上坡-下坡行程问题

问题问题 从甲地到乙地 先是上坡路 然后就是下坡路 一辆汽车上坡速度为每小时 20 千米 下坡 速度为每小时 35 千米 车从甲地到乙地共用 9 小时 从乙地返回到甲地共用 7 5 小时 求去时 上坡路和下坡路分别为多少千米 先画出如右图形 图中 A 表示甲地 C 表示乙地 从 A 到 B 是上坡路 从 B 到 C 是下坡路 反过来 从 C 到 B 就是上坡路 从 B 到 A 是下坡路 由于从甲地到乙地用 9 小时 反过来从乙地到甲地用 7 5 小时 这说明从 A 到 B 的距离大 于从 B 到 C 的距离 本题的难点在于上下坡不仅速度不同 而且距离不同 因此自然的思路是 设法把上下坡的距离变不同为相同 在从 A 到 B 的路程中取一个点 D 使得从 D 到 B 的距离等于从 B 到 C 的距离 这样 A 到 D 的距离就是 AB 距离比 BC 距离多出来的部分 下面我们分析为什么去时比回来时间会多用了 9 7 5 1 5 时 从图中容易看出就是因为去时从 A 到 D 是上坡 而回来时从 D 到 A 变成了下坡 其它路途 所用的总时间是一样的 现在的问题是 AD 这段路程中速度由每小时 20 千米改为 35 千米 则时间少用 1 5 小时 由 此可以求出什么 如果设速度为每小时 20 千米所用时间为单位 1 那么速度为每小时 35 千米所用时间为 由此就可以求出 AD 之间的距离为 20 3 5 70 千米 或 35 2 70 千米 还可以求出从 D 到 C 和从 C 到 D 所用时间均为 9 3 5 5 5 时 或 7 5 2 5 5 时 至此我们已经完成了将上下坡的距离变为相同的目的了 如果设从 D 到 上坡所用时间为 所以去时上坡的总路程就是 70 20 3 5 140 千米 下坡总路程是 35 2 70 千米 上面所用方法实质上是通过 截长变短 把上下坡的距离 变不同为相同 而实现这一目 的还可以通过 补 的方法 将返回的路程补在去时路程的后面 画出右图 这时全程去与回所用的时间都是 9 7 5 16 5 时 而且全程的上坡路程和下坡路程相等 都等于原来上下坡距离之和 设 为 所以原来上下坡距离之和就是 20 10 5 210 千米 或 35 6 210 千米 下面采用解决 鸡兔同笼 问题的方法 假设原来从 A 到 C 速度不变 都是每小时 35 千米 这样 9 小时所行路程应该为 35 9 180 千米 比实际距离少行了 210 180 30 千米 就是因为从 B 到 C 的下坡速度每小时 20 千米变成了 35 千米 因此从 B 到 C 的时间为 30 35 20 2 时 从 A 到 B 上坡的时间为 9 2 7 时 由此上下坡的距离就不难求出了 这个解法的思路是通过 补 不仅使得上下坡距离相等 而且使得往返所用的时间相等 解决本题的两个方法说明 在 变不同为相同 这个基本思想的指导下 手段可以是多种多 样的 下面再看一道类似的问题 问题问题 如右图 从 A 到 B 是下坡路 从 B 到 C 是平路 从 C 到 D 是上坡路 小张和小王步行速 度分别都是 上坡每小时 4 千米 平路每小时 5 千米 下坡每小时 6 千米 二人分别从 A D 两 点同时 王到达 A 后 9 分钟 小张到达 D 求从 A 到 D 的全程距离 首先发现二人平路上行走的距离相同 小张比小王多用 9 分钟的原因就是 CD 距离大于 AB 距离 我们仿照上题思路 在 CD 上取一点 F 使得 CF 距离等于 A