高一数学导学案：2.1.1指数与指数幂的运算（1）（人教A版必修1）

1 2 1 1 指数与指数幂的运算 1 学习目标 1 了解指数函数模型背景及实用性 必要性 2 了解根式的概念及表示方法 3 理解根式的运算性质 学习过程 一 课前准备 预习教材 P48 P50 找出疑惑之处 复习 1 正方形面积公式为 正方体的体积公式为 复习 2 初中根式的概念 如果一个数的平方等于 a 那么这个数叫做 a 的 记作 如果一个数的立方等于 a 那么这个数叫做 a 的 记作 二 新课导学 学习探究 探究任务一 指数函数模型应用背景指数函数模型应用背景 探究下面实例及问题 了解指数指数概念提出的背景 体会引入指数函数的必要性 实例 1 某市人口平均年增长率为 1 25 1990 年人口数为 a 万 则 x 年后人口数为多少万 实例 2 给一张报纸 先实验最多可折多少次 你能超过 8 次吗 计算 若报纸长 50cm 宽 34cm 厚 0 01mm 进行对折 x 次后 求对折后的面积与厚度 问题 国务院发展研究中心在 2000 年分析 我国未来 20 年 GDP 国内生产总值 年平 均增长率达 7 3 则 x 年后 GDP 为 2000 年的多少倍 探究任务二 根式的概念及运算根式的概念及运算 考察 那么就叫 4 的 2 2 4 2 那么 3 就叫 27 的 3 327 那么就叫做的 4 3 81 3 81 依此类推 若若 那么 那么叫做叫做的的 n xa xa 新知新知 一般地 若 一般地 若 那么那么叫做叫做的的次方根 其中次方根 其中 n xa xan1n n 简记 例如 则 n a 3 28 3 82 反思 当当 n 为奇数时为奇数时 n 次方根情况如何 次方根情况如何 例如 记 3 273 3 273 n xa 当当 n 为偶数时 正数的为偶数时 正数的 n 次方根情况 次方根情况 例如 的 4 次方根就是 记 81 n a 强调强调 负数没有偶次方根 负数没有偶次方根 0 的任何次方根都是的任何次方根都是 0 即 即 00 n 试试 则的 4 次方根为 4 ba a 则的 3 次方根为 3 ba a 新知 像的式子就叫做根式 这里 n 叫做根指数 a 叫做被开方数 n a 试试 计算 22 3 33 4 2 n n 2 反思 从特殊到一般 的意义及结果 n n a nn a 结论结论 1 当 当是偶数时要求是偶数时要求 n n aa n0a 2 当当是奇数时 是奇数时 当 当是偶数时 是偶数时 n nn aa n 0 0 nn aa aa aa 典型例题 例 1 求下类各式的值 1 2 3 3 a 4 4 7 3 4 6 6 3 2 2 ab ab 变式 计算或化简下列各式 1 5 32 2 36 a 动手试试 练 1 化简 52 674 364 2 练 2 化简 63 2 31 512 三 总结提升 学习小结 1 n 次方根 根式的概念 2 根式运算性质 知识拓展 1 整数指数幂满足不等性质 若 则 0a 0 n a 2 正整数指数幂满足不等性质 若 则 1a 1 n a 若 则 其中N 01a 01 n a n 学习评价 当堂检测 1 的值是 4 4 3 A 3 B 3 C 3 D 81 2 625 的 4 次方根是 A 5 B 5 C 5 D 25 3 化简是 22 b A B C D b bb 1 b 4 化简 6 6 ab 5 计算 33 5 24 3 3 课后作业 1 计算 1 2 510 a 39 7 2 计算和 它们之间有什么关系 你能得到什么结论 34 aa 3 4 a 3 对比与 你能把后者归入前者吗 n nn aba b n n n aa bb 4 2 1 1 指数与指数幂的运算 2 学习目标 1 理解分数指数幂的概念 2 掌握根式与分数指数幂的互化 3 掌握有理数指数幂的运算 学习过程 一 课前准备 预习教材 P50 P53 找出疑惑之处 复习 1 一般地 若 则叫做的 其中 简记为 n xa xa1n n 像的式子就叫做 具有如下运算性质 n a n n a nn a 复习 2 整数指数幂的运算性质 1 2 mn aa mn a 3 nab 二 新课导学 