自然数集扩充后的基数理论

自然数集扩充后的基数理论自然数集扩充后的基数理论 摘 要 自然数集扩充后 其基数理论起了相应变化 定义与法则都需作调整以适应数学教 学与应用的需要 1994 年 11 月国家技术监督局发布的 中华人民共和国国家标准 物理科学和技术中使用 的数学符号 中 将自然数集记为 N 0 1 2 3 而将原自然数集称为非零自然数集 N 或 N 1 2 3 自然数集扩充后 文 1 中的自然数的基数理论以及其他一些与自然数有关的理论问题随之 起变化 这给数学教学与数学应用产生一定影响 为此 我们将自然数的基数理论讨论如下 1 对自然数的来源的认识 由于自然数的概念是建立在基数理论 1 之上的 基数是由集合对等而来 最初人类对物品的 计数 是将物品与人的手指 脚趾 数形成映射关系 物品既然存在 多少 也就存在 有 或 没有 没有 即可认为是空集 其计数应当是零 这就是说 零与非零自然数是人类认识同步的客观现象 而并非是 6 世纪才有零的概念 也许这就是将零补充到自然数集的缘由之一 事实上 国外许多文 献和专家早就主张将零作为第一个自然数 2 自然数的新概念 自然数扩充后 包含了空集的基数 要去掉原有自然数定义中 非空 的限制条件 即定义 1 有限集合的基数叫做自然数 根据对等的概念 可以建立 N 与 N 的一一映射关系 f N 0 1 2 3 N 1 2 3 4 由此可见 N 与 N 有相同的基数 即 N N 3 自然数的四则运算 自然数加法 乘法运算义定只要去掉原有定义中的 非空 二字即可 亦即 定义 2 设有有限集合 A 和 B 且 A B A B 分离 若记 A B C 集合 A B C 的基数分别 是 a b 和 c 那么 c 叫做 a 与 b 的和 记作 a b c a 和 b 叫做加数 求两个数的和的运算叫做加法 定义 3 设有 m m 1 个相互对等 且两两分离的有限集合 A1 A2 A3 Am 它们的基数 都是 n 又设 A Umi 1Ai A 的基数记作 a 即有 a n n nm 个 这个 a 就叫做 n 乘以 m 的积 记作 a n m 或 a n m 或 a n m n 称为被乘数 m 称为乘数 求两个数积的运算叫做乘法 对于数 0 1 补充义定 n 和 0 的积是 0 n 和 1 的积是 n 即 n 0 0 n 1 1 在上述定义里 加法 乘法的交换律 结合律 乘法对于加法的分配律仍然成立 关于减法运算的定义 除了去掉 非空 二字外 集合 B 可以是 A 本身 即 定义 4 设有有限集合 A 和 B B A 若记 A B C 且 A B C 的基数分别记作 a b c 那么 c 叫 做 a b 的差 记作 a b c a 叫做被减数 b 叫做减数 求两个数差的运算叫做减法 除法是乘法的逆运算 在原定义中要限定 除数非零 即可 定义 5 设 a b b 0 是两个自然数 如果存在一个自然数 c 使得 bc a 那么 c 叫做 a 除以 b 所得的商 记作 ab c 或 a b c a 称为被除数 b 称为除数 求两个数商的运算叫做除法 4 自然数的有关性质 1 自然数的有序性决定了自然数可以比较大小 即 定义 6 如果两个有限集合 A B 的基数分别为 a b 那么 1 当 A A A B 时 a b 2 当 B B A B 时 a0 时 ac bc 当 c 0 时 ac bc 对于与自然数有关的数学论证与原理 应随自然数扩充后作相应调整 如数学归纳法证明的 步骤应是 1 验证 n 0 时 命题成立 2 假设 n k 1 时成立 则 n k 时命题成立 自然数的其他理论 2 本文不再赘述