八年级（下）导学案

16 1 二次根式 1 导学案 NO 1 班级 姓名 小组 小组评价 教师评价 一 学习目标 1 理解二次根式的概念 了解被开方数必须是非负数的理由 2 能利用不等式 组 求使二次根式有意义的字母取值范围 二 自主学习 1 二次根式的定义 1 阅读教材上的 思考 并在教材上完成填空 2 归纳总结 一般地 形如 的式子叫二次根式 读三遍 3 你是怎样理解二次根式的 请用自己的语言来描述 在课堂上展示 4 自学检测 下列各式中 是二次根式的有 填序号 24 81 2 x7 2 a 2 3 1 2 a116 2 x5 2 m 3 9 2 二次根式有意义的条件 阅读教材例 1 1 二次根式有意义的条件是 通常可用列 解 a 来求出二次根式中的字母取值范围 2 如果一个代数式中含几个二次根式或分式 要用列 解 的方法求出所 含字母的取值范围 3 自学检测 当取何值时 下列各式有意义 答案填在后面的横线上即可 x 12 x 3x 1 2 x 三 合作探究 1 下列式子是二次根式的有 33 x 4 2 m96 2 xx1 2 x 2 下列各式中 不一定为二次根式的是 A B C D x1 2 m0 2 yx 3 要使有意义 的取值范围是 6 xx A 6 B 6 C 6 D 6xxxx 4 要使有意义 的取值范围为 xx 33x A 3 B 3 C 3 D 3xxxx 5 已知为实数 也为实数 则等于 a 2 a 2 a A B C 1 D 0aa 6 式子有意义 则的取值范围为 x x 2 2 x 四 达标检测 1 式子有意义 的取值范围是 3 2 m m m 2 已知是正整数 则实数的最大值为 n 12n A 12 B 11 C 8 D 3 3 式子在实数范围内有意义 求 x 的取值范围 3 1 x x 4 5 6 五 拓展提高 1 若230 y xyx 则 2 要使有意义 求的取值范围 3225xx x 16 1 二次根式 2 导学案 NO 02 班级 姓名 小组 小组评价 教师评价 一 学习目标 1 理解二次根式的性质 知道代数式的概念 2 会利用二次根式的三个性质进行化简 二 自主学习 1 二次根式性质 1 当 0 时 0 填 或 aa 2 阅读教材 探究 在教材上完成填空 并归纳总结 二次根式性质 2 0 在草稿纸上写三遍 2 a a 自学检测 2 6 2 2 3 2 2 2 2 10 2 2 3 2 2 2 3 阅读教材 探究 在教材上完成填空 并归纳总结 二次根式性质 3 在草稿纸上写三遍 2 a 0 0 a a 自学检测 2 2 3 2 2 2 1 1 xx 4 阅读教材上练习前文字 说一说代数式的定义 以前学过的整式 分式 以及现在的根式都是代数式吗 单独的一个数或一个字母 也是代数式吗 5 我们已学习过哪三种非负数的形式 请你举例说明 三 合作探究 1 化简 2 5 1 5 2 2 4 3 52 11 22 2 若 则011 yx 20102009 yx 3 当 0 时 化简的结果是 x 2 1xx 4 化简的结果是 2 2 2aa A 2 4 B 0 C 2 4 D 4aa 5 点 P在第二象限 则化简 yx 222222 yxyx A B C 2 D 2xy2xy2 6 Rt ABC 的三边长是 c 为斜边 且 a c 满足 cba 025103 2 cca 求 b 的值 四 达标检测 1 化简 22 1 2 8 0 3 2 2 mm 22 15 3 33 2 已知 为实数 且 求的值 ab421025 baa a b 3 若 ABC 的三边长是 试化简cba baccba 2 4 5 五 拓展提高 若 求的取值范围是 22 1 3 2aa 16 2 1 二次根式乘法 导学案 NO 03 班级 姓名 小组 小组评价 教师评价 一 学习目标 1 掌握二次根式的乘法法则 并能运用进行计算 2 会利用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简 二 自主学习 1 二次根式的乘法法则 1 阅读教材 探究 并于教材上填空 2 二次根式的乘法法则 抄写三遍 用语言怎么ab 0a 0 b 表述 2 二次根式的运算性质 1 这个等式在什么情况下可以逆用吗 abab 2 二次根式的乘法根据法则进行 但运算结果一定要化简 如 那么请你试一试 2 626 2232 3 3 52 10 3 自学检测 化简 32 3 3 2 5 18 6 125 5 1 50 32 4ba 43 81yx 5 32mn 4 3 6 3 三 合作探究 1 下列变形正确的是 A B C D 3 3 2 248 70107 100205 2 若成立 则 6 6x xxx A B C D 为任意实数0 x6 x60 xx 3 计算 6123272 3 aab 21 84 35 xxx 125 27 3 5 3 2 12 3 x yxy 4 的运算过程正确吗 为什么 如果不 4 25 4252 5 10 正确 应该怎样计算 5 矩形长cm 宽cm 求与它面积相等的正方形的边长 12030 四 达标检测 1 填空 1110 48 1 5 5 aab 2 已知 0 则化简后是 xyyx2 A B C D yxyx yx yx 3 4 五 拓展提高 如果 试确定的取值范围 1 32 aaaaa 16 2 2 最简二次根式 导学案 NO 04 班级 姓名 小组 小组评价 教师评价 一 学习目标 1 掌握二次根式的除法法则 并能运用进行计算 2 