学习探究 探究任务 分数指数幂分数指数幂 引例 a 0 时 则类似可得 10 510252 55 aaaa 312 a 类似可得 22 3 323 33 aaa a 新知新知 规定分数指数幂如下 规定分数指数幂如下 0 1 m nm n aaam nNn 1 0 1 n n aanNn a 11 0 1 m n m nm n aam nNn a a 试试 1 将下列根式写成分数指数幂形式 25 3 34 5 m a 0 amN 2 求值 2 3 8 2 5 5 4 3 6 5 2 a 反思 0 的正分数指数幂为 0 的负分数指数幂 分数指数幂有什么运算性质 小结 规定了分数指数幂的意义后 指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数 那么整数指 数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂 指数幂的运算性质指数幂的运算性质 0 0 abr sQ r a rr s aa rsrs aa r rs aba a 5 典型例题 例 1 求值 2 3 27 4 3 16 3 3 5 2 3 25 49 例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式 0 b 1 2 3 2 bb 533 bb 34 b b 例 3 计算 式中字母均正 1 2 211511 336622 3 8 6 a ba ba b 31 16 84 m n 小结 例 2 运算性质的运用 例 3 单项式运算 例 4 计算 1 3 34 a aa 0 a 2 31 2103 6 52 2 m nm n m nN 3 344 1632 64 小结 在进行指数幂的运算时 一般地 化指数为正指数 化根式为分数指数幂 对含 有指数式或根式的乘除运算 还要善于利用幂的运算法则 动手试试 练 1 把化成分数指数幂 8 51 32 3 xx 6 练 2 计算 1 2 344 3327 3 4 6 3 8 125 a b 三 总结提升 学习小结 分数指数幂的意义 分数指数幂与根式的互化 有理指数幂的运算性质 知识拓展 放射性元素衰变的数学模型为 其中 t 表示经过的时间 表示初始质量 0 t mm e 0 m 衰减后的质量为 m 为正的常数 学习评价 当堂检测 1 若 且为整数 则下列各式中正确的是 0a m n A B m mn n aaa mnmn aaa C D n mm n aa 0 1 nn aa 2 化简的结果是 3 2 25 A 5 B 15 C 25 D 125 3 计算的结果是 1 2 2 2 A B D 22 2 2 2 2 4 化简 2 3 27 5 若 则 102 104 mn 3 2 10 m n 课后作业 1 化简下列各式 1 2 3 2 36 49 23 3 aba bab 2 计算 343 3 33243 8 12 24 aabb a aaba 7 2 1 1 指数与指数幂的运算 练习 学习目标 1 掌握 n 次方根的求解 2 会用分数指数幂表示根式 3 掌握根式与分数指数幂的运算 学习过程 一 课前准备 复习教材 P48 P53 找出疑惑之处 复习 1 什么叫做根式 运算性质 像的式子就叫做 具有性质 n a n n a nn a np mp a 复习 2 分数指数幂如何定义 运算性质 m n a m n a 其中 0 1am nNn rs aa rs a sab 复习 3 填空 n 为 时 0 0 nn x xx x 求下列各式的值 36 2 4166 81 2 6 2 15 32 48 x 624 a b 二 新课导学 典型例题 例 1 已知 3 求下列各式的值 11 22 aa 1 2 3 1 aa 22 aa 33 22 11 22 aa aa 补充 立方和差公式 3322 abab aabb 小结 平方法 乘法公式 根式的基本性质 a 0 等 np nmpm aa 注意 a 0 十分重要 无此条件则公式不成立 例如 23 6 8 8 8 变式 已知 求 11 22 3aa 1 2 11 22 aa 33 