高中数学好题速递400题（351—400）

好题速递 351 题 对任意实数 不等式恒成立 则实数的最大值为 1 1 2 xy 22 22 4 1 211 xy ayax a 解 令10 210mxny 则 22 2222 114212144 8 211 mnxymmnnmn yxnmnmnm 当且仅当 即时取得等号 1mn 2 1xy 故 即 22 2 min 4 8 211 xy a yx 2 22 2a 点评 点评 本题因为分母比较复杂不整洁 所以将分母进行换元是常见的方法 好题速递 352 题 若向量满足 则的最大值为 a b 22 41aa bb A2ab 解 由极化恒等变形得 22 22 2282ababab 22 228ababa b A 故 2222 2222 1 28 abababab 即 22 5 23 2 1 88 abab 即 2 2 3 2 88 2 555 ab ab 故 2 10 2 5 ab 好题速递 353 题 已知函数 且 对恒成立 则 2 0f xaxbxc a ab 0f x x R 的最小值为 24abc M ba 解法一 齐次化思想解法一 齐次化思想 根据条件有 则0 0a 12 bc aa 因此 44 33 24 22 1 21 cc abc aa b bac a a 令 则 1 2 c t a 2 24434 24218 2121 abct t batt 解法二 解法二 由题意可知 即 2 40bac 2 4acb 222 22 2424242a abcabcaabacaabb M baa baabaaba 此时已经转成齐次式了 所以分子分母同除 2 a 则 222 2 2214 148 11 aabbtt Mt abatt 当且仅当及时 即时取得 3 b t a 2 4acb 9 3 4 a ba c 解法三 解法三 根据条件有 则0 0a 2 4 b c a 故 2 2 24 b ab abc a baba 令得 0bat t 2 2 4 48 b ab abcta a babaat 当且仅当及时取得最小值 即时取得 2ta 2 4 b c a 9 3 4 a ba c 解法四 解法四 令 得 代入 24 0 abc t t ba 2 4 t baba c 2 40bac 得 222 2 8 1 2 1 2 2 22 ababab t a ba aba aba 解法五 待定系数法解法五 待定系数法 假设 化简为 24abc t ba 1240t at bc 又 2 4440 x axbc 故比对系数得 得 2 41 42xtxt 3 8 2 xt 因为 所以 3 0 2 f 93 0248 42 abcabcba 因为 所以ba 24 8 abc ba 好题速递 354 题 空间四点满足 则的值为 A B C D2AB 3BC 4CD 7DA AC BD A 解 222222 22 AC BDDCDA BDDC DBDA DB DCDBBCDADBAB AAAA 22 2222 4372 19 22 DBDB 点评 点评 这里用到了向量点积的余弦定理形式 即 222 cos 2 ACABBC AB ACABACA A 好题速递 355 题 已知圆 直线 在圆上 在直线 上 满足 22 4O xy 1 0M l xyb POQl 则的最大值为 0MP MQ AMPMQ b 解 设 所以 Q x bx 1 0M 1 MQxbx 因为 0MP MQ AMPMQ 故知就是绕着顺时针或逆时针旋转得到MP M90 所以或 1MPbxx 1MPbx x 即或 1 1P bxx 1 1Pbx x 在圆上 P 22 4O xy 所以或 22 114bxx 22 114bxx 即或 22 224220 xbxbb 22 22220 xbxbb 两个方程中有一个有解即可 所以 2 22 1 24822082 22 2bbbbb 或 2 22 1 2822044022 222 2bbbbbb 综上 2 222 2b A B C D 2 3 4 7 好题速递 356 题 已知实数满足关系式 则的最小值是 x y1xyxy 22 xy 解法一 解法一 题干中出现的全是两数的和 平方和与乘积 所以考虑用均值不等式链条 222 22 21223xyxyxyxyxyxy 由或 222 41461032 2xyxyxyxyxyxyxy 32 2xy 所以 2 2 22 2332 22364 2xyxy 点评 点评 这里注意因为题干中没有告诉我们的正负性 所以不能直接用 x y 来求的取值范围 所以改为用重要不等式来来做 虽然12xyxyxy xy 22 2abab 答案正好一样 但做法要注意 解法二 解法二 遇到结构 所以用代数的极化恒等式变形 xy 令 则问题转变为已知 求的最小值 xab yab 22 210aba 22 2 ab 因为 222 2442abaa 所以还需要计算定义域 即 22 2101212baaaor a 