会逆用二次根式的除法法则进行化简 二 自主学习 1 二次根式的除法法则 1 阅读教材 探究 并于教材上填空 2 二次根式的除法法则 0 抄写三遍 用语言怎么来表0 a b a b a b 述这个等式 2 二次根式的除法运算的性质 这个等式在什么情况下可以逆用 请你化简 b a b a 5 81 3 自学检测 8 24 2 6 2 xy yx 2 8 43 xy yx 121 3 4 3 4 三 合作探究 1 下列变形错误的是 A B C D aaa 3 6373 ab b ab 3 5 45 2 计算 4的结果是 3 26 2 x x A B C D x22x 3 2 x26x 3 22 3 的值在 227 A 1 与 2 之间 B 2 与 3 之间 C 3 与 4 之间 D 4 与 5 之间 4 计算 3 26 27 3 5 计算 3 2 332 27 98 5125 4 9 2 3 2 abba364 23 6 5 3 2 1 四 达标检测 1 填空 23 18 7 56 23 72 2 矩形面积为cm2 一边长cm 求它的另一边长 21632 五 拓展提高 已知 且为偶数 求的值 6 9 6 9 x x x x x xx x 2 2 16 2 3 最简二次根式 导学案 NO 05 班级 姓名 小组 小组评价 教师评价 一 学习目标 1 掌握最简二次根式的概念 并能化二次根式为最简二次根式 2 会利用二次根式的乘 除法则进行乘除混合运算 二 自主学习 1 最简二次根式 先阅读教材 然后完成下面的内容 1 定义 满足条件 被开方数不含 被开方数不含开得尽方的 或 的二次根式叫最简二次根式 小声读五遍 请你说一说最简二次根式的特点 与同学交流并课堂展示 2 如何把一个二次根式化成最简二次根式呢 如 5 10 25 10 55 52 5 2 请你尝试 72 43 18x y 2 二次根式的乘除混合运算时 其运算顺序怎么确定 计算 181227 3 自学检测 1 下列式子是最简二次根式的是 751116 01 2 x1000 2 把下列二次根式化成最简二次根式 32 1 8 048 3 4 3 计算下列各题 5 6318 5 5 1 ab ab b a a 1 三 合作探究 1 的相反数是 倒数是 2 2 2 下列根式是最简二次根式的是 A B C D 3 4 x8 2 6x1 2 x 3 化简 3 5 2 4 把化成最简二次根式是 3 1 2 1 5 化简 3 2 c ba 2 2 6 计算 65027 38 18 四 达标检测 1 化简 2 1 3 2 2 3 2 5 1 345 2 先化简 再求值 其中 2 1 1 1 1 1 2 x xx 2 x 五 拓展提高 已知 求的值 29332 bbaba ba ab 1 16 3 1 二次根式的加减 导学案 NO 06 班级 姓名 小组 小组评价 教师评价 一 学习目标 1 掌握二次根式的加减法则 熟练进行加减法运算 2 能运用二次根式的加减解决实际问题 二 自主学习 1 阅读教材 问题 和讲解 体会 二次根式加减 的必要性 仿例完成 2775 2 阅读教材最一段 归纳总结 二次根式的加减运算性质 1 二次根式加减时 先将二次根式化成 再将 相同的二次根式进 行合并 小声读三遍 2 请你说一说在二次根式的加减运算中什么样的二次根式可以合并 怎样合并 不 能合并的又怎么办 3 在整式加减运算中学过的运算律 添 去 括号法则等在二次根式运算时是否仍然 适用 3 自学检测 计算下列各式 31250 277523218 6 8 1 5 024 b a ba9 4 1 2 24 三 合作探究 1 28 28 3 23 2 的相反数是 绝对值是 32 下列各数能与合并的是 3 A B C D 1812 3 2 9 2 下列各式计算正确的是 A B C D 633 033 933 033 计算 4818128 20345 8020 12 6 1 2 3 2 24 4 6362 3 x xxx 四 达标检测 1 计算 108848 75 3 1 5 27 2201 43201052 6 1 20 五 拓展提高 若 求的值 2 4 xyyx x y y x 21 3 2 二次根式的混合运算 导学案 NO 07 班级 姓名 小组 小组评价 教师评价 一 学习目标 1 能熟练运用二次根式的乘除法 加减法法则 进行二次根式的混合运算 2 能运用二次根式的混合运算解决实际问题 二 自主学习 阅读教材的例 3 与例 4 归纳总结 1 二次根式的混合运算顺序 1 二次根式的混合运算顺序与有理数 整式的混合运算顺序相同 先 再 最后算 有括号的 先算括号内的 同级运算 要依次进行 小声读二遍 2 说说二次根式的运算结果应是什么样的式子 与认真同学交流 3 自学检测 计算下列各式 27226 72338 53125 1000 6 23 25 35 3223 3223 三 合作探究 1 的结果是 3 27612485 A 4 B C D 1234632 2 若 22 13 13yxyx则 3 的结果是 326 632 4 计算的结果是 20092010 32 32 5 计算下列各式 1258 1845 27 6 4 1 48 2436 53 65 562 625 2 423 6 若 求的值 x 32 32 y 22 5yxyx 四 达标检测 1 57 57 2 化简 3 baba 3 先化简 再求值 其中 1 3 1 2 x x x x 31 x 4 5 五 拓展提高 若 求的值 5 