高中数学数列周练(一)题及答案

1 数列周练 一 数列周练 一 1 设函数 f x 8lnx 15x x2 数列 an 满足 an f n n N 数列 an 的前 n 项和 Sn最 大时 n A 15 B 16 C 17 D 18 2 已知数列 an 前 n 项和 Sn满足 Sn 2an 1 n N 则该数列的第 5 项等于 A 15B 16C 31D 32 3 若等差数列 an 的前 n 项和 Sn n2 则的最小值为 A 4B 8C 6D 7 4 一个等比数列前三项的积为 2 最后三项的积为 4 且所有项的积为 64 则该数列有 A 13 项B 12 项C 11 项D 10 项 5 由 a1 1 d 3 确定的等差数列 an 中 当 an 298 时 序号 n 等于 A 99 B 100 C 96 D 101 6 在等差数列 an 中 2a7 a9 7 则数列 an 的前 9 项和 S9 A 21 B 35 C 63 D 126 7 已知等差数列 an 满足 a2 2 Sn Sn 3 54 n 3 Sn 100 则 n A 7B 8C 9D 10 8 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 S2m 1 38 则 m A 9B 10C 20D 38 9 设等差数列 an 满足 3a8 5a15 且 Sn为其前 n 项和 则数列 Sn 的最大项为 A B S24C S25D S26 10 设数列 an 满足 a1 2 an 1 1 记数列 an 的前 n 项之积为 Tn 则 T2018 1a 2 n A 1B 2C D 3 1 3 2 11 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 a5 8 S3 6 则 S10 S7的值是 A 24 B 48 C 60 D 72 12 在等差数列 an 中 已知 a4 a8 16 则该数列前 11 项和 S11 A 58B 88C 143 D 176 2 13 在数列 an 中 a1 1 an an 1 n 2 n N 则数列 的前 n 项 1n n 2 2 2 n n a 和 Tn 14 公差不为 0 的等差数列 an 中 a1 a3 8 且 a4为 a2和 a9和等比中项 则 a5 15 若等差数列 an 中 满足 a4 a10 a16 18 则 S19 16 知数列 an 中 a1 2 an 1 an 2n 1 n N 则该数列的通项公式 an 17 已知数列 an 是递增的等比数列 满足 a1 4 且的等差中项 数列 bn 满足 bn 1 bn 1 其前 n 项和为 sn 且 S2 S6 a4 1 求数列 an bn 的通项公式 2 数列 an 的前 n 项和为 Tn 若不等式 nlog2 Tn 4 bn 7 3n 对一切 n N 恒成立 求实数 的取值范围 18 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 a1 1 Sn 1 2Sn 1 n N 1 求数列 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足 bn n 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 19 设 fk n 为关于 n 的 k k N 次多项式 数列 an 的首项 a1 1 前 n 项和为 Sn 对 于任意的正整数 n an Sn fk n 都成立 I 若 k 0 求证 数列 an 是等比数列 试确定所有的自然数 k 使得数列 an 能成等差数列 20 已知数列 an 前 n 项和为 Sn 且满足 3Sn 4an 2 0 求数列 an 的通项公式 令 bn log2an Tn为 bn 的前 n 项和 求证 21 已知函数 f x x2 a 1 x b 1 当 x b a 时 函数 f x 的图象关于 y 轴对 称 数列 an 的前 n 项和为 Sn 且 Sn f n 1 1 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 22 12 分 已知数列 an 是等差数列 且 a1 2 a1 a2 a3 12 1 求数列 an 的通项公式 2 令 bn an 3n 求数列 bn 的前 n 项和 Sn 试卷答案试卷答案 1 B 3 考点 数列的求和 分析 求出 f x 的导数 由导数大于 0 可得增区间 导数小于 0 可得减区间 再 计算 f 1 f 8 f 16 f 17 的符号 