所以 2 min 4421264 2aaf 解法三 解法三 设 则视为的两根 1xya xya x y 2 10zaza 所以 2 440aa 所以或22 2a 22 2a 22 222 2221364 2xyxyxyaaa 当且仅当时取得最小值 22 2a 好题速递 357 题 已知点为圆与圆的公共点 圆 圆P 1 O 2 O 2 22 1 1Oxaybb 若 则点与直线上任意 2 22 2 1Oxcydd 8ac ac bd P 34250lxy 一点之间的距离的最小值为 M 解 设 则 P m n 1ac bdk bak dck 所以 即 2 222 1mankak a 222 2210amkn amn 同理 222 2210cmkn cmn 所以是方程的两个实根 a c 222 2210 xmkn xmn 所以 22 18acmn 所以点的轨迹方程为P 22 9xy 所以点到直线的最短距离为P 34250lxy min 532PM 好题速递 358 题 已知向量满足 则的取值范围是 a b 23ab 22ab a b A 解 一 几何角度解 一 几何角度 由和可以画图 找到向量模长的几何意义 223abab 1 2 b a 解法一 基底法解法一 基底法 因为2a bOA OBOA OD AAA 因为三者都未知 属于一问三不 cosOA ODAOD 知问题 所以考虑转基底做 那么题目中哪些向量适合做基底呢 显然两个 AC AD 向量长度已知 适合做基底 这里夹角未知是应该的 不然整个图就确定下来 就不会是求最小值了 所以由三点共线 且 可知 C O D4COOD 14 55 AOACAD 所以 141 22 555 a bOA ODACADCD AAA 2 4 25 ACADACAD 22828 94359cos 252525 25 AC AD A 解法二 解三角形解法二 解三角形 设 4 ODx OCx OAy AOD 则在与中运用余弦定理得AOD AOC 22 22 168cos9 2cos1 xyxy xyxy 解得 2 8 2cos3 5 a bxyx A 又在中 利用三角形两边之和大于等于第三边得 即ACD 3 143 1xx 24 55 x 所以 2 8828 2cos3 525 25 a bxyx A 二 代数角度 二 代数角度 解法三 换元思想解法三 换元思想 令 则反解得 且2abu 2abv 2 5 uv a 2 5 uv b 3 2uv 所以 22183 2 3cos8828 552525 25 uvuv a b AA 这个做法本质上其实就是转基底 只是不是从几何图形出发 采用换元法 解法四 平方角度解法四 平方角度 我们常说 向量的模长一次想几何 二次想代数运算 所以本题的两个条件也可以平方 即 22 22 449 444 aa bb aa bb A A O A B C D b a 2b 3 1 O A B C D b a 2b 3 1 这里将解得三者视为整体 那么就属于 三个字母 两个方程 少一个 求取值三个字母 两个方程 少一个 求取值 22 a b a b A 范围 合情合理 范围 合情合理 的问题 所以用要求的表示得a b A 22 a b 2 2 720 15 3220 15 a b a a b b A A 所以由题干知 223 26abab 即 22 2326aa bb A 即 7203220 2326 1515 a ba b a b AA A 即1255090a b A 所以901255090a b A 故 828 2525 a b A 解法五 解法五 在解法四的基础上 也可解得 22 22 449 444 aa bb aa bb A A 237 420 a ba A 所以要求的最小值 只需要求的最小值即可a b Aa 这里用代数中的三角不等式 来解决 ababab 由 即 所以3424234abab 157a 1 5 a 所以 2378 42025 a ba A 好题速递 359 题 2015 天津文科第天津文科第 14 题 题 已知函数 若函数在 sincos0 f xxxx R f x 区间内单调递增 且函数的图像关于直线对称 则的值为 f xx 解 由在区间内单调递增 且函数的图像关于直线对称 可得 f x f xx 且 得2 22 sincos2f 2 sin1 4 所以 得 2 42 2 好题速递 360 题 若椭圆过椭圆中心的直线交椭圆于两点 是椭圆右焦点 则 22 22 10 xy ab ab A B 2 F 的周长的最小值为 的面积的最大值为 2 ABF 2 ABF 解 连接 则由椭圆的中心对称性可得 11 AF BF 2 2212 222 ABF CAFBFABAFAFABaABab 21 2 1 2 2 ABFAF F SSc bbc 好题速递 361 题 2015 湖北理科第湖北理科第 10 题 题 设 表示不超过的最大整数 若存在实数 使得x R xxt 同时成立 则正整数的最大值是 