22 aa 小结 方法 摘要 审题 探究 结论 解应用问题四步曲 审题 建模 解答 作答 动手试试 练 1 化简 1111 2244 xyxy 练 2 已知 x x 1 3 求下列各式的值 1 2 11 22 xx 33 22 xx 练 3 已知 试求的值 12 0 x f xxx 12 f xf x 9 三 总结提升 学习小结 1 根式与分数指数幂的运算 2 乘法公式的运用 知识拓展 1 立方和差公式 3322 abab aabb 3322 abab aabb 2 完全立方公式 33223 33abaa babb 33223 33abaa babb 学习评价 当堂检测 1 的值为 3 2 9 A B C 3 D 72933 3 2 a 0 的值是 3 54 a aaA A 1 B a C D 1 5 a 17 10 a 3 下列各式中成立的是 A B 1 77 7 n n m m 43 12 3 3 C D 3 33 44 xyxy 33 93 4 化简 3 2 25 4 5 化简 211511 336622 1 3 3 a ba ba b 课后作业 1 已知 求的值 32 xab 4236 2xa xa 2 探究 时 实数和整数所应满足的条件 2 nnnn aaa an 2 1 2 指数函数及其性质 1 10 学习目标 1 了解指数函数模型的实际背景 认识数学与现实生活及其他学科的联系 2 理解指数函数的概念和意义 3 能画出具体指数函数的图象 掌握指数函数的性质 单调性 特殊点 学习过程 一 课前准备 预习教材 P54 P57 找出疑惑之处 复习 1 零指数 负指数 分数指数幂怎样定义的 1 2 0 a n a 3 m n a m n a 其中 0 1am nNn 复习 2 有理指数幂的运算性质 1 2 3 mn aa mn a nab 二 新课导学 学习探究 探究任务一 指数函数模型思想及指数函数概念指数函数模型思想及指数函数概念 实例 A 细胞分裂时 第一次由 1 个分裂成 2 个 第 2 次由 2 个分裂成 4 个 第 3 次由 4 个分 裂成 8 个 如此下去 如果第 x 次分裂得到 y 个细胞 那么细胞个数 y 与次数 x 的函数关系 式是什么 B 一种放射性物质不断变化成其他物质 每经过一年的残留量是原来的 84 那么以时 间 x 年为自变量 残留量 y 的函数关系式是什么 讨论 上面的两个函数有什么共同特征 底数是什么 指数是什么 新知新知 一般地 函数 一般地 函数叫做叫做指数函数指数函数 其中 其中 x 是自变量 函数的定义域为是自变量 函数的定义域为 0 1 x yaaa 且 R 反思 为什么规定 0 且 1 呢 否则会出现什么情况呢 aa 探究任务二 指数函数的图象和性质指数函数的图象和性质 引言 你能类比前面讨论函数性质时的思路 提出研究指数函数性质的内容和方法吗 回顾 研究方法 画出函数图象 结合图象研究函数性质 研究内容 定义域 值域 特殊点 单调性 最大 小 值 奇偶性 作图 在同一坐标系中画出下列函数图象 1 2 x y 2xy 讨论 1 函数与的图象有什么关系 如何由的图象画出的图象 2xy 1 2 x y 2xy 1 2 x y 2 根据两个函数的图象的特征 归纳出这两个指数函数的性质 变底数为 3 或后呢 1 3 11 新知 根据图象归纳指数函数的性质 a 10 a0 a 1 的图象恒过定点 2 1 x a A B 0 1 0 2 C D 2 1 2 2 3 指数函数 满足不等式 则它们的图象是 x f xm x g xn 01mn 4 比较大小 2 3 2 5 4 5 2 5 5 函数的定义域为 1 1 9 x y 课后作业 1 求函数 y 的定义域 1 1 51 x x 2 探究 在 m n 上 值域 01 x f xaaa 且 2 1 2 指数函数及其性质 2 13 学习目标 1 熟练掌握指数函数概念 图象 性质 2 掌握指数型函数的定义域 值域 会判断其单调性 3 培养数学应用意识 学习过程 一 课前准备 预习教材 P57 P60 找出疑惑之处 复习 1 指数函数的形式是 其图象与性质如下 a 10 a0 a 1 的图象与函数