 向量及其运算 7 35 已知三点 A 1 0 B 5 6 P 3 4 那么点 P 分有向线段的比为 AB A B C 2D 3 1 3 1 2 C 36 已知 ABC 的两个顶点 A 3 7 和 B 2 5 若 AC 的中点在 x 轴上 BC 的中点在 y 轴上 则顶点 C 的坐标为 A 2 7 B 7 2 C 3 5 D 5 3 A 37 点 P 分有向线段的比为 则点 A 分的比为 AB 3 4 BP A B C D 3 7 7 3 7 3 3 7 C 38 已知点 M 2 3 N 1 1 点 P x 在线段 MN 的中垂线上 则点 P 的横坐标 x 1 2 的值为 A B C D 3 5 2 3 2 7 2 A 39 设点 P 分有向线段的比为 且 3 则 AB AB BP A 4 或 2B 3 或 1C 4 或 2D 3 或 1 C 40 已知点 A 4 9 与 B 2 3 则直线 PQ 与 y 轴的交点分有向线段的比 AB A B C 2D 3 1 3 1 2 高中数学新教材巩固练习 向量及其运算 8 C 41 平行四边形的三个顶点是 4 2 5 7 3 4 则第四个顶点不可能是 A 12 5 B 2 9 C 4 1 D 3 7 D 42 已知菱形的三个顶点是 A a b B b a C 0 0 则它的第四个顶点是 A 2a b B a b a b C a b b a D a b b a B 43 下面有四个关于向量数量积的关系式 0 0 0 0 0 0 a b c a b c a b b a a b a b 其中正确的是 A B C D D 44 若 a b 0 则 a 与 b 的夹角 的取值范围是 A 0 90 B 90 180 C 90 180 D 90 180 D 45 已知 a 8 e 为单位向量 当它们之间的夹角为 60 时 a 在 e 方向上的投影为 A 4B 4C 4D 8 32 3 2 B 46 已知 a 6 e 为单位向量 当它们之间的夹角为 120 时 a e A 3B 3C 3D 3 33 C 47 设 e1 e2是两个平行的单位向量 则下列结论正确的是 A e1 e2 1B e1 e2 1C e1 e2 1D e1 e2 1 C 48 已知向量 a b 满足 a b 40 a 10 b 8 则向量 a b 的夹角为 A 60 B 60 C 120 D 120 C 高中数学新教材巩固练习 向量及其运算 9 49 如果 a b a c 且 a 0 0 则 A b cB b cC b cD b c 在 a 上的投影相 等 D 50 已知 a 3 b 4 a b a 3b 33 则 a 与 b 的夹角为 A 30 B 60 C 120 D 150 C 51 已知 ABC 中 b a b 0 S ABC a 3 b 5 则 a 与 b 的夹角 CB a aCA 15 4 为 A 30 B 150 C 150 D 30 或 150 C 52 若 a b a 4 b 5 则 a b 41 20 3 A 10B 10C 10D 10 332 A 53 设 a 2 3 b x 2x 且 3a b 4 则 x A 3B C 3D 1 3 1 3 B 54 已知 a 3 0 b 5 5 则 a 与 b 的夹角为 A 45 B 60 C 135 D 120 C 55 已知 A 2 1 B 3 2 C 1 4 则 ABC 是 A 锐角三角形B 钝角三角形C 直角三角形D 等腰三角形 C 56 设 a x1 y1 b x2 y2 则下列命题种错误的是 A a B b C a b x1x2 y1y2D a b x1x2 y1y2 0 x12 y12x22 y22 B 高中数学新教材巩固练习 向量及其运算 10 57 已知 a 3 4 b 2 1 如果 a xb 与 b 垂直 则 x 的值为 A B C 2D 23 3 3 23 2 5 D 58 下面与向量 3 5 垂直的向量是 A 5 3 B 5 3 C 3 5 D 3 5 B 59 若 a b 是两个非零向量 则下列命题正确的是 A a b b a 0B a b a b C a b c a b c D a b a b A 60 点 A 3 5 与点 B 2 4 的距离是 A 10B C 2D 8 2610 B 61 以 O 0 0 A a b B b a b a 为顶点的三角形是 A 直角不等腰三角形B 等腰非直角三角形 C 等边三角形D 等腰直角三角形 D 62 已知向量 i 1 0 j 0 1 则与 2i j 垂直的向量是 A 2i jB i 2jC 2i jD i 2j B 63 按向量 a 将点 P 0 m 平移到 P P 的坐标为 m 0 则 a A m m B 0 m C m m D m m A 64 按向量 a 将点 2 3 平移到 1 2 则 a 把点 7 2 平移到 A 6 1 B 8 3 C 6 3 D 8 1 B 65 将函数 y x 2 的图像按 a 6 2 平移后的图像的解析式为 高中数学新教材巩固练习 向量及其运算 11 A y x 10B y x 6C y x 6D y x 10 B 66 将图形 F 