1 a a a a 1 二次根式 复习 导学案 NO 08 班级 姓名 小组 小组评价 教师评价 一 复习目标 1 熟练掌握二次根式的概念 性质 能进行二次根式化简和计算 2 能联用 实数 整式 勾股定理 等知识解决实际问题 二 自主复习 1 基础知识清理 请你说一说我们在本章节中学习了二次根式的哪些内容 与同学认真交流并课堂展示 2 自学检测 1 使有意义的取值范围是 1 1 x x 2 已知 0 求的值 22 443yxyxyx yx23 3 计算1232 322 2 1 2 2 02 4 计算6 62 13 12 2 5 已知 求的值 5 1 x x 1 24 2 xx x 6 先化简 再求值 其中 11 2 22 22 baba baba 12 12 ba 三 合作探究 1 使式子有意义的取值范围是 1 2 x x x 2 下列运算正确的是 A B C D 123 632 523 228 3 计算 312 223 223 4 下列各式中是最简二次根式的是 A B C Db2 0yx1212 22 ba 2 5xy 5 计算下列各式 8 63 3 2 1 8 100 32 48 3 1 2123 483 8 1 4122 2 2 6 已知 求的值 101 1 aa 22 aa 7 已知 求的值 0 3 93 2 2 x xyx 1 1 y x 四 达标检测 1 计算 311 323 2 2 32 122 4818 2 已知 求的值12 12 ba a b b a ab 3 4 五 拓展提高 求代数式的值 2 4921 3aaaa 二次根式 检测题 NO 09 班级 小组 姓名 得分 45 分钟完卷 满分 100 分 一 填空 每小题 3 分 共 15 分 1 当在实数范围内有意义 xx 4 时 2 若 032 2 baba 则 3 若 1 1 3132 baabba 则 4 当 1352 2 的值是时 xxx 5 是同类二次根式 与时 最简二次根式323732 aaa 二 选择 每小题 5 分 共 30 分 6 化简后被开方数是 A 2 B 3 C 4 D 512 7 下列式子一定是二次根式的是 A B C D aa 1 2 a1 2 a 8 下列根式不是最简二次根式的是 A B C D 709 2 a 23 aa 4 2x 9 下列运算错误的是 A B 532 632 C D 236 2 2 2 10 使成立的条件是 a a a a 22 A B C D 2 a20 a2 a2 a 11 计算的结果为 20092010 21 21 A 1 B 1 C D 12 12 三 计算 每小题 5 分 共 15 分 12 13 1 2 1 2 4 8 25 4080 四 解答题 每小题 10 分 共 30 分 14 已知 求下列各式的值1313 yx 22 2yxyx xyyx 22 15 若的值 xyyxyx2028 求 五 先仔细阅读所给材料 再做题 10 分 16 根据目前我们所学的知识与方法 化简有一类二次根式比较困难 如 化简 这是根号里面带根号的式子 叫双重根式 化简它需用324 的方法 即 把大根号里面的制造出完全平方 将 4 拆分成 1 0 2 aaa 和 3 而且进一步改写成 1 根据就可以完成配制 22 3 222 2bababa 即 31 31 3 31213321324 222 又如 23 23 2 232 3 2623625 222 请仿上述例题完成下面的化简 1 2 1027 347 17 1 17 1 勾股定理勾股定理 1 1 导学案 导学案 班级 小组名 姓名 小组评价 教师评价 一 学习目标一 学习目标 1 探索直角三角形三边的关系 掌握勾股定理并能进行简单的运用 2 通过对勾股定理证明的推导过程 掌握构造法 3 了解勾股定理的历史 培养学生的爱国热情 了解勾股定理的证明方法 培养学生勇 于的探索精神 养成严谨的数学学习态度 体会勾股定理的应用价值 二 二 自主学习自主学习 1 基础知识 1 勾股定理的形成过程 请同学们认真阅读教材第 64 页有关毕达哥拉斯发现地板砖 中蕴含着数学知识的故事 深刻体会到了数学知识在生活中无处不在 并通过观察教材 64 页 思考 中的图形回答所提出的问题 图中三个正方形面积之间的关系 由此可猜想 等腰直角三角形三边之间有一种特殊的关系 2 勾股定理的探究 对于等腰直角三角形有 斜边的平方等于两直角边的平方和 那么对于一般的直 角三角形的三边也有这种关系吗 请同学们认真阅读教材 65 页 探究 并回答下面问题 观察教材 18 1 2 正方形 A 有个小方格 即 A 的面积是个单位面积 正方 B 的面积是个单位面积 正方形 C 的面积是个单位面积 正方形有个小方格 即的面积是个单位面积 正方的面积是个单 A A B 位面积 正方形的面积是个单位面积 C 你是怎样求出正方形 C 和的面积的 C 方法 可看着某个大正方形减去 4 个相同的小直角三角形 2 1 542 3 2 C S 2 1 845 3 2 C S A B C 间的面积之间有什么关系 ABC SSS 间的面积之间有什么关系 ABC A BC SSS 即两条直角边上的正方形面积之和斜边上的正方形的面积 3 认真研读下面例题中探索勾股定理的另一种方法 已知 如图 在直角梯形 ACDE 中 Rt ABC Rt BED 求证 222 cba 证明 Rt ABC Rt BED AB BE c AC BD b BC ED a ABC BED BED DBE 900 ABC DBE 