高三培优班数学测试题2015-08-25

试卷第 1 页 总 9 页 正视方向 图 1 图 2 C1D1 B1 A1 C D A B M Q N 2 x y 高三培优班数学测试题 2015 08 25 一 选择题 1 已知集合 2 4 2 x Mx xxNy yxMMN 则 A 1 0 2 xx B 1 1 2 xx C 01xx D 2xx 2 已知 i 为虚数单位 为纯虚数 则复数的模等于 2 i aR ai 若 212zai A B C D 23611 3 经过圆的圆心且与直线平行的直线方程是 22 20 xxy 20 xy A B 220 xy 220 xy C D 210 xy 210 xy 4 一算法的程序框图如图所示 若输出的 则输入的可 1 2 y x 能为 A B 55 C D 11 13 5 已知 x y 满足22 yx xyzxy xa 且的最大值是最小值的 4 倍 则a的值是 A 3 4 B 2 11 C 1 4 D 4 6 如图 1 已知正方体的棱长为 动点分别在线段 1111 ABCDABC D a M N Q 上 当三棱锥的俯视图如图 2 所示时 三棱锥的 1111 AD BC C DQBMN QBMN 正视图面积等于 试卷第 2 页 总 9 页 Oxa 1a y A B C D 2 1 2 a 2 1 4 a 2 2 4 a 2 3 4 a 7 已知 若的必要条件是 23f xxxR 1f xa 1 0 xb a b 则之间的关系是 a b A B C D 2 a b 2 a b 2 a b 2 a b 8 设是一个非负整数 的个位数记作 G m 如 2015 5G 16 6G mm 0 0G 称这样的函数为尾数函数 给出下列有关尾数函数的结论 G abG aG b a b c N 若10abc 都有 G aG b G a b cG G aG bG c 则正确的结论的个数为 A 3 B 2 C 1 D 0 9 设双曲线的右焦点为 过点作与轴垂直的直线 22 22 10 0 xy ab ab FFx 交两渐近线于两点 且与双曲线在第一象限的交点为 设为坐标原点 若l A BPO 则双曲线的离心率为 OPOA uu u ruur 3 16 OBR uu u r A B C D 2 3 3 3 5 5 3 2 2 9 8 10 已知 1212 x x xx 是方程 2 4410 xkxkR 的两个不等实根 函数 2 2 1 xk f x x 的定义域为 12 x x maxmin g kf xf x 若对任意kR 恒 有 2 1g kak 成立 则实数 a 的取值范围是 A 3 8 5 5 B 8 5 C 3 5 D 8 5 二 填空题 11 从 1 2 3 4 5 中任取 2 各不同的数 事件为 取到的 2 个数之和为偶数 A 事件为 取到的 2 个数均为偶数 则 B P B A 12 已知的二项展开式中 常数项为 60 则的展开式中所有 6 2 0 a ax x 6 2 a x x 项系数之和为 用数字作答 13 如图所示 由直线及轴围成的曲边梯 2 10 xa xaayx x 试卷第 3 页 总 9 页 形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间 即 类比 1 222 1 a a adxxa 之 恒成立 则实数n N 111111 122121 A nnnnnn 等于 A 14 集合 对的任一非空子集 令表示中最 1 2 3 Mn nN MA x aA 大数与最小数之和 规定当 时 记为集合的所有 Am mN 2 x am n M 这样的的平均数 则 1 时 2 x a3n 3 1 n i i 15 已知曲线的参数方程为 为参数 在点处的切线为 C 2cos 2sin xt yt tC 1 1 l 以坐标原点为极点 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 则 的极坐标方程为 xl 3 解答题 16 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知BcCbasincos 1 求 B 2 若 b 2 求 ABC 面积的最大值 17 已知数列 中 对任何正整数都有 n a n bn 1 121321 21 22 n nnnnn aba ba baba bn 若数列是首项和公差都是 1 的等差数列 求 并证明数列是 n a 12 b b n b 等比数列 若数列是等比数列 数列是否是等差数列 若是请求出通项公式 若 n b n a 不是请说明理由 18 在如图所示的几何体中 四边形ABCD为平行四边形 平面AEC 平面ABCD 90ACB EF BC BCEF 2 1 2 BCAC ECAE 求证 CFAF 当二面角DECA 的平面角的余弦值为 3 3 时 求三棱锥AEFC 的 体积 19 某苗木公司为一小区种植 3 棵景观树 每棵树的成本为 1000 元 这种树的成活率 为 有甲 乙两种方案如下 2 3 A B D C E F 试卷第 4 页 总 9 页 甲方案 甲方案 若第一年种植后全部成活 小区全额付款 8000 元 若第一年成活率不足 终止合作 小区不付任何款项 若成活率超过 但没有全成活 第二年公司将对 1 2 1 2 没有成活的树补种 若补种的树全部成活 小区付款 8000 元 否则终止合作 小区付 给公司 2000 元 乙方案 乙方案 只种树不保证成活 每棵树小区付给公司 1300 元 若实行甲方案 求小区给苗木公司付款的概率 公司为获得更大利润 应选择哪种方案 20 已知椭圆 C a b 0 与 y 轴的交点为 A B 点 A 位于点 B 的上1 2 2 2 2 b y a x 方 F 为左焦点 原点 O 到直线 FA 的距离为b 2 2 求椭圆 C 的离心率 设 b 2 直线 y kx 4 与椭圆 C 交于不同的两点 M N 求证 直线 BM 与直线 AN 的交点 G 在定直线上 21 已知函数 ln 1 a f xx x 讨论函数的单调性 若函数在内有极值 f x 1 0 e 求实数的取值范围 a 若求证 12 0 1 1 xx 