高等数学A(3)B卷中典型试题的解答与分析

1 高等数学高等数学 A 3 B 卷中典型试题的解答与分析卷中典型试题的解答与分析 高等数学 A 3 的教学内容是四川大学数学系编著的 高等数学 第 二册中的 2 章 幂级数和傅里叶级数 广义积分和含参变量积分 第三册 线性代数的全部内容共 7 章 行列式 矩阵代数 线性方程组 线性空间 线性变换 欧几里得空间 n 元实二次型 本次期末试题的覆盖面较广 现将几个较典型的试题给予解答与分析 1 已知二次型的秩为 2 323121 2 3 2 2 2 1321 66255 xxxxxxcxxxxxxf 求参数 c 解一 设二次型的矩阵为 A c A 33 351 315 二次型的秩即为二次型相应矩阵的秩 c c cc A 2600 9120 351 9120 12240 351 33 351 315 由已知 A 的秩为 2 所以 3 026 cc 解二 由于 A 的秩为 2 由矩阵秩的定义有 0 A 由 解得 且易验证0 51 15 31 35 3 35 31 3 cA3 c 时 矩阵对应的行列式有二阶子式不为零 因此 A 的秩为 2 故所3 cA 求二次型的秩为 2 分析 本题考核二次型秩的概念 解一利用二次型秩的定义求解 即利 用二次型相应矩阵的秩称为二次型的秩 将原问题转化为求相应矩阵的秩 利 用初等变换求得 解二利用矩阵秩的定义直接求得 cc 在本题的求解中 典型的错误有 1 矩阵初等变换的符号 与运算符号 混淆 由此看出对初等变换的 2 理解还不够 2 由行列式 直接就确定了实际上 由矩阵秩的定义 还应验0 A 3 c 证时 行列式有二阶子式不为零 这样才能得出矩阵的秩为 2 从而二次型3 c 的秩为 2 2 求幂级数的和函数 并指出收敛域 1 1 7 n n x n 本题是考核求幂级数的和函数与收敛域 一般来说利用已知级数求和函 数的公式以及幂级数的性质就可求得和函数 在确定收敛半径后应讨论在端 点处的收敛性 求得收敛区域 解一 令 其中 1 1 n n nttS 1 1 t 逐项积分 1 110 1 0 t t tdtntdttS n n n t n t 故 22 1 1 1 1 1 tt tt t t dt d tS 由于时 当时 级数的一般项和均不趋于零 故1 t n n n 1 n 和发散 所以 1 1 n n n 1n n 收敛域为 7 7 7 7 1 1 x S x n n n 2 2 7 49 7 1 1 x x 解二 令 1 1 7 n n x nxS 则 1 7 7 7 7 1 7 7 7 7 7 7 7 110 1 0 x x x x x xx d x ndxxS n n n x n x 由于当时 级数的一般项分别为和 显然均不趋于零 故7 x n n 1 n 和发散 所以 1 1 n n n 1n n 收敛域为 7 49 7 7 2 xx x dx d xS 7 7 x 3 以上两种解法的思路是相同的 都是利用几何级数求和函数的公式以及 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分的性质 先逐项求积分 再逐项求导 求 得和函数 然后通过讨论级数在端点处的敛散性 确定收敛区域 不同之处是 解一是通过明确的变量替换先将级数变为标准型级数由求得此 7 x t 1 1 n n t n 级数的和函数与收敛区域 从而求得原级数的和函数与收敛区域 解二是用凑 微分法直接进行逐项求积分 然后同理求得级数的和函数与收敛区域 在本题的求解中 典型的错误有 1 对于端点处级数的敛散性没有讨论 这实际上是然后混淆了收敛区间 和收敛区域的概念 2 凑微分法运算或求导运算有误 造成和函数有误 3 讨论无穷积分的收敛性 9 03 1 1 dx x 解一 点是函数 的奇点 讨论以下两个无界函数的积分 1 x 3 1 1 x 2 3 1 2 3 lim 1 1 lim 1 1 3 2 1 0 1 00 3 0 3 dx x dx x 6 4 2 3 lim 1 1 lim 1 1 3 2 9 1 9 10 3 0 3 dx x dx x 于是 由无界函数收敛的定义知收敛 9 03 1 1 dx x 解二 点是函数 的奇点 1 x 3 1 1 x 由于时 故收敛 1 x 3 1 1 1 1 1 3 p xx p 9 13 1 1 dx x 由于时 故收敛 10 x 3 1 1 1 1 1 3 p xx p 1 03 1 1 dx x 于是 收敛 9 03 1 1 dx x 1 03 1 1 dx x 9 13 1 1 dx x 解三 点是函数 的奇点 1 x 3 1 1 x 4 令 9 03 1 1 dx x 1 03 1 1 dx x 1 1 21 9 13 IIdx x 当时 且 故收敛 从而收敛 10 x 0 1 1 3 x 1 1 1 1 lim 3 3 1 1 1 x x x 1 I 1 I 类似地 当时 由且 故收敛 于是91 x 0 1 1 3 x 1 1 1 1 lim 3 3 1 1 x x x 2 I 收敛 9 03 1 1 dx x 本题考核对无穷积分敛散性的判别 解一直接利用奇点位于积分区间中 间的无界函数积分的定义 通过计算两个极限来判断该无穷积分的敛散性 解 二和解三分别利用判别法和判别法的极限形式结合无界函数积分的定义来判 断该无穷积分的敛散性 在本题的求解中 典型的错误有 1 直接用判断无穷积分的敛散性 实际上 这是 3 1 1 2 1 1 3 p xx p 行不通的 因为当时 以上不等式的右边故此不等式是不成立的 10 x 0 应如以上解二 结合奇点位于积分区间中间的无界函数积分的定义 将原积分 分成两部分 再分别应用判别法进行判别 2 对判别法或判别法的极限形式的条件没有完全验证或掌握不完全 4 讨论当取何值时 方程组 有唯一解 无限多k 22 51823 5 32 321 321 xx kkxxx xxkx 解或无解 在有解的情况下 求出其全部解 解 3 3 14 3 5 1 3 1 3 4 00 2210 514403 2210 51823 511 22 kkk k kk kk k A 1 当时 即当并且时 01 3 1 3 4 2 kk1 k3 k 3 ArAr 方程组有唯一解 由克莱姆法则 得其中 3 1 2 1 1 1 D D x D D x D D x 5 34 2 kkD 22 1 kD 243612 2 2 kkD 243612 2 3 kkD 2 当时 有方程组有无限多解 并且方程组1 k 32 ArAr 可化为 解之得 22 933 32 31 xx xx TT Cx 121 023 3 当 时 方程组无解 3 k ArAr 32 这是一道综合题 涉及到线性方程组的解理论 解结构 矩阵初等变换 和行列式运算等 在本题的求解中 典型的错误有 1 当并且时 能得出此方程组有唯一解的结论 但对解的唯1 k3 k 一性的理解不够 相当一部分学生理解为这儿的解是一组确定的有序三数组 这是不正确的 而应该是对于不同的 其解为与有