导数中的双变量任意

高二数学选修 2 2 导数中的双变量任意 存在恒成立问题 1 导数中的双变量任意 存在恒成立问题导数中的双变量任意 存在恒成立问题 解决方法 解决方法 转化为最值问题处理 类型类型 一 若一 若 恒成立恒成立 2211 DxDx 21 xgxf max2min1 xgxf 基本思想是 基本思想是 函数的任一函数值均大于的任一函数值 xf xg 故只需即可 几何解释如图一 max2min1 xgxf 例例 1 已知 若对 xxxfln 3 2 axxxg 0 1 x 使得 成立 求实数的取值范围 1 2 ex 2 1 xf 2 xga 变式训练 1 已知函数 若1 4 3 4 1 ln x xxxf42 2 bxxxg 20 1 x 不等式 不等式 恒成立 求实数的取值范围 21 2 x 1 xf 2 xgb 类型 二 若 恒成立恒成立 2211 DxDx 21 xgxf min2max1 xgxf 基本思想是 基本思想是 函数的某些函数值大于的某些函数值 xf xg 高二数学选修 2 2 导数中的双变量任意 存在恒成立问题 2 只要求有这样的函数值 不要求所有的函数值 故只需即可 几何解释如图二 min2max1 xgxf 例例 2 已知 设函数 a2xa x xxfln 1 e xxxg 1 ln 若在上存在 使 成立 求实数取值范围 1 e 21 xx 1 xf 2 xga 变式训练 2 已知函数 x x xg ln axxgxf 1 求函数的单调区间 xg 2 若函数在 上是减函数 求实数的最小值 xf1 a 3 若存在 使得 成立 求实数取值范围 2 21 eexx 1 xfaxf 2 a 类型 三 若若 恒成立恒成立 2211 DxDx 21 xgxf min2min1 xgxf 基本思想是 基本思想是 函数的任一函数值大于的某些函数值 xf xg 但并不要求大于所有的函数值 xg 故只需即可 几何解释如图三 min2min1 xgxf 例 3 已知函数 若对 使得 x xxf 2 2 mxg x 2 1 11 21 21 xx 高二数学选修 2 2 导数中的双变量任意 存在恒成立问题 3 成立 求实数取值范围 1 xf 2 xgm 变式训练 3 已知函数在取得极值 2 Rnm nx mx xf 1 x2 1 求的解析式 xf 2 设函数 若对 使得 x a xxg ln 1 11 21 exx 2 xg 成立 求实数的取值范围 2 7 1 xfa 类型 四 若若 恒成立恒成立 2211 DxDx 21 xgxf max2max1 xgxf 基本思想是 基本思想是 函数的某些函数值大于的任一函数值 xf xg 只要求有函数值大于的函数值即可 xf xg 故只需即可 几何解释如图三 max2max1 xgxf 例 4 已知函数 若且 对 对xaxxfln 22 2 xxxga1 1 1 ex 使得 使得成立 成立 求实数的取值范围 10 2 x 21 xgxf a 变式训练 4 已知函数 设 设 x xxf 2 ln xxxfxgln62 4 2 mxxxh 高二数学选修 2 2 导数中的双变量任意 存在恒成立问题 4 若若 对 对 总有 总有 成立 求实数的取值范围 10 1 x 21 2 x 1 xg 2 xhm 例 4 解析 因为 易得 又22 2 xxxg 1 0 x2 0 max gxg 易知在 1 e 上单调递减 xaxxfln x axf 1 x f 若 则 在 1 e 上单调递增 1 1 a e axf a e 1 x f 0 xf 解得 若 在 1 上单调1 max aeefxf2a e 1 e a 1 1 xf a 1 递