江西省2014届高考数学(文)专题阶段测试：概率与统计

页1 第 概率与统计 说明 本试卷分为第 卷两部分 请将第 卷选择题的答案填入答题格内 第 卷可在各题后 直接作答 共 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 选择题 共 50 分 题号12345678910 答案 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 1 2013 江西卷 总体由编号为 01 02 19 20 的 20 个个体组成 利用下面的随机数表选取 5 个个 体 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字 则选出来的第 5 个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A 08B 07 C 02D 01 2 2013 全国新课标卷 从 1 2 3 4 中任取 2 个不同的数 则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率 是 A B 1 2 1 3 C D 1 4 1 6 3 在样本的频率分布直方图中 共有 11 个小长方形 若中间一个长方形的面积等于其他 10 个小长 方形面积和的 且样本容量为 160 则中间一组的频数为 1 4 A 32B 0 2 C 40D 0 25 4 某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度 支持和不支持的两种态度 的关系 运用 2 2 列 联表进行独立性检验 经计算 K2 7 069 则所得到的统计学结论是 有 的把握认为 学生性别 与支持该活动有关系 附 P K2 k0 0 1000 0500 0250 0100 001 k02 7063 8415 0246 63510 828 A 0 1 B 1 C 99 D 99 9 页2 第 5 2013 济南市模拟考试 某苗圃基地为了解基地内甲 乙两块地种植的同一种树苗的长势情况 从 两块地各随机抽取了 10 株树苗 用茎叶图表示上述两组数据 对两块地抽取树苗的高度的平均数 甲 乙 xx 和中位数 y甲 y乙进行比较 下面结论正确的是 A 甲 乙 y甲 y乙 B 甲 乙 y甲 y乙 xxxx C 甲 乙 y甲 y乙 D 甲 乙 y甲 y乙 xxxx 6 连续抛掷两枚正方体骰子 它们的六个面分别标有数字 1 2 3 4 5 6 记所得朝上的面的点数分别为 x y 过坐标原点和点 P x y 的直线的倾斜角为 则 60 的概率为 A B 1 4 3 4 C D 1 2 1 6 7 下列说法 将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后 方差恒不变 设有一个回归方程 3 5x 变量 x 增加一个单位时 y 平均增加 5 个单位 y 线性回归方程 x 必过 y b a xy 在一个 2 2 列联表中 由计算得 K2 13 079 则有 99 的把握确认这两个变量间有关系 其中错误的个数是 A 0B 1 C 2D 3 本题可以参考独立性检验临界值表 P K2 k 0 500 400 250 150 100 050 0250 0100 0050 001 k0 4550 7081 3232 0722 7063 8415 0246 6357 879 10 82 8 8 由不等式组Error 围成的三角形区域内有一个内切圆 向该三角形区域内随机投一个点 该点落在 圆内的概率是关于 t 的函数 P t 则 A P t 0B P t 0 C P t 0D P t 符号不确定 9 甲 乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次 两人成绩的条形统计图如图所示 则 页3 第 A 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 10 2013 河南三市三模 在区间 内随机取两个数分别为 a b 则使得函数 f x x2 2ax b2 2有零点的概率为 A 1 B 1 8 4 C 1 D 1 2 3 4 第 卷 非选择题 共 100 分 第 卷 题 号第 卷 二161718192021总 分 得 分 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 5 分 共 25 分 把答案填在题中的横线上 11 高三 1 班共有 56 人 学号依次为 1 2 3 56 现用系统抽样的办法抽取一个容量为 4 