即可得到所求数列 an 的前 n 项和 Sn最 大时 n 的值 解答 解 函数 f x 8lnx 15x x2 x 0 导数为 f x 15 2x 当 x 8 时 f x 0 f x 递减 当 0 x 8 时 f x 0 f x 递增 可得 x 8 处 f x 取得极大值 且为最大值 f 8 8ln8 120 64 0 由 an f n n N 可得 f 1 15 1 14 0 f 16 8ln16 15 16 162 8ln16 16 0 f 17 8ln17 15 17 172 8ln17 34 0 由单调性可得 a1 a2 a16都大于 0 a17 0 则数列 an 的前 n 项和 Sn最大时 n 16 故选 B 点评 本题考查数列前 n 项和的最值 注意运用导数判断单调性 考查运算能力 属于 中档题 2 B 考点 8H 数列递推式 分析 根据题意 由数列的递推公式分析可以求出数列 an 是以 1 为首项 以 2 为公比 的等比数列 即可得数列 an 的通项公式 将 n 5 代入计算即可得答案 解答 解 根据题意 sn 2an 1 当 n 1 时 a1 2a1 1 解得 a1 1 当 n 2 时 an sn sn 1 2an 1 2an 1 1 2an 2an 1 an 2an 1 数列 an 是以 1 为首项 以 2 为公比的等比数列 an 2n 1 4 则 a5 25 1 16 故选 B 3 D 考点 等差数列的前 n 项和 分析 由 Sn n2 可得 a1 1 a2 3 可得等差数列 an 的公差 d 2 可得 an 可得 n 令 f x x x 1 利用导数研究其单调性即可得出 解答 解 由 Sn n2 可得 a1 1 1 a2 22 解得 a2 3 等差数列 an 的公差 d 3 1 2 an 1 2 n 1 2n 1 n 令 f x x x 1 f x 1 当 1 x 2时 f x 0 函数 f x 单调递减 当 x时 f x 0 函 数 f x 单调递增 n 3 或 4 时 n 取得最小值 7 故选 D 4 B 考点 等比数列的性质 分析 先设数列的通项公式为 a1qn 1 则前三项之积 a13q3 2 后三项之积 a13q3n 6 4 两 式相乘得即 a12qn 1 2 又根据所有项的积为 64 进而求出 n 解答 解析 设数列的通项公式为 a1qn 1则前三项分别为 a1 a1q a1q2 后三项分别为 a1qn 3 a1qn 2 a1qn 1 前三项之积 a13q3 2 后三项之积 a13q3n 6 4 两式相乘得 a16q3 n 1 8 即 a12qn 1 2 又 a1 a1q a1q2 a1qn 1 64 5 64 即 a12qn 1 n 642 2n 642 n 12 故选 B 点评 本题主要考查了等比数列的性质 属基础题 5 B 考点 等差数列的通项公式 分析 先根据 a1 1 d 3 确定的等差数列的通项 再求项数 解答 解 由题意 an 3n 2 故有 3n 2 298 n 100 故选 B 点评 本题主要考查等差数列的通项公式及其运用 属于基础题 6 C 考点 等差数列的前 n 项和 分析 由已知得 a1 4d a5 7 从而利用数列 an 的前 9 项和 S9 能 求出结果 解答 解 在等差数列 an 中 2a7 a9 7 2 a1 6d a1 8d 7 a1 4d a5 7 数列 an 的前 9 项和 S9 63 故选 C 点评 本题考查等差数列的前 9 项和的求法 是基础题 解题时要认真审题 注意等差 数列的性质的合理运用 7 D 考点 等差数列的前 n 项和 分析 由等差数列的性质得 an 1 18 n 2 由此利用等差数列的通项公式能求出 n 解答 解 等差数列 an 满足 a2 2 Sn Sn 3 54 n 3 Sn 100 an an 1 an 2 54 n 3 又数列 an 为等差数列 6 3an 1 54 n 2 an 1 18 n 2 又 a2 2 Sn 100 Sn 100 n 10 故选 D 8 B 考点 85 等差数列的前 n 项和 分析 根据等差数列的性质可知 第 m 1 项与第 m 1 项的和等于第 m 项的 2 倍 代入 am 1 am 1 am2 0 中 即可求出第 m 项的值 然后利用等差数列的前 n 项和的公式表示出前 2m 1 项的和 利用等差数列的性质化为关于第 m 项的关系式 把第 m 项的值代入即可求 出 m 的值 解答 解 根据等差数列的性质可得 am 1 am 1 2am 则 am 1 am 1 am2 am 2 am 0 解得 am 0 或 am 2 又 S2m 1 2m 1 am 若 