900 ABE 900 Rt ABC Rt BED Rt ABE Sab 2 1 Sab 2 1 S 2 2 1 c 四边形 ACDE 是直角梯形 2 2 1 baS ACDE 梯形 从局部看 图形由构成 Rt ABCRt BEDRt ABE SSSS AAA 梯形AC D E 故 2 2 1 baab 2 1 ab 2 1 2 2 1 c 222 cba 注 勾股定理的验证方法据说有 400 种之多 对于同学们来说 掌握下列两种方法 拼图法 见上面 构造法 见合作探究 1 他们都是利用面积相等来证明 也叫面积法 4 勾股定理 在直角三角形中 两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理 在直角三角形中 两直角边的平方和等于斜边的平方 几何语言表示 如果直角三角形的两直角边长分别为如果直角三角形的两直角边长分别为 斜边长为 斜边长为 那么 那么a bc 小声读三遍 小声读三遍 222 abc 5 阅读教材 65 66 页 了解我国古人赵爽对 勾股定理 的证法 c b a ED C B A 2 自学检测 1 在 Rt ABC 中 C 900 BC 12cm AC 5cm 则 AB 2 在等腰直角 ABC 中 C 900 AB 则 AC BC 22 3 在 Rt ABC 中 C 900 A 300 BC 1 则 AB AC 三 合作探究三 合作探究 1 如图所示 用四个全等的直角三角形和一个小 正方形拼成一个较大的正方形 那么它们三者面 积之间的关系用式子可表示为 整理后即为 2 在 Rt ABC C 90 已知 a b 5 求 c 已知 a 1 c 2 求 b 已知 c 17 b 8 求 a 已知 c 5 求 a 2 1 ba 已知 b 15 A 30 求 a c 3 已知 如图 等边 ABC 的边长是 6cm 求等边 ABC 的高 AD 求 S ABC 4 在四边形 ABCD 中 BAD DBC 900 AB 3 AD 4 BC 12 求 CD 的长 5 等腰三角形的腰长 32cm 顶角是它的一个底角的 4 倍 求这个三角形的面积 17 1 17 1 勾股定理勾股定理 2 2 导学案 导学案 班级 小组名 姓名 小组评价 教师评价 一 学习目标一 学习目标 1 会用勾股定理解决简单的实际问题 2 经历勾股定理在实际问题中的应用过程 感受勾股定理的应用方法 3 积极思考 勇于探索 养成良好的思维意识 发展数学理念 二 自主学习二 自主学习 一 基础知识 1 利用勾股定理解决实际问题 把实际问题抽象成直角三角形 利用勾股定理解决边长或面积等问题 请同学们认真阅读教材第 66 页 67 页探究 1 探究 2 内容 并完成教材中对这两个 问题的探究过程 理解如何将实际问题转化为几何问题 2 方程思想与勾股定理的结合 勾股定理是一个公式 公式中有三个量 它的应用主要体现在 1 只要知道其中 两个量就可以直接利用勾股定理求出第三个量 2 如果知道一个量和另外两个量之间 的关系 那么设出其中一个量 并用这个量表示第三个量 就能利用勾股定理建立方程 从而求出这个量 这是解决直角三角形中有关线段长度问题的一种常用方法 小声读三 遍 D CB A c c c c b b b b a a a a 二 自学检测 1 如图所示 是一个长方形公园 如果小红要从 A 景点 走到 C 景点 至少要走 m 2 受台风影响 马路边一棵大树在离地面 6m 处折断 大树顶端落在离大树底部 8m 处 则大树折断前的高度为 3 如图所示 字母 A 所代表的正方形的面积是 4 如图所示 是第 24 届国际数学家 大会会徽 由 4 个全等的直角三角形 拼合而成 若图中大小正方形的面积 分别为 52 和 4 则直角三角形的两 条直角边的长分别为 三 合作探究三 合作探究 1 已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12 求第三边 2 在一棵 10 米高的树上有两只猴子 其中一只爬下树走向离树 20 米的池塘 而另一只 爬到树顶后直扑池塘 如果两只猴子经过的距离相等 问这一棵树有多高 3 在三角形 ABC 中 CD 是斜边上的高 求 CD C90 AC4 BC3 4 四边形 ABCD 中 B D 900 C 600 AB 11 AD 2 求 BC 的长 四 达标检测四 达标检测 1 已知一个直角三角形钢板 其三边的平方和为 1800m2 则斜边长为 800m 600m D C B A 144 25 A D CB A DCB A 2 某港口 甲小船早晨 8 00 出发 以 8 海里 时的速度向正东航行 1 小时后 乙小船 以 12 海里 时的速度向正南航行 上午 10 00 时 两船相距 3 长方形 ABCD 中 AB 3 BC 4 若将该长方形折叠 使点 A 与点 C 重合 则折痕 EF 的长为 五 拓展提高五 拓展提高 1 如图所示 公路 MN 上有一辆拖拉机由点 P 向点 N 行驶 在 公路一侧点 A 处有一所中学 已知 PA 160m 且 NPA 300 假 设拖拉机在行驶时 周围 100m 以内会受到噪音的影响 那么 拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时 学校是否会受到噪音影响 请说明理由 如果受 到影响 已知拖拉机的速度为 18km h 那么学校 受到影响的时间是多少秒 2 如图 ABC 中 BAC 90 B 30 AD 