按 a h k 其中 h 0 k 0 平移 就是将图形 F A 向 x 轴的正方向平移 h 个单位 同时向 y 轴的正方向平移 k 个单位 B 向 x 轴的负方向平移 h 个单位 同时向 y 轴的正方向平移 k 个单位 C 向 x 轴的负方向平移 h 个单位 同时向 y 轴的负方向平移 k 个单位 D 向 x 轴的正方向平移 h 个单位 同时向 y 轴的负方向平移 k 个单位 A 67 已知 A 1 2 B 4 2 则向量按向量 1 3 平移后得到的向量是 AB A 0 5 B 3 5 C 4 3 D 2 3 D 68 将函数 y x2 4x 5 的图像按向量 a 经过一次平移后得到 y x2的图像 则 a A 2 1 B 2 1 C 2 1 D 2 1 A 69 若 b 则 AOB 平分线上的向量为 OA aOB OM A B 由确定 a a b b a a b b OM C D a b b a b b b b a a a b b a b b B 70 将椭圆 9x2 16y2 18x 64y 71 0 按向量 a 平移 使中心与原点重合 则 a A 1 2 B 1 2 C 1 2 D 1 2 B 71 设 a b c 是任意的非零平面向量 且互不共线 则 a b c c a b 0 a b a b b c a c a b 不与 c 垂直 3a 2b 3a 2b 9 a 2 4 b 2 高中数学新教材巩固练习 向量及其运算 12 其中是真命题的有 A B C D 二 填空题 72 设向量 a 2 1 向量 b 与 a 同向且 b 2 则 b 4 2 5 73 设向量 a x 2 3 b 4 x 3 a b 且 a b 方向相同 则 x 6 74 化简 x y a b x y a b 2 x y b 75 向量 a b 满足 a 8 b 12 则 a b 的最大值是 20 最小值是 4 76 ABC 中 EF BC 交 AC 于 F 点 设 b 则用 a b 表示向量 AE 1 5AB AB a aAC b a BF 1 5 77 设平面内有四边形 ABCD 和点 O 若 a c b d 则四边形 OA a aOB b bOC c cOD d d ABCD 的形状是 平行四边形 78 已知 a 2 b a 与 b 的夹角为 45 要使 b a 与 a 垂直 则 2 2 79 ABC 中 b 用向量运算写出 ABC 的面积公式 AB a aAC 1 2 b c 2 b c 2 80 正方形 OABC 的边长为 a D E 分别是 AB BC 的中点 则 cos DOE 4 5 81 已知 A B C 三点共线 且 A 3 6 B 5 2 如果 C 点的横坐标为 6 则 C 点的 纵坐标为 9 82 在 ABC 中 0 S ABC 5 则 BAC 150 AB AC 15 4 AB 3 AC 83 设点 A 4 1 B 2 5 则线段 AB 与 y 轴的交点 P 的坐标为 0 11 3 高中数学新教材巩固练习 向量及其运算 13 84 已知点 A 1 4 B 5 2 有向线段上的三等分点顺次为 P1 P2 则 A 分所 AB P1P3 成的比为 1 2 85 点 x y 关于点 y x 的对称点的坐标为 2y x 2x y 86 设点 A 1 1 B 4 5 延长线段 AB 到 C 使 AC 3AB 则 C 点的坐标为 14 17 87 已知 a 3 b 5 如果 a b 则 a b 15 88 已知 a 2sin15 b 4cos15 如果 a 与 b 的夹角为 30 则 a b 3 89 在菱形 ABCD 中 Error 0 90 在 ABC 中 已知 8 则这个三角形的形状是 等边三角形 AB AC 4 且AB AC 91 已知 A 2 2 B 5 1 C 1 4 则 BAC 的余弦值为 5 74 74 92 已知 ABC 的三个顶点为 A 4 5 B 2 1 C 7 2 M 分为 1 2 N 分为 BA AC 1 2 则 S AMN S ABC 2 9 93 将函数 y x2 2x 2 的图像按 a 1 1 平移 则平移后的图像对应的函数解析式为 y x2 2 94 将函数 y 4x 8 的图像 l 按向量 a 沿水平方向平移到 l l 的函数表达式为 y 4x 则向 量 a 2 0 95 把一个函数的图像按向量 a 3 2 平移后得到的图像对应的函数解析式为 y log2 x 3 2 则原来的函数解析式为 y log2 x 6 4 96 已知两两的夹角为 OP1 OP2 OP3 0 OP1 OP2 OP3 1 则OP1 OP2 OP3 120 高中数学新教材巩固练习 向量及其运算 14 97 在 ABC 中 已知 a 3 cosC S ABC 4 则 b 2 2 1 333 三 解答题 98 如图 已知 ABC 中 M N P 顺次是 AB 的四等 分点 e2 试用 e1 e2表示 CB e e1 CA CM CN CP 答 CM 1 4e1 3 4e2 CN 1 2e1 1 2e2 CP 3 4e1 1 4e2 99 在静水中划船的速率为 40m min 水流的速率为 20m min 