am 0 显然 2m 1 am 38 不成立 故应有 am 2 此时 S2m 1 2m 1 am 4m 2 38 解得 m 10 故选 B 9 C 考点 85 等差数列的前 n 项和 分析 设等差数列 an 的公差为 d 由 3a8 5a15 利用通项公式化为 2a1 49d 0 由 可得 d 0 Sn na1 d n 25 2 d 利用二次函数的单调性即 可得出 解答 解 设等差数列 an 的公差为 d 3a8 5a15 3 a1 7d 5 a1 14d 化为 2a1 49d 0 d 0 等差数列 an 单调递减 Sn na1 d d n 25 2 d 7 当 n 25 时 数列 Sn 取得最大值 故选 C 10 D 考点 数列递推式 分析 依题意 数列 an 是以 4 为周期的函数数列 可求得 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a2013 a2014 a2015 a2016 1 从而可得答案 解答 解 a1 2 an 1 1 a2 a3 a4 3 a5 2 即 an 4 an 数列 an 是以 4 为周期的函数 又 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a2005 a2006 a2007 a2008 1 Tn为数列 an 的前 n 项之积 T2018 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a2013 a2014 a2015 a2016 a2017 a2018 a1 a2 故选 D 11 B 考点 等差数列的性质 等差数列的前 n 项和 分析 利用条件 a5 8 S3 6 计算等差数列的首项 公差 进而可求 S10 S7的值 解答 解 设等差数列的首项为 a1 公差为 d a5 8 S3 6 S10 S7 a8 a9 a10 3a1 24d 48 故选 B 12 B 8 考点 8F 等差数列的性质 85 等差数列的前 n 项和 分析 根据等差数列的定义和性质得 a1 a11 a4 a8 16 再由 S11 运算 求得结果 解答 解 在等差数列 an 中 已知 a4 a8 16 a1 a11 a4 a8 16 S11 88 故选 B 13 考点 数列的求和 分析 由条件可得 令 bn 可得 bn bn 1 由 bn b1 求得 bn 进而得到 an 可得 2 再由数列的求和 方法 裂项相消求和 即可得到所求和 解答 解 在数列 an 中 a1 1 an an 1 n 2 n N 可得 令 bn 可得 bn bn 1 由 bn b1 1 可得 an 即有 2 则前 n 项和 Tn 2 1 2 1 9 故答案为 点评 本题考查数列的求和 注意运用构造数列法 结合数列恒等式 考查裂项相消求 和 考查化简整理的运算能力 属于难题 14 13 考点 等差数列的通项公式 分析 设等差数列 an 的公差 d 0 由 a1 a3 8 且 a4为 a2和 a9和等比中项 可得 2a1 2d 8 联立解出即可得出 解答 解 设等差数列 an 的公差 d 0 a1 a3 8 且 a4为 a2和 a9和等比中项 2a1 2d 8 解得 a1 1 d 3 则 a5 1 3 4 13 故答案为 13 15 114 考点 等差数列的前 n 项和 专题 方程思想 转化思想 等差数列与等比数列 分析 利用等差数列的性质可得 a4 a10 a16 18 3a10 解得 a10 再利用求和公式及其性 质即可得出 解答 解 由等差数列 an 的性质可得 a4 a10 a16 18 3a10 解得 a10 6 则 S19 19a10 114 故答案为 114 点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质 考查了推理能力与计算能 力 属于中档题 16 n2 2n 3 考点 数列递推式 分析 由已知数列递推式 利用累加法求得数列通项公式 解答 解 由 a1 2 an 1 an 2n 1 得 10 a2 a1 2 1 1 a3 a2 2 2 1 a4 a3 2 3 1 an an 1 2 n 1 1 n 2 累加得 an a1 2 1 2 n 1 n 1 n2 2n 3 n 2 验证 n 1 上式成立 an n2 2n 3 故答案为 n2 2n 3 点评 本题考查数列递推式 考查了累加法求数列的通项公式 是基础题 17 考点 数列与不等式的综合 分析 1 利用的等差中项 求出公比 可求数列 an 的通项公式 数列 bn 为等差数列 公差 d 1 