是斜边上的高 且 AC 1 1 求 AD 的长 2 求证 2222 BDACCDAB 17 1 勾股定理勾股定理 3 导学案 导学案 班级 小组名 姓名 小组评价 教师评价 一 学习目标一 学习目标 1 正确掌握实数与数轴上的点成一一对应关系 2 灵活运用勾股定理解决问题 树立数形结合思想 3 极度热情 投入学习 养成良好的思维意识 发展数学理念 二 自主学习二 自主学习 一 基础知识 1 阅读教材 68 页 在数轴上利用勾股定理作长度为无理数的线段 勾股定理的形式为 a2 b2 c2 其中只要知道其中任意两个量 就可以求出第三个量 第三个量需要开平方 开平方时可能出现 开不尽 的情况 无理数也就出现了 利用 这一点 构造成两个长度为有理数的线段作为直角三角形的其中两边 画出图形 第三 边就是所求作的线段 例 如图 点 C 所表示的数是 A B C D 5 515 15 分析 图中直角三角形 OAB 的直角边分别为 A P N M O 2 2 132 1 C B A F E D CB A 1 2 所以可求出 AB 点 A 表示的数是 1 所以点 C 所表示的数为 515 注 进一步体会数轴上的点与实数成一一对应关系 2 最短路径问题 在物体表面从一个点到另一个点 一般是在一个曲面内 怎样才能使在这个曲面内走 的路线最短 这就要将曲面展开成平面 在平面内 两点之间线段最短 然后利用勾股 定理构造直角三角形 求出这个最短路线长 例 如图 圆柱的高为 8cm 底面直径为 4cm 一只蚂 蚁想吃下底面与 A 相对的 B 处的食物 需绕圆柱表面爬 行的最短路程大约为 3 分析 把圆柱展开得到一个平面 平面内两点之间线段 最短 展开后如图所示 A B C 构成直角三角形 其 中所以 8 6234 cmACcmCB cmCBACAB10 2 2 二 自学检测 1 在数轴上表示出数的点 17 2 在数轴上表示出数的点 213 3 将一根长 20cm 的筷子 置于底面直径为 8cm 高为 15cm 的 圆柱形水杯中 设筷子露在杯外的长度为 则 h 的取值范hcm 围是 三 合作探究三 合作探究 1 如图 在下列正方形网格中 每个小正方形的边长都为 1 任意连结这些小正方形的 顶点可以得到一些线段 试在图中画出长度为 的线段 8 10 5 2 一个长宽高分别为 30cm 24cm 18cm 的长方体盒 子盒内可放的小木棍最长为 cm 3 如图 已知 在 ABC 中 A 900 D E 分别在 AB AC 上 则 CD2 BE2 BC2 DE2 请说明理由 4 如图 已知 ABC 中 ABC 900 AB BC 三角形的三个顶点在相互平行的三条直 线 上 且之间的距离为 2 之间的距离为 3 求 AC 的长 1 a 2 a 3 a 1 a 2 a 2 a 3 a h E D C B A B C B A 四 达标检测四 达标检测 1 直角三角形两直角边边长分别为 6cm 和 8cm 则连接这两条直角边中点的线段长为 2 若将直角三角形的两直角边同时扩大 2 倍 则斜边扩大为原来的 倍 3 要登上某建筑物 靠墙有一架梯子 底端离建筑物 5m 顶端离地面 12m 则梯子的 长度为 4 在数轴上画出表示 的点52 5 五 拓展提高五 拓展提高 如图 平面直角坐标系中 点 A 为 0 2 点 B 为 6 6 点 P 是轴上的一动点 当的值最小时 求 1 点 P 的坐标 2 的最xPBPA PBPA 小值 17 2 17 2 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 1 1 导学案 导学案 班级 小组名 姓名 小组评价 教师评价 一 学习目标一 学习目标 1 理解勾股定理的逆定理的证明方法 掌握勾股定理的逆定理内容 2 理解原命题 逆命题 逆定理的概念及关系 3 认真思考 勇于探索 养成良好的数学思维以及合理的推理意识 二 自主学习二 自主学习 一 基础知识 1 勾股定理的逆定理 认真阅读教材 73 页一 二 三自然段 通过这几个例子归纳出勾股定理的逆命题 如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是直角三角形 如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是直角三角形 小声读 小声读 三遍 三遍 此定理是判定直角三角形 直角的重要方法 仔细阅读教材第 74 页探究内容 理解勾 股定理的逆定理的推导 2 逆命题与逆定理 两个命题的题设和结论恰恰相反 这样的两个命题叫做互逆的两个命题 如果将其中 一个命题叫原命题 那么另一个就是它的逆命题 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的 它也是一个定理 称这两个定理为互逆定 理 如勾股定理与勾股定理的逆定理是互逆定理 也就是说 原命题是真命题 它的逆 a3 a2 a1 C B A P y x O B A 命题不一定是真命题 二 自学检测 1 下列各组数为三角形的边长 能组成直角三角形的是 A 8 15 17 B 4 5 6 C 5 8 10 D 8 39 40 2 下面是三角形的三边的长 其中能组成直角三角形的是 A B C D 3 2 13 2 12 3 14 3 2 3 全等三角形的对应角相等 的逆命题是 它是 命题 真或 假 4 说出下列命题的逆命题 这些命题的逆命题成立吗 1 两直线平行 内错角相等 2 如果两个实数相等 