导数练习题带答案

导数及其应用导数及其应用 一 选择题 1 函数 xfy 在一点的导数值为0是函数 xfy 在这点取极值的 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 必要非充分条件 2 已知点 P 1 2 是曲线 y 2x2上一点 则 P 处的瞬时变化率为 A 2 B 4 C 6 D 2 1 3 设函数 f x x3 x2 则 1 f 的值为 A 1 B 0 C 1 D 5 4 已知函数 0 0 1 xax xa xf x 若 lim 0 xf x 存在 则 2 f A 2ln4 B 4 5 C 2 D 2ln 4 1 5 设球的半径为时间 t 的函数 R t 若球的体积以均匀速度 c 增长 则球的表面积的增长 速度与球半径 A 成正比 比例系数为 C B 成正比 比例系数为 2C C 成反比 比例系数为 C D 成反比 比例系数为 2C 6 已知函数1 23 xaxxxf在 上是单调函数 则实数a的取值范围是 A 3 3 B 3 3 C 3 3 D 3 3 7 一点沿直线运动 如果由始点起经过 t 秒后的距离为 432 15 2 43 sttt 那么速度为零的 时刻是 A 1 秒末 B 0 秒 C 4 秒末 D 0 1 4 秒末 8 下列等于 1 的积分是 A dxx 1 0 B dxx 1 0 1 C dx 1 01 D dx 1 02 1 9 11 lim 10 0 x x x 的值是 A 不存在 B 0 C 2 D 10 10 dxee xx 1 0 A e e 1 B 2e C e 2 D e e 1 二 填空题 11 设 56 1 1 xxxf 则函数 xf中 3 x的系数是 12 过原点作曲线 x ey 的切线 则切点的坐标为 切线的斜率为 13 曲线 y x3在点 1 1 切线方程为 14 函数xaxaxxf 23 2 3 1 在R上单调递增 则实数 a 的取值范围为 三 解答题 15 设函数 22 1ln 1 xxxf 1 求函数 xf的单调区间 2 若当 1 1 1 e e x时 不等式mxf 恒成立 求实数m的取值范围 3 若关于x的方程axxxf 2 在区间 2 0 上恰好有两个相异的实根 求实 数a的取值范围 16 设函数 322 0 f xxaxa xm a 1 若1a 时函数 f x有三个互不相同的零点 求m的取值范围 2 若函数 f x在 1 1x 内没有极值点 求a的取值范围 3 若对任意的 3 6a 不等式 1f x 在 2 2x 上恒成立 求实数m的取值范 围 17 已知函数 3 3 0 f xxaxb a 1 若曲线 yf x 在点 2 f x处与直线8y 相切 求 a b的值 2 求函数 f x的单调区间与极值点 18 求函数 yxa xb xc 的导数 19 2 2 0 3 10 xk dxk 则 20 甲 乙两个工厂 甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处 乙厂与甲厂在河的同侧 乙厂位于 离河岸 40 km 的 B 处 乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km 两厂要在此岸边合建一个供 水站 C 从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a元和 5a元 问供水站 C 建在 岸边何处才能使水管费用最省 C C D D B B A A 答案答案 一 选择题 1 D 2 B 3 C 4 D 5 解析解析 由题意可知球的体积为 3 4 3 V tR t 则 2 4 cV tR t R t 由此可得 4 c R t R t R t 而球的表面积为 2 4 S tR t 所以 2 4 8 vS tR tR t R t 表 即 22 8 2 4 cc vR t R tR t R tR t R t R tR t 表 故选 D 6 B 解析 解析 2 3210fxxax 在 恒成立 2 412033aa 7 D 8 C 9 D 10 D 二 填空题 11 40 12 1 e e 13 3x y 2 0 14 4 1 0 三 解答题 15 解析解析 因为 x xxfxxxf 1 2 1 2 1ln 1 22 所以 1 令0 1 2 0 1 1 1 2 1 2 1 2 2 x xx x x x xxf 12 x或x 0 所以f x 的单调增区间为 2 1 和 0 3 分 令0 1 2 0 1 1 1 2 1 2 1 2 2 x xx x x x xxf 201xfxx所以或 的单调减区间 1 0 和 2 5 分 2 令201 1 0 2 xxxxf或 舍 由 1 知 f x 连续 2 1 1 1 2 1 1 0 2 1 1 1 2 2 2 exfe e x eeff ee f 的最大值为时当所以 因此可得 f x e2 2 9 分 3 原题可转化为 方程a 1 x ln 1 x 2在区间 0 2 上恰好有两个相异的实根 9ln3 2 4ln2 1 1 0 20 12 2 1 0 2 1 1 0 0 1 0 1 0 1 2 1 1ln 1 2 ggg xxxg xgxgx xgxgx xxg x xgxxxg 又 点处连续和在 分单调递增在时当 单调递减在时当 解得令则令 且 2 ln4 3 ln9 1 xg的最大值是 1 xg的最小值是 2 ln4 所以在区间 0 2 上原方程恰有两个相异的实根时实数a的取值范围是 2 ln4 a 3 ln9 14 分 16 解析解析 1 当1a 时 32 f xxxxm f x有三个互不相同的零点 32 0f xxxxm 即 32 mxxx 有三个互不相同的实数根 令 32 g xxxx 则 2 321 31 1 gxxxxx g x在 1 和 1 3 均为减函数 在 1 1 3 为增函数 15 1 1 327 g xgg xg 极小极大 所以m的取值范围是 5 1 27 4 分 2 由题设可知 方程 22 320fxxaxa 在 1 1 上没有实数根 2 2 1 320 1 320 0 faa faa a 解得3a 8 分 3 22 323 3 a fxxaxaxxa 又0a 当xa 或 3 a x 时 0fx 当 3 a ax 时 0fx 函数 f x的递增区间为 3 a a 和单调递减区间为 3 a a 当 3 6a 时 1 2 3 3 a a 又 2 2x max max 2 2 f xff 而 2 2 2 1640ffa 2 max 2 842f xfaam 又 1f x 在 2 2 上恒成立 2 max 18421f xaam 即 即 2 9423 6maaa 在上恒成立 2 942aa 的最小值为87 87 m 13 分 17 解析解析 2 33fxxa 曲线 yf x 在点 2 f x处与直线8y 相切 203 404 24 86828 faa babf 5 分 2 30fxxaa 当0a 时 0fx f x在 上单调递增 此时函数 f x没有极值点 当0a 时 由 0fxxa 当 xa 时 0fx 函数 f x单调递增 当 xaa 时 0fx 函数 f x单调递减 当 xa 时 0fx 函数 f x单调递增 此时xa 是 f x的极大值点 xa 是 f x的极小值点 12 分 18 解析 解析 yxaxb xcxa xbxcxa xb xc xb xcxa xcxa xb 19 1 20 解法一解法一 根据题意知 只有点 C 在线段 AD 上某一适当位置 才能使总运费最省 设 C 点距 D 点 x km 则 BD 40 AC 50 x BC 2222 40 xCDBD 又设总的水管费用为 y 元 依题意有 y 3a 50 x 5a 22 40 x 050 x y 3a 22 40 5 x ax 令 y 0 解得x 30 在 0 50 上 y 只有一个极值点 根据实际问题的意义 函数在x 30 km 处取得最小值 此时 AC 50 x 20 km 供水站建在 A D 之间距甲厂 20 km 处 可使水管费用最省 解法二解法二 设 BCD 则 BC sin 40 CD 2 0 cot40 cot4050 AC 设总的水管费用为 f 依题意 有 f 3a 50 40 cot 5 40 sin a 150a