的样本 已知学号为 6 34 48 的同学在样本中 那么还有一个同学的学号应为 12 2012 山东卷 右图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温 单位 数据得到的样本频率分布直 方图 其中平均气温的范围是 20 5 26 5 样本数据的分组为 20 5 21 5 21 5 22 5 22 5 23 5 23 5 24 5 24 5 25 5 25 5 26 5 已知样本中平均气温低于 22 5 的城市个数为 11 则样本中平均气 温不低于 25 5 的城市个数为 13 2013 浙江省名校联考 一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球 其中一个编号为 1 两个 编号为 2 三个编号为 3 现从中任取一球 记下编号后放回 再任取一球 则两次取出的球的编号之和等 于 4 的概率是 页4 第 14 右面茎叶图表示的是甲 乙两人在 5 次综合测评中的成绩 其中一个数字被污损 则甲的平均成 绩超过乙的平均成绩的概率为 15 若从集合中随机抽取一个数记为 a 从集合 1 1 2 2 中随机抽取一个数记为 1 3 1 4 3 4 b 则函数 f x ax b a 0 a 1 的图象经过第三象限的概率是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 12 分 已知 A B C 三个箱子中各装有两个完全相同的球 每个箱子里的球 有一 个球标着号码 1 另一个球标着号码 2 现从 A B C 三个箱子中各摸出一个球 1 若用数组 x y z 中的 x y z 分别表示从 A B C 三个箱子中摸出的球的号码 请写出数组 x y z 的所有情形 并回答一共有多少种 2 如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和 猜中有奖 那么猜什么数获奖的可能性最大 请说明理 由 17 本小题满分 12 分 2013 广东卷 某车间共有 12 名工人 随机抽取 6 名 他们某日加工零件个数 的茎叶图如图所示 其中茎为十位数 叶为个位数 1 根据茎叶图计算样本均值 2 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人 根据茎叶图推断该车间 12 名工人中有几名优秀 工人 3 从该车间 12 名工人中 任取 2 人 求恰有 1 名优秀工人的概率 页5 第 18 本小题满分 12 分 2013 郑州市质量预测 某高校组织自主招生考试 共有 2 000 名优秀同学参加 笔试 成绩均介于 195 分到 275 分之间 从中随机抽取 50 名同学的成绩进行统计 将统计结果按如下方 式分成 8 组 第 1 组 195 205 第 2 组 205 215 第 8 组 265 275 如图是按上述分组方法得到的频 率分布直方图 且笔试成绩在 260 分 含 260 分 以上的同学进入面试 1 估计所有参加笔试的 2 000 名同学中 参加面试的同学人数 2 面试时 每位同学抽取两个问题 若两个问题全答错 则不能取得该校的自主招生资格 若两个问 题均回答正确且笔试成绩在 270 分以上 则获 A 类资格 其他情况下获 B 类资格 现已知某中学有两人获 得面试资格 且仅有一人笔试成绩为 270 分以上 在回答两个面试问题时 两人对每一个问题正确回答的 概率均为 求恰有一名同学获得该高校 B 类资格的概率 1 2 19 本小题满分 13 分 2013 长春市调研 某车间将 10 名技工平均分成甲 乙两组加工某种零件 在 单位时间内每个技工加工的合格零件数如下表 1 号2 号3 号4 号5 号 甲组45x910 乙组567y9 1 已知两组技工在单位时间内加工的合格零件平均数为 7 分别求出甲 乙两组技工在单位时间内加 工的合格零件的方差 并由此分析两组技工的加工水平 2 质检部门从该车间甲 乙两组中各随机抽取一名技工 对其加工的零件进行检测 若 2 人加工的合 格零件个数之和超过 14 则称该车间 质量合格 求该车间 质量合格 的概率 20 本小题满分 13 分 甲 乙两所学校高三年级分别有 1 200 人 1 000 人 为了了解两所学校全体高 三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况 采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了 110 名学生的数 页6 第 学成绩 并作出了频数分布统计表如下 甲校 分组 70 80 80 90 90 100 