那么它们的绝对值相等 3 全等三角形的对应边相等 4 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等 5 一根长 24 米的绳子 折成三边为三个连续偶数的三角形 则此三角形三边的长分别 为 它的形状是 依据是 三 合作探究三 合作探究 1 已知 在 ABC 中 A B C 的对边分别是 a b c a n2 1 b 2n c n2 1 n 1 求证 C 90 2 如图 在四边形 ABCD 中 B 900 AB 3 BC 4 CD 12 AD 13 求四边形 ABCD 的 面积 3 如图 点 A 在双曲线上 且 OA 4 过点 A 作 AC 轴 垂足为点 C OA 的垂 x y 6 x 直平分线交 OC 于点 B 求 ABC 的周长 四 达标检测四 达标检测 D C B A 1 已知一个三角形的两边长为 1 2 要使这个三角形是直角三角形 则第三边的长应 为 2 三角形的三边长为 a b c 且满足 则这个三角形是 三角abcba2 22 形 3 已知 则由 x y z 为三边的三角形是 三角形 0 10 8 6 2 zyx 五 拓展提高五 拓展提高 如图 在 ABC 中 AB 5 AC 3 BC 边上的中线 AD 2 求 BC 的长 17 2 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 2 导学案 导学案 班级 小组名 姓名 小组评价 教师评价 一 学习目标一 学习目标 1 灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题 2 进一步加深勾股定理与勾股定理逆定理之间关系的认识 3 极度热情 投入学习 养成严密的推理能力 勇于探索 二 自主学习二 自主学习 一 基础知识 认真研读教材页 页例 1 例 2 1 直角三角形三边关系 两直角边的平方和等于 2 借助三角形三边的数量关系判断三角形形状 当一个三角形有两条边的平方和等于 第三边的平方 那么第三边所对的角是 3 勾股数 构成一个直角三角形的三边是正整数 我们称它为勾股数 如 3 4 5 各 6 8 10 例 如图在正方形 ABCD 中 E 是 BC 的中点 CF CD 4 1 求证 AE EF 证明 连结 AF 设 AB AD DC BC 4a D C B A F E D CB A E 是 BC 的中点 BE EC 2a 在 Rt ABE 中 AE2 AB2 BE2 20a2 CF CD a FD 3a 4 1 在 Rt CEF 中 EF2 FC2 EC2 5a2 在 Rt ADF 中 AF2 AD2 DF2 25a2 AF2 AE2 EF2 AEF 900 即 AE EF 二 自学检测 1 一根 30 米长的细绳折成 3 段 围成一个三角形 其中一条边的长度比较短边长 7 米 比较长边短 1 米 请你试判断这个三角形的形状 2 某同学想知道旗杆的高 他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1 米 当他将绳子的下端 拉开 5 米后 发现下端刚好接触地面 请你求出旗杆的高度 三 合作探究三 合作探究 1 已知 在 ABC 中 A B C 的对边分别是 a b c 满足 a2 b2 c2 338 10a 24b 26c 试判断 ABC 的形状 2 酒店在装修时 在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯 如下图 已知这种地毯每平 方米 30 元主楼梯宽 2 米 则购买地毯至少需要多少元 3 一个牧童在河西的 A 处放牛 傍晚 他要到河边给牛喝水 然后回到河西的家 B 处 若 A B 两地离河垂直距离分别为 AC 500m BD 1000m A B 两地间的水平距离 CD 2000m 求牧童放完牛回家的最短路程 B DC A 四 拓展提高四 拓展提高 1 如图 D 为等腰直角三角形 ABC 的斜边 BC 上的一点 求证 BD2 CD2 2AD2 2 已知 如图 P 为等边三角形 ABC 内一点 PA 3 PB 4 PC 5 求 ABC 的面积 第十七章第十七章 勾股定理归纳与复习勾股定理归纳与复习 导学案导学案 一 学习目标 一 学习目标 1 明确勾股定理及其逆定理的内容 2 能利用勾股定理解决实际问题 二 自主学习 梳理知识 二 自主学习 梳理知识 1 勾股定理 直角三角形的两条 的平方和等于 的平方 设直角边为 则用代数式可以表示为 斜边为 cba 2 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的 等于第三边的 那么这 个三角形是直角三角形 三 合作探究三 合作探究 考点一 已知两边求第三边考点一 已知两边求第三边 例例 1 1 1 在直角三角形中 若两直角边的长分别为 6cm 8cm 则斜边长为 2 已知一个 Rt ABC的两边长分别为 3 和 4 则第三边长的平方是 3 在数轴上作出表示的点 10 考点二 勾股定理及应用考点二 勾股定理及应用 P C B A D C B A D CB A 例例 2 2 在中 AC 4 BC 3 则斜边 AB 上的高 CD ABCRt 90 C 例例 3 3 如图 1 长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm 高为 6cm 