如果船从岸边 A 处出发 沿 着垂直于水流的航线到达对岸 那么船的行进方向应指向何处 答 船的前进方向应向上游且与河岸的夹角为 60 100 ABCD 是一个梯形 AB CD 且 AB 2CD M N 分别是 DC 和 AB 的中点 已知 试用分别表示 AB a AD b a b DC BC MN 答 DC 1 2 a BC b 1 2 a MN 1 4 a b 101 ABC 中 D E 分别是 AB AC 的中点 求证 DE BC 且 DE BC 1 2 证 D E 分别是 AB AC 的中点 AD 1 2AB AE 1 2AC DE AE AD 1 2 o AC s up5 o AB s up5 1 2BC 且 D B C 不共线 DE BC 且 DE BC 1 2 A C B P N M 高中数学新教材巩固练习 向量及其运算 15 102 平行四边形 OACB 中 BD BC OD 与 BA 交于 E 求证 BE BA 1 3 1 4 证 设 E 是 AB 上一点 且 BE BA 1 4 只需证 E E 重合即可 设 则 OA a OB b BD 1 3 a OD b 1 3 a BE OE b E A a OE 3BE E A 3 Error OE 1 4 o a s up5 3 o b s up5 3 4 o b s up5 f 1 3 o a s up5 O E D 三点共线 即 E E 重合 OE 3 4OD BE BA 1 4 103 证明 三角形的三条中线交于一点 且交点是每一条中线的三分点 104 求证 直径所对的圆周角为直角 105 证明 三角形的三条高线交于一点 106 已知 ABC 的三个顶点坐标分别为 A 1 1 B 5 3 C 4 5 直线 l AB 交 AC 于 D 且 l 平分 ABC 的面积 求 D 点的坐标 答 4 3 2 2 5 2 2 107 已知平行四边形 ABCD 中 A 0 0 B 3 1 C 4 3 D 1 2 M N 分别是 DC AB 的中点 求的坐标 并判断是否共线 AM CN AM CN A O C B D E E 高中数学新教材巩固练习 向量及其运算 16 答 共线 AM f 5 2 f 5 2 CN f 5 2 f 5 2 108 已知 ABC 中 A 7 8 B 3 5 C 4 3 M N 分别是 AB AC 的中点 D 是 BC 的中点 MN 与 AD 交于 F 求 DF 答 1 75 2 109 已知两个向量 a 和 b 求证 a b a b 的充要条件是 a 与 b 垂直 110 已知两个力 F1与 F2的夹角是直角 且它们的合力 F 与 F1的夹角为 60 F 10N 求 F1和 F2的大小 答 F1 5N F2 5N 3 111 已知四边形 ABCD 的顶点为 A 2 1 B 5 4 C 2 7 D 1 4 求证 四边形 ABCD 是正方形 112 已知 ABC 中 A 2 1 B 3 2 C 3 1 AD 是 BC 边上的高 求及 D 点 AD 坐标 答 1 2 D 1 1 AD 113 已知 ABC 的顶点 A 6 6 重心为 G AC 边上的中点为 M 7 4 求 BC 边的 16 3 8 3 长 答 2 10 114 ABC 的三个顶点为 A 4 1 B 7 5 C 4 7 试求 三边的长 AB 边上的中线 CM 的长 A 的角平分线 AD 的长 答 AB 5 BC 5 AC 10 5 CM 5 17 2 AD 10 2 3 高中数学新教材巩固练习 向量及其运算 17 115 已知等边三角形 ABC 的边长为 1 求 a b b c c a AB c BC a CA b 答 3 2 116 以原点 O 和点 A 4 2 为两个顶点的等腰直角三角形 OAB 中 B 90 求点 B 的坐标 和向量 AB 答 B 1 3 3 1 或 B 3 1 1 3 AB AB 117 已知抛物线 y x2 2x 8 求这条抛物线的顶点坐标 将这条抛物线平移到顶点与 2 3 重合 求函数的解析式 将这条抛物线沿 y 轴平移到通过原点时 求函数的解析式 答 1 9 y x2 4x 1 y x2 6x 或 y x2 6x 118 已知 a 1 2 b 3 2 当 k 为何值时 ka b 与 a 3b 垂直 ka b 与 a 3b 平行 平行时它们是同向还是反向 答 k 9 k 反向 1 3 119 已知 ABC 的顶点 A 0 0 B 4 8 C 6 4 点 M 内分所成的比为 3 N 是 AC AB 边上的一点 且 AMN 的面积等于 ABC 面积的一半 求 N 点的坐标 答 4 8 3 120 已知平行四边形 ABCD 的顶点 A 2 1 AB 的中点 M 3 0 CD 的中点 N 1 2 求 B C D 的坐标 高中数学新教材巩固练习 向量及其运算 18 答 B 8 1 C 4 3 D 6 1 121 将函数 y f x 的图像上一点 P 1 0 变为 P 2 0 求将此函数按上述平移得到的新的 解析式 答 y f x 1 122 将函数 y x2进行平移 使得到的图形与函数 y x2 x 2 的图像的两个交点关于原点 对称