1t 2 2 t n tn n 解 由得 1t 12t 由得 2 2 t 2 23t 由得 所以 4 4 t 4 45t 2 25t 由得 所以 3 3t 3 34t 5 64 5t 由得与矛盾 故正整数的最大值是 4 5 5 t 5 56t 5 64 5t n 好题速递 362 题 过点的直线 交圆于点 为坐标原点 若在线段上 1 1M l 2 2 11Cxy A BOAB 的满足 则 Q 112 MAMBMQ min OQ 解 设 直线 11 A x y 22 B xy Q m n 11l yk x 则 2 1 11MAkx 2 2 11MBkx 2 11MQkm 由得 112 MAMBMQ 12 112 111xxm 由得 2 2 11 11 xy yk x 2 222 122210kxkkxk 所以 2 12 2 222 1 kk xx k 2 12 2 1 1 k x x k 所以 4 2 1 k m 所以 4 211 1 nm m 整理得点满足的轨迹方程为 Q m n210mn 所以 min 15 55 OQ 好题速递 363 题 如图 已知点为的边上一点 为边上一列点 DABC BC3BDDC n En NAC 满足 其中数列满足 则的通项 1 1 32 4 nnnnn E AaE BaE D n a0 n a 1 1a n a 公式为 解 由可得3BDDC 13 44 nnn E DE BE C 又 且 1 1 32 4 nnnnn E AaE BaE D nn E CE A 故 1 131 32 444 nnnnnn E DE BaE BaE D 即 1 313 132 4164 n nnn a E BaE D 因为不共线 故 nn E B E D 1 31 0 416 3 1320 4 n n a a 两式相除消去得 又 所以 1 32 nn aa 1 1a 1 2 31 n n a 好题速递 364 题 若点在圆 上运动 点在轴上运动 则对定点而言 AC 22 1 2 4xy By 3 2 P 的最小值为 PAPB 解法解法 1 设 则 11 A x y 2 0 By 112 6 4 PAPBxyy 若设 则由题意可得 即 点在以 rPAPB 222 112 6 4 xyyr A 为圆心 以为半径的圆 上 2 6 4 Dy rD 222 2 6 4 xyyr 由圆与圆有公共点可得 从而 CDA 22 2 2 6 1 6 5rCDy 3r 解法解法 2 设 则 11 A x y 2 0 By 112 6 4 PAPBxyy 从而 222 11211 6 4 6 63PAPBxyyxx 解法解法 3 由点在圆上可设 AC 12cos 22sin A 0 Bt 则 2cos5 2sin6 PAPBt 故 222 2cos5 2sin6 2cos5 52cos3PAPBt 解法解法 4 设为的中点 则 过作QAB2PAPBPQ P Q A 轴的垂线 垂足分别为 y P Q A 由于 13 22 PPPQQQPQAAPQ 因此 即 33 22 PQPP 2 3PAPBPQ 解法解法 5 设为点关于点的对称点 BBP 则 PAPBPAPBB A 由于点在直线上 点在圆 上可 B6x AC 22 1 2 4xy 得 523B A y x B P C O A B y x A Q P Q P C O A B 解法解法 6 同解法 5 设为点关于点的对称点 则 AAP PAPBPBPAA B 由于点在圆 上 点在轴上可得 A C 22 5 6 4xy By 523A B 好题速递 365 题 设实数满足 则的取值范围为 x y 20 250 20 xy xy y 11 2 u xy 解 可行域如图所示 1 2A 4 2B 3 1C 所以14 12xy 设点是可行域内一动点 P x y 目标函数既是关于的减函数 又是关于的减 11 2 u xy xy 函数 所以当点与点重合时 此时取得最大值 4 PCx 同时取得最大值 2 此时取得最小值为yu 111 42 22 对于每一个固定的的值 要使取得最大值 应使取得最小值 即点应位于线段yuxP 上 此时AB 5212xyy 11115 2522252 u y xyyyyy 12y 所以 此时与点重合 max 5 4 uy 1 2PA 综上所述 15 24 u 好题速递 366 题 已知点是双曲线右支上两个不同的动点 为坐标原点 则的最 A B 22 1 22 xy OOA OB A 小值为 解法一 韦达定理解法一 韦达定理 当存在时 设 AB k AB lykxb 22 222 1 1220 22 xy kxkbxb ykxb 2 1212 22 22 11 kbb xxx x kk 22 121212121212 1OA OBx xy yx xkxbkxbkx xkb xxb A 2222 22 2222 22224 122 1111 bk bk kb kkkk 当不存在是 则 AB k 22 