导数知识点总结

1 导导导导 数数数数 知识要点知识要点知识要点知识要点 1 导数 导函数的简称 的定义 设 0 x是函数 xfy 定义域的一点 如果自变 量x在 0 x处有增量x 则函数值y也引起相应的增量 00 xfxxfy 比值 x xfxxf x y 00 称为函数 xfy 在点 0 x到xx 0 之间的平均变化率 如果 极限 x xfxxf x y xx limlim 00 00 存在 则称函数 xfy 在点 0 x处可导 并把这 个极限叫做 xfy 在 0 x处的导数 记作 0 xf或 0 xx y 即 0 xf x xfxxf x y xx limlim 00 00 注 x 是增量 我们也称为 改变量 因为x 可正 可负 但不为零 已知函数 xfy 定义域为A xfy 的定义域为B 则A与B关系为BA 2 函数 xfy 在点 0 x处连续与点 0 x处可导的关系 函数 xfy 在点 0 x处连续是 xfy 在点 0 x处可导的必要不充分条件 可以证明 如果 xfy 在点 0 x处可导 那么 xfy 点 0 x处连续 事实上 令xxx 0 则 0 xx 相当于0 x 于是 lim lim lim 000 0 0 0 0 xfxfxxfxxfxf xxxx 0 limlim lim lim 000 0 00 00 0 0 00 0 xfxfxfxf x xfxxf xfx x xfxxf xxxx 如果 xfy 点 0 x处连续 那么 xfy 在点 0 x处可导 是不成立的 例 xxf 在点0 0 x处连续 但在点0 0 x处不可导 因为 x x x y 当 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义 物理意 义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 2 x 0 时 1 x y 当x 0 时 1 x y 故 x y x 0 lim不存在 注 可导的奇函数函数其导函数为偶函数 可导的偶函数函数其导函数为奇函数 3 导数的几何意义 函数 xfy 在点 0 x处的导数的几何意义就是曲线 xfy 在点 0 xfx处的切线 的斜率 也就是说 曲线 xfy 在点 P 0 xfx处的切线的斜率是 0 xf 切线 方程为 0 0 xxxfyy 4 几种常见的函数导数 0 C C为常数 1 nn nxx Rn xxcos sin xxsin cos x x 1 ln e x x aa log 1 log xx ee aaa xx ln 5 求导数的四则运算法则 vuvu 2 1 21 xfxfxfyxfxfxfy nn cvcvvccvuvvuuv c为常数 0 2 v v uvvu v u 注 vu 必须是可导函数 若两个函数可导 则它们和 差 积 商必可导 若两个函数均不可导 则 它们的和 差 积 商不一定不可导 例如 设 x xxf 2 sin2 x xxg 2 cos 则 xgxf在0 x处均不可导 但它 们和 xgxfxxcossin 在0 x处均可导 6 复合函数的求导法则 xufxfx 或 xuxuyy 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形 7 函数单调性 函数单调性的判定方法 设函数 xfy 在某个区间内可导 如果 xf 0 则 xfy 为增函数 如果 xf 0 则 xfy 为减函数 常数的判定方法 如果函数 xfy 在区间I内恒有 xf 0 则 xfy 为常数 3 注 0 xf是 f x 递增的充分条件 但不是必要条件 如 3 2xy 在 上并不是都有0 xf 有一个点例外即 x 0 时 f x 0 同样 0 xf是 f x 递减的充分非必要条件 一般地 如果 f x 在某区间内有限个点处为零 在其余各点均为正 或负 那么 f x 在该区间上仍旧是单调增加 或单调减少 的 8 极值的判别方法 极值是在 0 x附近所有的点 都有 xf 0 xf 则 0 xf是函数 xf的极大值 极小值同理 当函数 xf在点 0 x处连续时 如果在 0 x附近的左侧 xf 0 右侧 xf 0 那么 0 xf是极大值 如果在 0 x附近的左侧 xf 0 右侧 xf 0 那么 0 xf是极小值 也就是说 0 x是极值点的充分条件是 0 x点两侧导数异号 而不是 xf 0 此 外 函数不可导的点也可能是函数的极值点 当然 极值是一个局部概念 极 值点的大小关系是不确定的 即有可能极大值比极小值小 函数在某一点附近 的点不同 注 若点 0 x是可导函数 xf的极值点 则 xf 0 但反过来不一定成立 对 于可导函数 其一点 0 x是极值点的必要条件是若函数在该点可导 则导数值为 零 例如 函数 3 xxfy 0 x使 xf 0 但0 x不是极值点 例如 函数 xxfy 在点0 x处不可导 但点0 x是函数的极小值点 9 极值与最值的区别 极值是在局部对函数值进行比较 最值是在整体区间上 对函数值进行比较 注 函数的极值点一定有意义 导数练习导数练习 一 选择题 1 设函数在上可导 其导函数 且函数在处取得极小 f xR fx f x2x 值 则函数的图象可能是 yxfx 4 2 设 a 0 b 0 e 是自然对数的底数 A 若 ea 2a eb 3b 则 a b B 若 ea 2a eb 3b 则 ab D 若 ea 2a eb 3b 则 a0 b 0 A 若 则a bB 若 则abD 若 则a0 2a 17 已知函数 32 11 0 32 a f xxxaxa a I 求函数的单调区间 xf II 若函数在区间内恰有两个零点 求的取值范围 xf 2 0 a III 当时 设函数在区间上的最大值为 最小值为1a xf 3 tt M t 记 求函数在区间上的最