分式方程专题复习

丹桂分式方程 分式方程分式方程 复习指导复习指导 一 课标要求课标要求 1 了解分式方程的概念 会解可化为一元一次方程的分式方程 2 了解产生增根的原因 会检验一个数是不是分式方程的增根 3 能将实际问题中的等量关系用分式方程表示 体会分式方程的模型思想 4 通过实际问题抽象 概括分式方程这一 数学化 的思想 培养我们努力寻找解决 问题的方法的进取心 体会数学的应用价值 一 知识网络 二 知识要点回顾 1 分式方程的概念 分式方程是分母中含有未知数的方程 分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别 是区分分式方程和整式 方程的依据 如和 x 1 是不同的方程 前者是分式方程 后者是整式方程 一元一 2 x 1 x 次方程 判断一个方程是不是分式方程 应看这个方程的分母中是否含有未知数 而不是含 不含有宇母 如方程 a 是常数 且 a 0 x 是未知数 就不是分式方程 x 1 a 2 分式方程的解的意义 使分式方程左右两边相等的值叫做分式方程的解 也可以叫做根 注意 由于分式方程都可以化为一元一次的整式方程 故它的解至多一个 也可能 无解 可用代入法检验一个数是否是分式方程的解 或进一步确定待定常数 3 如何解分式方程 1 解分式方程的基本思想 转化 思想 即把分式方程的分母去掉 使分式方 程化为整式方程 就可以利用整式方程的解法求解了 2 解分式方程的步骤 分式方程是转化为一元一次方程来求解 它是通过去分母实现转化的 主要步骤 去 分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为 1 检验 因为解分式方程可能产生增根 所以解分式方程最后一步 检验 检查所解整式方程的根到底是不是分式方程的根 解分式方程分式方程 概念 基本方法 步骤 注意的问题 分式方程的应用 分式方程整式方程整式方程的解 分式方程的解 数学化转化 检验 实 际 问 题 4 去分母的技巧 去分母是解分式方程的第一步 也是关键的一步 当分式方程中分式的分母是一次式 时 可直接确定最简公分母 方程两边同乘以最简公分母后实现去分母 当各分式的分母 中有二次式时 要先进行因式分解 再确定最简公分母 然后再去分母 5 增根 是怎样产生的 解分式方程时 由于在方程的左右两边同时乘含有未知数的公分母 含未知数的整式 得到了一个整式方程 从而使原分式方程中未知数的取值范围扩大了 对于分式方程 当 分式中分母的值为零时没有意义 所以分式方程不允许末知数取那些使分母的值为零的值 即分式方程本身隐含着分母不为零这一条件 当我们通过去分母把分式方程转化为一元一 次方程时 这种限制被取消了 于是就可能出现使原分式方程的分母为零的根 即 增根 因此 在解分式方程时必须验根 6 验根的方法 因为解分式方程可能出现增根 所以验根是必要的 验根的方法有两种 一种是把求 得的未知数的值代入原方程进行检验 这种方法道理简单 而且可以检查解方程时有无计 算错误 另一种是把求得的末知数的值代入最简公分母 看分母的值是否为零 如果使最 简公分母为零 那么这个解就是原方程的增根 故必须舍去 这种方法比较简便 但不能 检查解方程过程中出现的计算错误 7 注意的问题 把分式方程 转化 为整式方程的条件是去掉分式方程中的分母 如何去掉分式方程 中的分母是解分式方程的 关键 步骤 用分式方程中各项的最简公分母乘方程的两边 从而约去分母 但要注意用最简公 分母乘方程两边各项时 切勿漏项 解分式方程可能产生 增根 的情况 那么验根就是解分式方程的必要步骤 8 列分式方程解应用题的方法步骤 1 审 弄清题中涉及哪些量 已知量和未知量各有几个 量与量之间的基本关系 是什么 2 设 设恰当的未知数 设未知数 找出尽可能多的相等关系 用含有未知数的 代数式表示其他未知量 注意 所设未知量的单位要明确 3 列 抓住题中含有相等关系的语句 将此语句抽象为含有未知数的等式 这就 是方程 4 解 求出所列方程的解 5 验 用分式方程解决实际问题时 必须进行检验 这里的检验应包括两层含义 第一 检验得到的根是不是分式方程的增根 第二 检验得到的根是否符合实际问题的题 意 6 答 写出答案 三 思想方法 类比和转化的思想 四 常见误区提示 一 忽视检验 例 1 解方程 1 6 1 3 1 2 2 xxx 例 2 解方程 1 6 1 3 1 2 2 xxx 例 3 解方程 3 2 4 1 1 4 2 3 xxxx 例 4 若关于的分式方程的解为正数 则的取值范围是 x 1 2 1 m x m A B C 且D 且1m 1m 1m 1m 1m 1m 例 5 若关于 x 的方程 1 0 有增根 则 a 的值为 1 1 x ax 例 6 解方程 3 3 2 3 xx x 例 7 解方程 2 116 22312 x xxx 例 1 解下列分式方程 1 xx x x 2 2 2 2 4 1 1 3 1 1 2 2 x x x x 3 1 1 3 1 2 2 2 x x x x 例 3 解方程 3 12 41 2 2 x x x x 一 填空题 1 若关于的方程有增根 则的值为 x01 1 1 x ax a 2 用换元法解方程 如果设 则原方程可变形为整式01 2 2 2 xx xxyxx 2 方程 3 分式方程有增根 则 0 111 x x x k x x 1 xk 4 若 则 或 2 1 2 1 x xx 二 选择题 