100 110 频数34815 分组 110 120 120 130 130 140 140 150 频数15x32 乙校 分组 70 80 80 90 90 100 100 110 频数1289 分组 110 120 120 130 130 140 140 150 频数1010y3 1 计算 x y 的值 2 若规定考试成绩在 120 150 内为优秀 请分别估计两所学校数学成绩的优秀率 3 由以上统计数据填写下面的 2 2 列联表 并判断能否在犯错误的概率不超过 0 10 的前提下认为两 所学校的数学成绩有差异 甲校乙校总计 优秀 非优秀 总计 参考数据与公式 由列联表中数据计算 K2 n ad bc 2 a b c d a c b d 临界值表 P K2 k0 0 100 050 010 k02 7063 8416 635 21 本小题满分 13 分 设 f x 和 g x 都是定义在同一区间上的两个函数 若对任意 x 1 2 都有 f x g x 8 则称 f x 和 g x 是 友好函数 设 f x ax g x b x 页7 第 1 若 a 1 4 b 1 1 4 求 f x 和 g x 是 友好函数 的概率 2 若 a 1 4 b 1 4 求 f x 和 g x 是 友好函数 的概率 详解答案 专题阶段评估 六 一 选择题 1 D 由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的 5 个个体是 08 02 14 07 01 所以第 5 个个体的编号 是 01 2 B 从 1 2 3 4 中任取 2 个不同的数 有 1 2 1 3 1 4 2 1 2 3 2 4 3 1 3 2 3 4 4 1 4 2 4 3 共 12 种情形 而满足条件 2 个数之差的绝对值为 2 的只有 1 3 2 4 3 1 4 2 共 4 种情形 所以取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率为 4 12 1 3 页8 第 3 A 设中间的长方形面积为 x 则其他的 10 个小长方形的面积为 4x 所以可得 x 4x 1 得 x 0 2 又因为样本容量为 160 所以中间一组的频数为 160 0 2 32 故选 A 4 C 因为 7 069 与附表中的 6 635 最接近 所以得到的统计学结论是 有 1 0 010 0 99 99 的把 握认为 学生性别与支持该活动有关系 5 B 从茎叶图看出乙地树苗高度的平均数大于甲地树苗高度的平均数 乙地树苗高度的中位数是 35 5 甲地树苗高度的中位数是 27 6 A 基本事件总数为 6 6 36 种 60 的必须是 tan 则这样的基本事件有 1 2 1 3 y x3 1 6 2 4 2 5 2 6 3 6 共 9 种 所以概率为 9 36 1 4 7 B 根据方差的计算公式可知命题正确 错 应为减少 5 个单位 正确 这是回归直线方程满 足的一个重要性质 结合给出的数表 易知命题正确 故只有 是错误的 8 C 若围成三角形 则只可能恒为等腰直角三角形 内切圆半径 r 7 t 7 t P t 2 2 2 2 该值与 t 无关 所以 P t 0 2 2 2 2 7 t 2 1 2 7 t 2 22 9 C 由条形统计图知 甲射靶 5 次的成绩分别为 4 5 6 7 8 乙射靶 5 次的成绩分别为 5 5 5 6 9 所以 甲 6 乙 6 x 4 5 6 7 8 5x 5 5 5 6 9 5 所以 甲 乙 故 A 不正确 xx 甲的成绩的中位数为 6 乙的成绩的中位数为 5 故 B 不正确 s 4 6 2 5 6 2 6 6 2 7 6 2 8 6 2 10 2 s 5 6 2 5 6 2 5 6 2 甲 1 5 1 52 乙 1 5 2 6 6 2 9 6 2 12 因为 2 所以 s s 故 C 正确 1 5 12 5 12 52 甲2 乙 甲的成绩的极差为 8 4 4 乙的成绩的极差为 9 5 4 故 D 不正确 故选 C 10 B 函数 f x x2 2ax b2 2有零点 需 4a2 4 b2 2 0 即 a2 b2 2成立 而 a b 建立平面直角坐标系 满足 a2 b2 2的点 a b 如图阴影部分所示 所求事件的概率为 P 1 故选 B 2 2 3 2 2 4 2 3 4 2 4 页9 第 二 填空题 11 解析 从 56 人中抽取一个容量为 4 的样本 用系统抽样抽取的间隔为 14 又因为学号为 56 4 6 34 48 的同学在样本中 可知初次抽取的学号为 6 还有一个同学的学号应为 6 14 20 答案 20 12 解析 设样本容量为 n 则 n 0 1 0 12 1 