小学奥数——鸡兔同笼问题系列提升教案

1 小学奥数小学奥数 鸡兔同笼问题系列提升教案鸡兔同笼问题系列提升教案 课题介绍 课题介绍 鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一 通过学习解鸡兔同笼问题 可以提高我们的分析 问题 解决问题的能力 例题 大约一千五百年前 我国古代数学名著 孙子算经 中记载了一道数学趣题 这就 是著名的 鸡兔同笼 问题 书中是这样叙述的 今有鸡兔同笼 上有三十五头 下有九十 四足 问鸡兔各几何 意思就是 笼子里有若干只鸡和兔 从上面数 有 35 个头 从下面数 有 94 只脚 问鸡 和兔各有多少只 五种解法举例 五种解法举例 方法一 列表枚举法方法一 列表枚举法 列表枚举法就是让我们列出表格 采用依次列举 逐步尝试的方法来解决这个问题 详细 过程见下表 鸡 35343332 26252423 兔 0123 9101112 脚 70727476 88909294 用这种方法解题简单 容易理解 但过程太过笨拙 繁琐 方法二 抬腿法方法二 抬腿法 这是古人解题的方法 也就是 孙子算经 中采用的方法 1 抬腿 即鸡 金鸡独立 兔两个后腿着地 前腿抬起 腿的数量就为原来数量的一半 94 2 47 只脚 2 现在鸡有一只脚 兔有两只脚 笼子里只要有一只兔子 脚数就比头数多 1 3 那么脚数与头数的差 47 35 12 就是兔子的只数 4 最后用头数减去兔的只数 35 12 23 就得出鸡的只数 所以 我们可以总结出这样的公式 兔子的只数兔子的只数 总腿数总腿数 2 2 总只数 总只数 方法三 假设法方法三 假设法 假设法是鸡兔同笼类问题最常用的方法之一 假设这 35 个头都是兔子 那么腿数就应该是 35 4 140 就比 94 还多 那么是哪里多的 呢 当然是我们把两条腿的鸡看成了四条腿的兔子了 我们都知道一只兔子比一只鸡多 2 条腿 多 2 条腿就有 1 只鸡 那么多的腿数当中有多少个 2 就有多少只鸡 我们可以列式为 鸡的只数 35 4 94 4 2 总结公式为 鸡的只数 兔的脚数 总只数 总腿数 兔的腿数 鸡的腿数 当然我们也可以把这 35 个头都看成鸡的 那么腿数应该是 35 2 70 就比 94 还少 相信 不说你也明白为什么少了 对 因为我们把 4 条腿的兔子看成了 2 条腿的鸡 那么每少两条腿 就有 1 只兔子 所以我们可以这样列式 兔的只数 94 35 2 4 2 总结公式为 兔的只数 总脚数 鸡的脚数 总只数 兔的脚数 鸡的脚数 2 方法四 砍腿法方法四 砍腿法 砍腿法是假设法的深入拓展 它更适合我们小学生的理解方式 下面我就用这种方法来解 一下这道题 我们首先砍去每只鸡 每只兔的两条腿 这样每只鸡就没有腿了 每只兔子就剩下了两条 腿 腿的总数也就变成了 94 35 2 24 条 那么这 24 条腿都是砍掉两条腿后的兔子的腿 所以兔子的只数就是 24 2 12 只 鸡的只数就是 35 12 23 只 我们仔细观察会发现它的计算过程和假设法中先把所有的都看成鸡的做法是一样的 只不 过这种说法 我们理解起来更容易而已 方法五 方程法方法五 方程法 1 解 设有 X 只鸡 那么兔有 35 X 只 数量关系 兔的只数 兔的腿数 鸡的只数 鸡的腿数 总腿数 4 35 X 2X 94 4 35 4X 2X 94 2X 140 94 X 46 2 X 23 兔 35 23 12 只 答 鸡有 23 只 兔有 12 只 2 解 设有 X 只兔 那么鸡有 35 X 只 数量关系 兔的只数 兔的腿数 鸡的只数 鸡的腿数 总腿数 4X 2 35 X 94 4X 2 35 2X 94 2X 94 70 X 24 2 X 12 鸡 35 12 23 只 答 鸡有 23 只 兔有 12 只 提升部分 提升部分 例例 1 1 小梅数她家的鸡与兔 数头有 小梅数她家的鸡与兔 数头有 1616 个 数脚有个 数脚有 4444 只 问 小梅家的鸡与兔各有多少只 问 小梅家的鸡与兔各有多少 只 只 分析 假设 16 只都是鸡 那么就应该有 2 16 32 只 脚 但实际上有 44 只脚 比假 设的情况多了 44 32 12 只 脚 出现这种情况的原因是把兔当作鸡了 如果我们以同样数 量的兔去换同样数量的鸡 那么每换一只 头的数目不变 脚数增加了 2 只 因此只要算出 12 里面有几个 2 就可以求出兔的只数 