用一根细线从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达点 B 那么所 用细线最短需要 cm 如果从点 A 开始经过 4 个侧面缠 绕n圈到达点 B 那么所用细线最短需要 cm 考点三 勾股定理及其逆定理考点三 勾股定理及其逆定理 例例 4 4 分别以下列四组数为一个三角形的边长 1 3 4 5 2 5 12 13 3 8 15 17 4 4 5 6 其中能够成直角三角形的有 四 达标检测四 达标检测 1 如图 在中 AB 5 cm BC 12 cm AC 13 cm 则 AC 边上的中线 BD 的长为 ABC Cm 2 上右图阴影部分是一个正方形 则此正方形的面积为 3 有两棵树 一棵高 6 米 另一棵高 3 米 两树相距 4 米 一只小鸟从一棵树的树梢飞 到另一棵树的树梢 至少飞了 米 4 如图 3 已知在中 分别以 为直径RtABC RtACB 4AB ACBC 作半圆 面积分别记为 则 的值等于 1 S 2 S 1 S 2 S 五 拓展提高五 拓展提高 1 图 是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图 单位 cm 其中矩形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤 阴影 部分DCEF为矩形绸缎旗面 将穿好彩旗的旗杆垂直插在操 场上 旗杆旗顶到地面的高度为 220cm 在无风的天气里 彩旗自然下垂 如图 求彩旗下垂时最低处离地面的最 小高度h 图 3 C A B S1S2 B A 6cm 3cm 1cm 图 1 2 如图 一棵大树在一次强烈的地震中于 C 处折断倒下 树顶落在地面 B 处 测得 B 处 与树的底端 A 相距 25 米 AC 11 米 问大树在折断之前高约多少米 精确到 1 米 反思 1 通过复习题的练习 不仅复习了 直角三角形的概念和运用 通过对三边的数量分析 利用数学建模 应用勾股定理 建立方程 求解一些未知的量 翻折在本章内容中也 经常涉及 要把握相等的量 2 复习时为学生提供观察 思考 探索 发现的时间和空间使学生以一个创造者或发现 者的身份去探究知识 从而形成自觉实践的氛围 既给学生自己摘果子吃的机会 又让 他们享受到成功的喜悦 从而更加深刻掌握知识 勾股定理勾股定理 水平测试题水平测试题 一 试试你的身手 每小题一 试试你的身手 每小题 3 3 分 共分 共 2424 分 分 1 一个三角形的三个内角之比为 1 2 3 则三角形是 三角形 若这三个内角所 对的三边分别为a b c 设最长边为c 则此三角形的三边的关系是 2 已知等腰直角三角形的斜边长为 2 则直角边长为 若直角边长为 2 则斜边 长为 3 在 Rt ABC中 C 90 若AB 41 AC 9 则BC 若 AC 1 5 BC 2 则AB 4 已知两条线段的长分别为 11cm 和 60cm 当第三条线段的长为 cm 时 这 3 条线 段能组成一个直角三角形 5 如图 1 将一根长 24 厘米的筷子 置于底面直径为 6 厘米 高为 8 厘米的圆柱形水杯 中 则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米 6 如图 2 AC CE AD BE 13 BC 5 DE 7 那么AC 7 等腰直角三角形有一边长为 8cm 则底边上的高是 面积是 8 如图 3 一个机器人从A点出发 拐了几个直角的弯后到达B点位置 根据图中的数 据 点A和点B的直线距离是 二 相信你的选择 每小题二 相信你的选择 每小题 3 3 分 共分 共 2424 分 分 1 如图 4 两个较大正方形的面积分别为 225 289 则字母A所代表的正方形的面积为 A 4B 8C 16D 64 2 小丽和小芳二人同时从公园去图书馆 都是每分钟走 50 米 小丽走直线用了 10 分钟 小芳先去家拿钱再去图书馆 小芳到家用了 6 分钟 从家到图书馆用了 8 分钟 小芳从 公园到图书馆拐了个 设公园到小芳家及小芳家到图书馆都是直线 A 锐角B 直角C 钝角D 不能确定 3 一直角三角形的一条直角边长是 7cm 另一条直角边与斜边长的和是 49cm 则斜边的 长 A 18cmB 20cmC 24cmD 25cm 4 如图 5 四边形ABCD是正方形 AE BE 且AE 3 BE 4 则阴 影部分的面积是 A 16B 18C 19D 21 5 在直角三角形中 斜边与较小直角边的和 差分别为 18 8 则 较长直角边的长为 A 20B 16C 12D 8 6 在 ABC中 若AB 15 AC 13 高AD 12 则 ABC的周长是 A 42B 32C 42 或 32D 37 或 33 7 如图 6 在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF GH四条线段 其中能构成一 个直角三角形三边的线段是 A CD EF GHB AB EF GH C AB CD GHD AB CD EF 8 如图 7 在 ABC中 C 90 D为BC边的中点 DE AB于E 则AE2 BE2等于 A AC2B BD2C BC2D DE2 三 挑战你的技能 共三 挑战你的技能 共 5252 分 分 1 6 分 一个三角形三条边的比为 5 12 13 且周长为 60cm 求它的面积 D C B A 2 6 分 在数轴上作出表示的点 29 3 7 分 求知中学有一块四边形的空地 ABCD 