高考三角函数专题

第九第九讲讲 三角函数三角函数 高考在考什么高考在考什么 1 海南 若 则的值为 cos22 2 sin 4 cossin 7 2 1 2 1 2 7 2 2 天津 是 的 2 3 tan2cos 2 充分而不必要条件 必要而不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件 3 在 OAB 中 O 为坐标原点 则当 OAB 的面积达最 2 0 1 sin cos 1 BA 大值时 A B C D 6 4 3 2 4 江苏 若 则 1 cos 5 3 cos 5 tantan 5 浙江 已知 且 则的值是 1 sincos 5 3 24 cos2 6 已知函数f x sin2x sinxcosx 3 求f 的值 设 0 f 求 sin的 25 6 2 4 13 2 值 高考要考什么高考要考什么 考点透视考点透视 本专题主要涉及同角三角函数基本关系 诱导公式 两角和差公式 倍角公式 升幂 缩角 降幂扩角公式等公式的应用 热点透析热点透析 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 通过本节的学习使考生掌握化 简和求值问题的解题规律和途径 特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧 以优化我们 的解题效果 做到事半功倍 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 突破重难点突破重难点 范例范例 1 1 设 0 P sin2 sin cos 1 若 t sin cos 用含 t 的式子表示 P 2 确定 t 的取值范围 并求出 P 的最大值 点晴点晴 间通过平方可以建立关系 知其一 可求其二 sincos sincos 范例范例 2 2 已知为的最小正周期 0 cos 2f xx 且 求的值 1 tan1 4 a cos2 b bam 2 2cossin2 cossin 范例范例 3 3 设 2 6cos3sin2f xxx 求的最大值及最小正周期 f x 若锐角满足 求的值 32 3f 4 tan 5 范例范例 4 4 已知的面积 S 满足且与的夹角为 ABC 33 S 6 AB BC AB BC 1 求的取值范围 2 求函数的最小值 22 sin2sincos3cosf 范例范例 5 5 已知函数 2 2sin3cos2 4 f xxx 4 2 x I 求的最大值和最小值 f x II 若不等式在上恒成立 求实数的取值范围 2f xm 4 2 x m 本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识 以及运用三角公式 三角函数的图象 和性质解题的能力 变式变式 已知f x 2asin2x 2asinx a b的定义域是 0 值域是2 2 5 1 求a b的值 第十 十一讲第十 十一讲 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 1 已知函数 xbxaxfcossin a b为常数 0 a Rx 在 4 x 处取得最 小值 则函数 4 3 xfy 是 A 偶函数且它的图象关于点 0 对称 B 偶函数且它的图象关于点 0 2 3 对称 C 奇函数且它的图象关于点 0 2 3 对称 D 奇函数且它的图象关于点 0 对称 2 定义在 R 上的函数 xf 既是偶函数又是周期函数 若 xf 的最小正周期是 且当 2 0 x 时 xxfsin 则 3 5 f 的值为 A 2 1 B 2 1 C 2 3 D 2 3 3 函数 y x cosx 的部分图象是 4 存在 2 0 使 3 1 cossin aa 存在区间 a b 使 xycos 为减函数而 xsin 0 xytan 在其定义域内为增函数 2 sin 2cosxxy 既有最大 最小值 又是偶函数 6 2 sin xy 最小正周期为 以上命题错误的为 5 把函数 y cos x 3 4 的图象向右平移 个单位 所得的图象正好关于 y 对称 则 的 最小正值为 6 设函数 f x asin x bcos x 0 的最小正周期为 并且当 x 12 时 有最大值 f 12 4 1 求 a b 的值 2 若角 的终边不共线 f f 0 求 tan 的值 考点透视 本专题主要涉及正弦函数 余弦函数 正切函数的图像和性质 掌握两种作图方法 五点 法 和变换作图 平移 对称 伸缩 三角函数的性质包括定义域 值域 最值 单调性 奇偶性和周期性 热点透析 三角函数的图象和性质是高考的热点 在复习时要充分运用数形结合的思想 把图象和性 质结合起来 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 常见题型 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 考查三角函数的图象和性质的基础题目 此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象 的基础上要对三角函数的性质灵活运用 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 三角函数与其他知识相结合的综合题目 此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻 辑思维能力 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点 并可以逐渐加强 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 三角函数与实际问题的综合应用 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力 要注意数形结合思想在解题 中的应用 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 突破重难点 范例范例 1 右图为右图为 y Asin x 的图象的一段 求其解析的图象的一段 