解 有兔 44 2 16 4 2 6 只 有鸡 16 6 10 只 答 有 6 只兔 10 只鸡 当然 我们也可以假设 16 只都是兔子 那么就应该有 4 16 64 只 脚 但实际上有 44 只脚 比假设的情况少了 64 44 20 只 脚 这是因为把鸡当作兔了 我们以鸡去换兔 每换一只 头的数目不变 脚数减少了 4 2 2 只 因此只要算出 20 里面有几个 2 就可 以求出鸡的只数 3 有鸡 4 16 44 4 2 10 只 有兔 16 10 6 只 由例 1 看出 解答鸡兔同笼问题通常采用假设法 可以先假设都是鸡 然后以兔换鸡 也 可以先假设都是兔 然后以鸡换兔 因此这类问题也叫置换问题 例例 2 2 100100 个和尚个和尚 140140 个馒头 大和尚个馒头 大和尚 1 1 人分人分 3 3 个馒头 小和尚个馒头 小和尚 1 1 人分人分 1 1 个馍馒头 问 个馍馒头 问 大 小和尚各有多少人 大 小和尚各有多少人 分析与解 本题由中国古算名题 百僧分馒头问题 演变而得 如果将大和尚 小和尚分 别看作鸡和兔 馒头看作腿 那么就成了鸡兔同笼问题 可以用假设法来解 假设 100 人全是大和尚 那么共需馒头 300 个 比实际多 300 140 160 个 现在以 小和尚去换大和尚 每换一个总人数不变 而馒头就要减少 3 1 2 个 因为 160 2 80 故小和尚有 80 人 大和尚有 100 80 20 人 同样 也可以假设 100 人都是小和尚 同学们不妨自己试试 在下面的例题中 我们只给出一种假设方法 例例 3 3 彩色文化用品每套 彩色文化用品每套 1919 元 普通文化用品每套元 普通文化用品每套 1111 元 这两种文化用品共买了元 这两种文化用品共买了 1616 套 套 用钱用钱 280280 元 问 两种文化用品各买了多少套 元 问 两种文化用品各买了多少套 分析与解 我们设想有一只 怪鸡 有 1 个头 11 只脚 一种 怪兔 有 1 个头 19 只脚 它们共有 16 个头 280 只脚 这样 就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了 假设买了 16 套彩色文化用品 则共需 19 16 304 元 比实际多 304 280 24 元 现在用普通文化用品去换彩色文化用品 每换一套少用 19 11 8 元 所以 买普通文化用品 24 8 3 套 买彩色文化用品 16 3 13 套 例例 4 4 鸡 兔共 鸡 兔共 100100 只 鸡脚比兔脚多只 鸡脚比兔脚多 2020 只 问 鸡 兔各多少只 只 问 鸡 兔各多少只 分析 假设 100 只都是鸡 没有兔 那么就有鸡脚 200 只 而兔的脚数为零 这样鸡脚比 兔脚多 200 只 而实际上只多 20 只 这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多 200 20 180 只 现在以兔换鸡 每换一只 鸡脚减少 2 只 兔脚增加 4 只 即鸡脚比兔脚多的脚数中就会 减少 4 2 6 只 而 180 6 30 因此有兔子 30 只 鸡 100 30 70 只 解 有兔 2 100 20 2 4 30 只 有鸡 100 30 70 只 答 有鸡 70 只 兔 30 只 例例 5 5 现有大 小油瓶共 现有大 小油瓶共 5050 个 每个大瓶可装油个 每个大瓶可装油 4 4 千克 每个小瓶可装油千克 每个小瓶可装油 2 2 千克 大瓶比千克 大瓶比 小瓶共多装小瓶共多装 2020 千克 问 大 小瓶各有多少个 千克 问 大 小瓶各有多少个 分析 本题与例 4 非常类似 仿照例 4 的解法即可 解 小瓶有 4 50 20 4 2 30 个 大瓶有 50 30 20 个 答 有大瓶 20 个 小瓶 30 个 例例 6 6 一批钢材 用小卡车装载要 一批钢材 用小卡车装载要 4545 辆 用大卡车装载只要辆 用大卡车装载只要 3636 辆 已知每辆大卡车比每辆 已知每辆大卡车比每 辆小卡车多装辆小卡车多装 4 4 吨 那么这批钢材有多少吨 吨 那么这批钢材有多少吨 分析 要算出这批钢材有多少吨 需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨 4 利用假设法 假设只用 36 辆小卡车来装载这批钢材 因为每辆大卡车比每辆小卡车多装 