1 方程有 6 2 5 2 22 x x x x A 一解 B 两解 C 无解 D 无穷多个解 2 方程的根是 2 1 32 xx A 2 B C 2 D 2 1 2 1 2 1 3 用换元法解方程时 下列换元方法中最适宜的是设 7 1 1 6 1 1 2 2 2 x x x x A B C D 1 2 xy1 xy 1 1 2 x x y 1 1 2 x y 4 用换元法解方程 通常会设 4 11 2 2 xx xxy A B C D 2 xx x x 1 2 11 xx 2 x 三 解下列方程 1 6 2 5 x x x x 2 1 2 2 6 10 2 xxx 3 1 1 2 1 3 1 2 2 xx x x x 4 9 8 8 7 6 5 5 4 x x x x x x x x 四 用换元法解下列方程 组 1 2 5 3 1 1 3 x x x x 2 3 11 4 3 3 82 2 2 x xx xx x 3 3 12 3 42 2 2 xx xx 4 06 1 5 1 2 x x x x 五 已知 求的值 013 2 xx 4 4 1 x x 课时 11 分式方程及其应用 课前热身课前热身 1 0808 泰州 泰州 方程2 2 1 2 3 xx x 的解是 x 2 已知 2 x a 与 2 x b 的和等于 4 4 2 x x 则 a b 3 解方程 1 2 1 1 2 xx 会出现的增根是 A 1 x B 1 x C 1 x或1 x D 2 x 4 0606 泸州 泸州 如果分式 1 2 x 与 3 3 x 的值相等 则x的值是 A 9 B 7 C 5 D 3 5 0606 临沂 临沂 如果3 2 yx 则下列各式不成立的是 A 3 5 y yx B 3 1 y xy C 3 1 2 y x D 4 3 1 1 y x 6 0808 宜宾 宜宾 若分式 1 2 2 x x 的值为 0 则 x 的值为 A 1B 1 C 1 D 2 考点链接考点链接 1 1 分式方程 分式方程 分母中含有 的方程叫分式方程 2 2 解分式方程的一般步骤 解分式方程的一般步骤 1 去分母 在方程的两边都乘以 约去分母 化成整式方程 2 解这个整式方程 3 验根 把整式方程的根代入 看结果是不是零 使最简公分母为零的根 是原方程的增根 必须舍去 3 3 用换元法解分式方程的一般步骤 用换元法解分式方程的一般步骤 设辅助未知数 并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式 解所得 到的关于辅助未知数的新方程 求出辅助未知数的值 把辅助未知数的值代入原设 中 求出原未知数的值 检验作答 4 4 分式方程的应用 分式方程的应用 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似 不同的是要注意检验 1 检验所求的解是否是所列 2 检验所求的解是否 5 5 易错知识辨析 易错知识辨析 1 去分母时 不要漏乘没有分母的项 2 解分式方程的重要步骤是检验 检验的方法是可代入最简公分母 使最简公分母 为 0 的值是原分式方程的增根 应舍去 也可直接代入原方程验根 3 如何由增根求参数的值 将原方程化为整式方程 将增根代入变形后的整式 方程 求出参数的值 典例精析典例精析 例例 1 1 0808 沈阳沈阳 解分式方程 1 2 33 x xx 例例 2 2 08 08 东莞东莞 在 2008 年春运期间 我国南方出现大范围冰雪灾害 导致某地电路断电 该地供电局组织电工进行抢修 供电局距离抢修工地 15 千米 抢修车装载着所需材料 先从供电局出发 15 分钟后 电工乘吉昔车从同一地点出发 结果他们同时到达抢 修工地 已知吉普车速度是抢修车速度的 1 5 倍 求这两种车的速度 例例 3 3 某中学库存 960 套旧桌凳 修理后捐助贫困山区学校 现有甲 乙两个木工小组都 想承揽这项业务 经协商后得知 甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用 20 天 乙小组每天比甲小组多修 8 套 学校每天需付甲小组修理费 80 元 付乙小组 120 元 1 求甲 乙两个木工小组每天各修桌凳多少套 2 在修理桌凳过程中 学校要委派一名维修工进行质量监督 并由学校负担他每天 10 元的生活补助 现有以下三种修理方案供选择 由甲单独修理 由乙单独修理 由甲 乙共同合作修理 你认为哪种方案既省时又省钱 试比较说明 中考演练中考演练 1 0707 江西 江西 方程0 1 1 2 xx 的解是 2 08 08 福建福建 若关于x方程2 33 2 x m x x 无解 则m的值是 3 08 08 黄冈黄冈 分式方程 3 1 1 1 1 2 2 xx 的解是 4 以下是方程1 2 11 x x x 去分母 去括号后的结果 其中正确的是 A 112 x B 112 x C xx212 D xx212 5 0808 泰安 泰安 分式方程 2 1 1 24 x xx 的解是 A 3 2 B 2 C 5 2 D 3 2 6 06 06 重庆重庆 分式方程 1 4 2 1 xx x 的解是 A 7 1 x 1 2 x B 7 1 x 1 2 x C 7 1 x 1 2 x D 7 1 x 1 2 x 7 08 08 内江内江 今年以来受各种因素的影响 猪肉的市场价格仍在不断上升 据调查 今年 5 月份一级猪肉的价格是 1 月份猪