21 1 2f xf xe e 孝感高中孝感高中 2015 届高三年级届高三年级 5 月适应性考试月适应性考试 试卷第 5 页 总 9 页 数学 理科 参考答案 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 题号 1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010 答案 B BC CD DC CC CB BA AB BA AD D 二 填空题 本大题共 6 小题 考生共需作答 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 请 将答案填在答题卡对应题号的位置上 答错位置 书写不清 模棱两可均不得分 11 12 1 13 14 4 1 4 2ln 3 2 n n 15 5 16 cos2sinrqrq 三 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 解 1 a bcosC csinB 由正弦定理知 sinA sinBcosC sinCsinB 在三角形 ABC 中 A B C sinA sin B C sinBcosC cosBsinC 由 和 得 sinBsinC cosBsinC 而 C 0 sinC 0 sinB cosB 又 B 0 B 2 ABC 的面积 S acsinB ac 由题意及余弦定理得 4 a2 c2 2accos a2 c2 4 ac 又 a2 c2 2ac4 ac 2acac 等号当且仅当 a c 时成立 S ac 因此 ABC 面积的最大值为 18 1 数列的通项公式是 2 12 1 2bb n a n an 分 故等式即为 1 1221 23 1 22 n nnn bbbnbnbn 12321 23 2 1 21 n nnn bbbnbnbn 2n 两式相减可得 4 分 121 21 n nn bbbb 试卷第 6 页 总 9 页 A B D C EF O x y z 得 数列是首项为 1 公比为 2 的等比数列 5 分 1 2n n b n b 2 设等比数列的首项为 公比为 则 从而有 n bbq 1n n bbq 1231 1231 22 nnnn nn bqabqabqabqaban 又 234 1231 21 nnnn n bqabqabqaban 2n 故 7 分 1 21 22 nn n nqban 212 2n n qqq an bbb 要使是与无关的常数 必需 10 分 1nn aa n2q 即 当等比数列的公比时 数列是等差数列 其通项公式是 n b2q n a n n a b 当等比数列的公比不是 2 时 数列不是等差数列 12 分 n b n a 19 证明 因为 90 ACB 平面AEC 平面ABCD 所以 BC平面 AEC 又EF BC 所以 EF平面AEC 所以CEEFAEEF 3 分 又ECAE 所以CEF AEF CFAF 5 分 取AC的中点O 因为ECAE 所以ACEO 又平面AEC平面 ABCD 所以 EO平面ABCD 6 分 如图建立空间直角坐标系 则 0 0 1 C 0 0 1 A 0 2 1 D 设 0 0 mE 7 分 2 1 0 1 mEDmEC 设平面ECD的法向量为 1 1 yxn 则由 0 0 1 1 EDn ECn 即 02 0 myx mx 得mymx 1 1 mmn 9 分 由 知 EF平面AEC 所以平面AEC的法向量为 2 0 1 0 nFE 12 12 2 12 3 cos 3 21 nnm n n nn m 1 m 11 分 所以 1 3 A EFCFAECACE VVEF S 111 11 2 323 12 分 20 解析 1 设小区付款为事件 A 试卷第 7 页 总 9 页 所以小区付款的概率为 5 分 223 3 21220 33327 P AC 20 27 2 设甲方案的利润可能取值为 3 2 4 5 千元 6 分 123 3 1217 3 33327 PC 22 3 21 14 2 33 327 PC A 22 3 21 28 4 33 327 PC A 3 28 5 327 P 3 245 千元 10 分 43 27 E 乙方案的利润 0 9 千元 43 0 9 27 所以苗木公司选用甲方案的利润的均值更大 12 分 21 解析 设 F 的坐标为 c 0 依题意有 bc ab 2 2 椭圆 C 的离心率 e 3 分 a c 2 2 若 b 2 由 得 a 椭圆方程为 5 分221 48 22 yx 联立方程组 4 82 22 kxy yx 化简得 2k2 1 x2 16kx 24 0 由 32 2k2 3 0 解得 k2 2 3 由韦达定理得 xM xN xMxN 7 分 12 16 2 k k 12 24 2 k 设 M xM kxM 4 N xN kxN 4 MB 方程为 y x 2 M M x kx6 NA 方程为 y x 2 9 分 N N x kx2 由 解得 y 11 分 MN NMNM xx xxxkx 3 3 2 1 12 16 4 2 12 16 12 24 2 2 22 k k x x k k k k N N 12 16 4 2 12 8 2 2 2 k k x x k k N N p 7 27 4 27 8 27 8 27 试卷第 8 页 总 9 页 即 yG 1 直线 BM 与直线 AN 的交点 G 在定直线上 13 分 22 解 22 22 1 2 1 1 1 xaxxax fx x xx x 0 1 1 x 在上单调递增 2 分 1 0 a f x 0 1 1 在上递增 在 2 0 a f x 2 24 0 2 aaa 2 24 1 2 aaa 上递减 递增 4 分 2 24 1 2 aaa 2 24 2 aaa 0 x1 时 由在内有解 2 2 2 1 1 xax fx x x 0fx 1 0 e 令 6 分 2 2 1 g xxaxxx 1 不妨设 则 因 所以 1 0 e e 0 10g 解得 2 112 10 a g eee 1 2ae e 8 分 证明 由或 由或 00fxxa