求其解析 式 式 点晴 1 由图象求解析式时 第一零点 的确定很重要 尽 量使 A 取正值 2 由图象求解析式 kxAy sin 或由代数条件 确定解析式时 应注意 1 振幅 A 2 1 minmax yy 2 相邻两个最值对应的横坐标之差 或一个单调区间的长度为 T 2 1 由此推出 的值 3 确定 值 一般用给定特殊点坐标代入解析式来确定 范例 2 已知函数 cos sinlog 2 1 xxxf 1 求它的定义域和值域 2 求它的单调区间 3 判断它的奇偶性 4 判断它的周期性 如果是周期函数 求出它的最小正周期 范例 3 设函数 f x a b 其中向量 cos2 mx a 1 sin2 1 x b x R 且 yf x 的图象经过点 2 4 求实数m的值 求函数 f x 的最小值及此时x值的集合 范例 4 设函数 232 cos4 sincos434 22 xx f xxtttt x R 其中 1t 将 f x 的最小值记为 g t I 求 g t 的表达式 II 讨论 g t 在区间 11 内的单调性并求极值 第九第九讲讲 三角函数的求三角函数的求值值 1 C 2 A 3D 4 5 1 2 7 25 6 解 251253 sin cos 6262 2 25252525 3sinsincos0 6666 f 331 cos2sin2 222 f xxx 31313 cossin 222242 f 解得011sin4sin16 2 8 531 sin 0sin 0 8 531 sin a 范例范例 1 1 解析解析 1 由有sincos t 2 1 2sincos1 sin2 t 222 sin21 11 tPtttt 2 sincos2sin 4 t 3 0 444 即 的取值范围是 1 sin 1 42 t12 t 在内是增函数 在内是减函数 22 15 1 24 P tttt 1 1 2 1 2 2 的最大值是P 5 4 范例范例 2 2 解 因为为的最小正周期 故 cos 2 8 f xx 因 又 m a b 1 costan2 4 a b 故 1 costan2 4 m 由于 所以 0 4 22 2cossin2 2cossin 22 cossincossin 2 2cossin22cos cossin cossincossin 1tan 2cos2costan2 2 1tan4 m 范例范例 3 3 解 1 cos2 63sin2 2 x f xx 3cos23sin23xx 31 2 3cos2sin23 22 xx 故的最大值为 最小正周期 2 3cos 23 6 x f x2 33 2 2 T 由得 故 32 3f 2 3cos 2332 3 6 cos 21 6 又由得 故 解得 0 2 2 666 2 6 5 12 从而 4 tantan3 53 范例范例 4 4 解 解 1 由题意知 cos6 AB BCABBC 11 sin sin 22 SABBCABBC 由 得即由得 1 tan 62 S 3tan S 33 S 3 tan1 3 又为与的夹角 AB BC 0 6 4 2 22 sin2sincos3cosf 1 sin2cos222sin 2 4 73 2 6 44124 即时 的最小值为 3 3 2 44 4 f 范例范例 5 5 解 1 cos23cos21 sin23cos2 2 f xxxxx 12sin 2 3 x 又 即 4 2 x 2 2 633 x 212sin 23 3 x maxmin 3 2f xf x 2 2 2f xmf xmf x 4 2 x 且 max 2mf x min 2mf x 即的取值范围是 14m m 14 变式变式 解析解析 令 sinx t x 0 t 0 1 2 f x g t 2at2 2at a b 2a t 2 b 2 2 2 当a 0 时 则 解之得a 6 b 5 1 5 ba b 当a 0 时 则 解之得a 6 b 1 5 1 ba b 第十 十一讲第十 十一讲 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 1 1 D 2 D 3 D 4 5 3 6 1 由 2 0 得 2 f x asin2x bcos2x 由 x 12 时 f x 的最大值为 4 得 32 2 4 2 3 2 4 22 b a b a ba 2 由 1 得 f x 4sin 2x 3 依题意 4sin 2 3 4sin 2 3 0 sin 2 3 sin 2 3 0 cos 3 sin 0 的终边不共线 即 k k Z 故 sin 0 k 6 k Z tan 3 3 范例 1 右图为 y Asin x 的图象的一段 求其解析式 解析 法 1 以 M 为第一个零点 则 A 3 2 所求解析式为 2sin 3 xy 点 M 0 3 在图象上 由此求得 3 2 所求解析式为 3 2 2sin 3 xy 法 2 由题意 A 3 2 则 3sin 2 yx 图像过点 7 3 12 7 33sin 6 7 33sin 6 即 7 2 62 k 2 2 3 k 取 2 3 所求解析式为 2 3sin 2 3 yx 范例 2 1 由题意得 sinx cosx 0 即 0 4 sin 2 x 从而得 kxk2 4 2 函数的定义域为 4 5 2 4 2 kk Zk 1 4 sin 0 x 故 0 sinx cosx 2 所有函数 f x 的值域是 2 1 2 单调递增区间是 4 5 2 4 3 2 kk Zk 单调递减区间是 4 3 2 4 2 kk Zk 3 因为 f x 定义域在数轴上对应的点不关于原点对称 故 f x 是非奇非偶函数 4 2cos 2 sin log 2 2 1 xfxxxf 函数 f x 的最小正周期 T 2 范例 3 解 1 sin2 cos2f xa bmxx A 由已知 1 sincos2 422 fm 得 1m 由 得 1 sin2cos212sin 2 4 f xxxx 当 sin 21 4 x 时 f x 的最小值为1 2 由 sin 21 4 x 得x值的集合为 3 8 x xkk Z 范例 4 解 I 我们有 232 cos4 sincos434 22 xx f xxt