可求数列 bn 的通项公式 2 不等式 nlog2 Tn 4 bn 7 3n 化为 n2 n 7 n 1 可得 对一切 n N 恒成立 利用不等式 即可得出结论 解答 解 1 设等比数列 an 的公比为 q 则 是 a2和 a4的等差中项 q 1 q 2 依题意 数列 bn 为等差数列 公差 d 1 又 b1 2 bn n 1 11 2 不等式 nlog2 Tn 4 bn 7 3n 化为 n2 n 7 n 1 n N 对一切 n N 恒成立 而 当且仅当 即 n 2 时等式成立 3 18 考点 8E 数列的求和 8H 数列递推式 分析 1 由题意可得 Sn 1 1 2 Sn 1 即有数列 Sn 1 是以 S1 1 2 2 为公比的等 比数列 运用等比数列的通项公式和数列的递推式 可得所求通项公式 2 求出 bn n n n n 1 运用数列的求和方法 分组求和和错位相减法 结合 等差数列和等比数列的求和公式 化简计算即可得到所求和 解答 解 1 a1 1 Sn 1 2Sn 1 即为 Sn 1 1 2 Sn 1 即有数列 Sn 1 是以 S1 1 2 2 为公比的等比数列 则 Sn 1 2 2n 1 2n 即 Sn 2n 1 n N 当 n 2 时 an Sn Sn 1 2n 1 2n 1 1 2n 1 上式对 n 1 也成立 则数列 an 的通项公式为 an 2n 1 n N 2 bn n n n n 1 前 n 项和 Tn 1 2 3 n 1 1 2 3 2 n n 1 设 Mn 1 1 2 3 2 n n 1 Mn 1 2 2 3 3 n n 12 相减可得 Mn 1 2 3 n 1 n n n n 化简可得 Mn 4 n 2 n 1 则 Tn n n 1 4 n 2 n 1 19 考点 8H 数列递推式 8C 等差关系的确定 8D 等比关系的确定 分析 若 k 0 不妨设 f0 n c c 为常数 即 an Sn c 结合数列中 an与 Sn 关系求出数列 an 的通项公式后再证明 由特殊到一般 实质上是由已知 an Sn fk n 考查数列通项公式求解 以及等差 数列的判定 解答 证明 若 k 0 则 fk n 即 f0 n 为常数 不妨设 f0 n c c 为常数 因为 an Sn fk n 恒成立 所以 a1 S1 c c 2a1 2 而且当 n 2 时 an Sn 2 an 1 Sn 1 2 得 2an an 1 0 n N n 2 若 an 0 则 an 1 0 a1 0 与已知矛盾 所以 an 0 n N 故数列 an 是首项为 1 公比为的等比数列 解 1 若 k 0 由 知 不符题意 舍去 2 若 k 1 设 f1 n bn c b c 为常数 当 n 2 时 an Sn bn c an 1 Sn 1 b n 1 c 得 2an an 1 b n N n 2 要使数列 an 是公差为 d d 为常数 的等差数列 必须有 an b d 常数 而 a1 1 故 an 只能是常数数列 通项公式为 an 1 n N 13 故当 k 1 时 数列 an 能成等差数列 其通项公式为 an 1 n N 此时 f1 n n 1 3 若 k 2 设 f2 n pn2 qn t a 0 a b c 是常数 当 n 2 时 an Sn pn2 qn t an 1 Sn 1 p n 1 2 q n 1 t 得 2an an 1 2pn q p n N n 2 要使数列 an 是公差为 d d 为常数 的等差数列 必须有 an 2pn q p d 且 d 2p 考虑到 a1 1 所以 an 1 n 1 2p 2pn 2p 1 n N 故当 k 2 时 数列 an 能成等差数列 其通项公式为 an 2pn 2p 1 n N 此时 f2 n an2 a 1 n 1 2a a 为非零常数 4 当 k 3 时 若数列 an 能成等差数列 根据等差数列通项公式可知 Sn 是关于 n 的二 次型函数 则 an Sn的表达式中 n 的最高次数为 2 故数列 an 不能成等差数列 综上得 当且仅当 k 1 或 2 时 数列 an 能成等差数列 20 考点 数列的求和 数列递推式 分析 当 n 1 a1 2 当 n 2 求得 an 4an 1 数列 an 是首项为 a1 2 公比为 4 的等比数列 再利用等比数列的通项公式即可得出 写出 bn 的通项公式 bn 2n 1 及前 n 项和 Tn n2 采用裂项法 化简 2 解答 解 由 3Sn 4an 2 0 令 n 1 可得 a1 2 当 n 2 时 可得 3Sn 4an 2 3Sn 1 4an 1 2 0 an 4an 1 所以数列 an 是首项