如下图所示 学校计划在空地上种植 草皮 经测量 A 90 AB 3m BC 12m CD 13m DA 4m 若每平方米草皮需要 200 元 问学校需要投入多少资金买草皮 4 7 分 如图 9 一游泳池长 48 米 小方和小朱进行游泳比赛 小方平均速度为 3 米 秒 小朱为 3 1 米 秒 但小朱一心想快 不看方向沿斜线游 而小方直游 俩人到达终 点的位置相距 14 米 按各人的平均速度计算 谁先到达终点 5 7 分 如图 10 1 所示为一上面无盖的正方体纸盒 现将其剪开展成平面图 如图 10 2 所示 已知展开图中每个正方形 的边长为 1 求在该展开图中可画出最长 线段的长度 这样的线段可画几条 6 6 分 如图 5 所示 有一条小路穿过长方形的草地ABCD 若 AB 60m BC 84m AE 100m 则这条小路的面积是 多少 7 6 分 如图 6 在 ABC中 BAC 120 B 30 AD AB 垂足为 A CD 1cm 求AB的长 8 7 分 小芳家门前有一个花圃 呈三角形状 小芳想知道该三角形是不是一个直角三 角形 请问她可以用什么办法来作出判断 你能帮她设计一种方案吗 四 附加题 本题四 附加题 本题 1010 分 分 已知 在 Rt ABC中 C 90 A B C的对边分别为a b c 设 ABC的面 积为S 周长为l 1 填表 2 如果a b c m 观察上表猜想 用含有m的代数式表示 S l 3 证明 2 中的结论 18 1 1 18 1 1 平行四边形的性质平行四边形的性质 1 1 导学案 导学案 班级 小组 姓名 评价 一 学习目标一 学习目标 1 知道平行四边形的定义和它的基本性质 2 掌握平行四边形的 对边相等 对角相等 的性质 并能运用它们解决实际问题 3 极度热情 积极参与 享受成功 二 自主学习二 自主学习 1 回顾 由 条边 顺次相接而成的图形叫四边形 四边形的四个内角和是 2 平行四边形的定义 两组对边 的四边形叫做平行四边形 用符号 表示 注意 平行四边形是特殊的四边形 与一般的四边形不同的是 两组对边分别平行 3 定义的几何语言表述 1 AB CD AD BC 2 四边形 ABCD 是平行四边形 注意定义的双重性注意定义的双重性 具备 两组对边分别平行 的四边形才是 平行四边形 这是 平行四边形的一种判定方法 反过来 平行四边形 就一定具有 两组对边分别 平 行 性质 这是平行四边形的一个性质 三边a b ca b c S l 3 4 5 2 5 12 13 4 8 15 17 6 4 探究平行四边形的性质 认真阅读教材第 84 页例 1 前的内容 平行四边形的对边 平行四边形的对角 平行四边形的邻角 利用三角形全等证明上述性质 如图所示 连接 AC AD BC AB CD AD BC AB CD B D 1 2 3 4 BAD B 180 又AC CA BCD B 180 ABC CDA ASA BAD BCD 5 学习教材 84 页例 1 不仅要看懂解答方法 更要学习解题步骤的组织 6 例题再学习 如图 ABCD 中 DB DC C 70 AE BD 于 E 求 DAE 的度数 解 DB DC C 70 又AE BD DBC C 70 AED 90 AD BC DAE 90 70 ADE DBC 70 20 自学检测 1 ABCD 中 B 40 则 A C D 的度数分别是 2 ABCD 中 AB 5 BC 3 则它的周长为 3 在 ABCD 中 已知 AB BC CD 三条边的长度分别为 x 5 cm x 2 cm 6cm 则这个平行四边形的周长为 4 如图 在 ABCD 中 AB 4cm BC 6cm BE 平分 ABC 交 AD 于点 F 交 CD 的延长线于点 E 求 DF DE 的长 3 合作探究合作探究 1 ABCD 中 A 70 AB 7cm BC 6cm 则 AD cm D 的度数是 2 如图 1 在 ABCD 中 A 130 在 AD 上取 DE DC 则 ECB 的度数是 3 如图 2 在 ABCD 中 AE 平分 BAD 交 DC 于 E AD 5cm AB 8cm 则 EC 的长是 cm 4 如图 3 已知 E F 是 ABCD 的对角线 AC 上的两点 且 BE AC DF AC 1 求证 ABE CDF 2 请写出除 ABE CDF 外的其余两对全等三角形 不再添加辅助线 F E D CB A 5 如图 4 在 ABCD 中 AE DF 分别平分 BAD ADC 交 BC 于 E F 两点 探索 AE 与 DF 的 位置关系 四 达标检测四 达标检测 1 在 ABCD 中 A B C D 可以是 A 1 2 3 4 B 3 4 4 3 C 3 3 4 4 D 3 4 3 4 2 在平面内 以不在同一直线上的三点 A B C 为顶 点作平行四边形 可以做 个 3 已知平行四边形周长为 54 两邻边之比为 4 5 则这两边的长度为 4 如图 ABCD 中 EF AB GH AD EF 与 GH 交于点 O 则该图中平行四边形的个数有 个 5 拓展提高 拓展提高 如图所示 ABCD 的周长是 60cm AE BC AF CD 1 若 BAD 120 求 EAF 的度数 2 若 AE AF 4 6 求 ABCD 的各边长 18 1 1 18 1 1 平行四边形的性质平行四边形的性质 2 2 导学案 导学案 班级 小组 姓名 评价 一 学习目标一 学习目标 1 在掌握平行四边形对边相等 对角相等的基础上 掌握对角线互相平分的性质