11 所以 n 50 故所求的城市数为 50 0 18 1 9 答案 9 13 解析 列举可知 共有 36 种情况 和为 4 的情况有 10 种 所以所求概率 P 10 36 5 18 答案 5 18 14 解析 记其中被污损的数字为 x 依题意得甲的 5 次综合测评的平均成绩是 80 2 90 3 8 9 2 1 0 90 乙的 5 次综合测评的平均成绩是 80 3 90 2 3 3 7 x 9 1 5 1 5 442 x 令 90 442 x 由此解得 x 8 即 x 的可能取值为 0 7 因此甲的平均成绩超过乙的平均 1 5 1 5 成绩的概率为 8 10 4 5 答案 4 5 15 解析 b a 的所有可能情况有 1 3 1 4 1 3 1 4 1 1 3 1 1 4 1 1 3 1 1 4 2 3 2 4 共 16 种 由于函数 f x 的图象经过第三象限 因此 0 a 1 b 1 或 2 1 3 2 1 4 a 1 b 0 因此满足条件的 b a 有 1 3 1 4 2 3 2 4 共 6 种 根据古典 2 1 3 2 1 4 页10 第 概型的概率计算公式可得 P 6 16 3 8 答案 3 8 三 解答题 16 解析 1 数组 x y z 的所有情形为 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 共 8 种 2 记 所摸出的三个球的号码之和为 i 为事件 Ai i 3 4 5 6 易知事件 A3的基本结果有 1 种 事件 A4的基本结果有 3 种 事项 A5的基本结果有 3 种 事件 A6的基本 结果有 1 种 所以 P A3 P A4 P A5 P A6 1 8 3 8 3 8 1 8 所以所摸出的三个球的号码之和为 4 为 5 的概率相等且最大 故猜 4 或 5 获奖的可能性最大 17 解析 1 由茎叶图可知 样本数据为 17 19 20 21 25 30 则 17 19 20 21 25 30 22 x 1 6 故样本均值为 22 2 日加工零件个数大于样本均值的工人有 2 名 故优秀工人的频率为 该车间 12 名工人中优秀工 2 6 1 3 人大约有 12 4 名 故该车间约有 4 名优秀工人 1 3 3 记 恰有 1 名优秀工人 的事件 A 其包含的基本事件总数为 4 8 32 所有基本事件的总数为 66 由古典概型概率公式 得 P A 12 11 2 32 66 16 33 所以恰有 1 名优秀工人的概率为 16 33 18 解析 1 设第 i i 1 2 8 组的频率为 fi 则由频率分布直方图知 f7 1 0 004 0 01 0 01 0 02 0 02 0 016 0 008 10 0 12 所以成绩在 260 分以上的同学的概率 P f8 0 14 f7 2 2 000 0 14 280 故这 2 000 名同学中 取得面试资格的约为 280 人 2 不妨设两名同学分别为 M N 且 M 的笔试成绩在 270 分以上 则对于 M 答题的可能有 M11 M10 M01 M00 对于 N 答题的可能有 N11 N10 N01 N00 其中角标中的 1 表示正确 0 表示错误 如 N10 表示 N 同学第一题正确 第二题错误 将两名同学的答题情况列表如下 M11M10M01M00 N11ABBBBBCB 页11 第 N10ABBBBBCB N01ABBBBBCB N00ACBCBCCC 表中 AB 表示 M 获 A 类资格 N 获 B 类资格 BC 表示 M 获 B 类资格 N 没有获得资格 所以恰有一名同学获得该高校 B 类资格的概率为 8 16 1 2 19 解析 1 由甲组技工在单位时间内加工的合格零件平均数 甲 4 5 x 9 10 7 得 x 7 x 1 5 由乙组技工在单位时间内加工的合格零件平均数 乙 5 6 7 y 9 7 得 y 8 x 1 5 甲组方差 s 4 7 2 5 7 2 7 7 2 9 7 2 10 7 2 5 2 2 甲 1 5 乙组方差 s 5 7 2 6 7 2 7 7 2 8 7 2 9 7 2 2 2 乙 1 5 甲 乙 s s xx2 甲2 乙 两组技工水平基本相当 乙组更稳定些 2 从甲 乙两组中各随机抽取一名技工 加工的合格零件个数包含的基本事件为 4 5 4 6 4 7 4 8 4 9 5 5 5 6 5 7 5 8 5 9 7 5 7 6 7 7 7 8 7 9 9 5 9 6 9 7 9 8 9 9 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 共 25 个 而车间 质量合格 包含的基本事件为 7 8 7 9 9 6 9 7 9 8 9