4 吨 所以要剩下 4 36 144 吨 根据条件 要装完这 144 吨钢材还需要 45 36 9 辆 小 卡车 这样每辆小卡车能装 144 9 16 吨 由此可求出这批钢材有多少吨 解 4 36 45 36 45 720 吨 答 这批钢材有 720 吨 例例 7 7 乐乐百货商店委托搬运站运送 乐乐百货商店委托搬运站运送 500500 只花瓶 双方商定每只运费只花瓶 双方商定每只运费 0 240 24 元 但如果发生元 但如果发生 损坏 那么每打破一只不仅不给运费 而且还要赔偿损坏 那么每打破一只不仅不给运费 而且还要赔偿 1 261 26 元 结果搬运站共得运费元 结果搬运站共得运费 115 5115 5 元 元 问 搬运过程中共打破了几只花瓶 问 搬运过程中共打破了几只花瓶 分析 假设 500 只花瓶在搬运过程中一只也没有打破 那么应得运费 0 24 500 120 元 实际上只得到 115 5 元 少得 120 115 5 4 5 元 搬运站每打破一只花瓶要损失 0 24 1 26 1 5 元 因此共打破花瓶 4 5 1 5 3 只 解 0 24 500 115 5 0 24 1 26 3 只 答 共打破 3 只花瓶 例例 8 8 小乐与小喜一起跳绳 小喜先跳了 小乐与小喜一起跳绳 小喜先跳了 2 2 分钟 然后两人各跳了分钟 然后两人各跳了 3 3 分钟 一共跳了分钟 一共跳了 780780 下 已知小喜比小乐每分钟多跳下 已知小喜比小乐每分钟多跳 1212 下 那么小喜比小乐共多跳了多少下 下 那么小喜比小乐共多跳了多少下 分析与解 利用假设法 假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样 那么两人跳的总数减少 了 12 2 3 60 下 可求出小乐每分钟跳 780 60 2 3 3 90 下 小乐一共跳了 90 3 270 下 因此小喜比小乐共多跳 780 270 2 240 下 课后练习 课后练习 一 填空欢乐谷 1 鸡和兔共有脚 240 只 已知鸡比兔多 15 只 那么鸡有 只 兔有 只 2 一只蜈蚣 40 只脚 一只螳螂 6 只脚 现在又蜈蚣和螳螂共 35 只 合计有脚 822 只 蜈蚣有 只 螳螂有 只 3 饲养小组笼中共有鸡兔 100 只 总腿数是 344 条 那么 鸡有 只 兔有 只 4 三个班共有 108 名学生 甲班比乙班多 4 名 乙班比丙班多 1 名 则甲 乙 丙三个班学生数分别为 5 一个大人一餐吃 2 个面包 两个孩子一餐吃 1 个面包 现在又大人和孩子共 99 人 一餐刚好吃了 99 个 面包 大人有 人 孩子有 人 5 二 练习 1 老师带领同学们去看电影 共买了甲 乙两种电影票 50 其中甲票每张 5 元 乙票每张 3 5 元 共花了 196 元 那么买了甲票多少张 2 红星商店托运 50 箱饮料 合同规定每箱运费 20 元 若损坏一箱 除不给运费外 还要赔偿损失 100 元 运后结算时共付运费 760 元 损坏了几箱饮料 3 鸡兔关在同一笼子里 共有 48 个头 100 只脚 问鸡有多少只 4 50 元 1 千克的茶叶盒 80 元 1 千克的茶叶共 10 千克 一共用去 710 元 两种茶叶各有多少 3 解决问题 1 某次数学竞赛共 20 道题 评分标准是 每做对一题得 5 分 每做错或不做一题扣 1 分 小华参加了这次 竞赛 得了 64 分 问 小华做对几道题 2 鸡 兔共有脚 100 只 若将鸡换成兔 兔换成鸡 则共有脚 86 只 问 鸡 兔各有几只 3 一只货船载重 260 吨 容积 1000 米 3 现装运甲 乙两种货物 已知甲种货物每吨体积是 8 米 3 乙种 货物每吨体积 2 米 3 要使这只船的载重量与容积得到充分利用 甲 乙两种货物应分别装多少吨 6 4 自行车越野赛全程 220 千米 全程被分为 20 个路段 其中一部分路段长 14 千米 其余的长 9 千米 问 长 9 千米的路段有多少个 5 有一群鸡和兔 腿的总数比头的总数的 2 倍多 18 只 兔有几只 6 如果被乘数增加 15 乘数不变 积就增加 180 如果被乘数不变 乘数增加 4 那么积就增加 120 原来 两个数相乘的积是多少 7 编一本 695 页的故事书的页码 一共要用多少个数字 其中数字 5 用去了几个 8 编一本辞典一共用去了 6889 个数字 这本辞典共有几页 9