2xy xm 22 1212 22OA OBx xy ymm A 综上 2OA OB A 解法二 解法二 由于两点运动 故采取 一定一动 的原则 不妨先在点确定的情况下 让点运 A BBA 动到最小值 然后再让点运动 即取最小值的最小值 B 如图 不妨设直线 0OB ykx k 由 可得 22 1 22 xy ykx 2 2 2 1 B x k 2 2 2 2 1 B k y k 故 2 2 222 21 22 111 k k OB kkk 显然点运动到 在点处的双曲线的切线 即 与AAAC 垂直时 此时在上的投影达到最小值OBOA OB 此时切线的方程为AC 2 2 10 xkyk 故在上的投影等于点到直线的距离为OA OB OAC 2 2 2 1 1 k k 故 22 22 2 121 2 11 kk OA OBOCOB kk A 解法三 解法三 设 1122 A x yB xy 222222 12121212121212 22 1212121212 2224 442 OA OBx xy yx xxxx xx xxx x xx xx xx xx x A 又因为 所以 1 2x 2 2x 12 2x x 所以 1212 22OA OBx xx x A 解法四 解法四 设 1122 A x yB xy 22 11 2xy 22 22 2xy 两式相乘得 2222 1122 4xyxy 即 22222222 12121212 4x xy yx yx y 等式两边同时加上 得 1212 2x x y y 22 12121212 44x xy yx yy x 故 1212 2OA OBx xy y A 解法五 三角换元解法五 三角换元 设 2sec 2 tanA 2sec 2 tanB 所以 22sinsin1sinsin 2 coscoscoscoscoscos OA OB A 22 22 1sinsin1sinsin1sinsin1sinsin 24442 coscoscoscos22sinsin2sinsin OA OB A 解法六 解法六 前同解法五 令 则 1sinsin coscos y coscossinsin1y 故 222 cossincos1y 故 222 cossin1y 即 222 cossin1y 故 又因为 所以 2 1y 0y 1y 22OA OBy A 好题速递 367 题 设关于的方程和的实根分别为和 若x 2 10 xax 2 20 xxa 12 x x 34 x x 则的取值范围是 1324 xxxx a 解 2 1 10 xaxax x 2 2 20 2 xx xxaa 在同一个坐标系中画出和的 1 yx x 2 2 xx y 图象如图所示 由 化简得 2 1 2 xx x x 32 320 xx 显然有根 故可因式分解为1x 322 1331220 xxxxx 解得或或1x 13x 13x 当时 当时 13x 33 2 y 13x 33 2 y 由图可知 33 0 2 a 好题速递 368 题 设 关于的方程的四个实根构成以为公比的等比 a b Rx 22 110 xaxxbx q 数列 若 则的取值范围是 1 2 3 q ab 解 设等比数列为 从而有 23 m mq mqmq 23 1m q 由题意知 32232 2 11 11abmmqmqmqm qqqqq qq 2 11 2qq qq 令 故在上单调递增 故 110 2 3 qt q 2 2abtt 10 2 3 t 112 4 9 ab 好题速递 369 题 已知是椭圆与双曲线的公共焦点 是它们的一个公共点 且 则椭圆 12 F FP 12 3 FPF 和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 解法一 解法一 设椭圆的半长轴长 半短轴长 离心率为 双曲线的半长轴长 半短轴长 111 a b e 离心率为 共同的半焦距为 222 a b ec 则 则 121 122 2 2 PFPFa PFPFa 112 212 PFaa PFaa 在中应用余弦定理得 12 PFF 22 2 1212 1212 41 22 aaaac aaaa 化简得 即 问题要求的取值范围 222 12 34aac 22 12 13 4 ee 12 11 ee 设 则 12 112 2cos sin 3ee 12 11244 3 2cossin4sin 333ee 解法二 解法二 1 12 1212 211PFaa eecFF 在中运用正弦定理得 12 PFF 1 21 21 121212 22sin1144 3 sin sin33 PFPF F PF F eeFFFPF 当且仅当时取得等号 21 90PF F 好题速递 370 题 已知函数 且 集合 则 2 f xaxbxc abc 0abc 0Am f m A 都有 B 都有mA 30f m mA 30f m C 使得 D 使得 0 mA 0 30f m 0 mA 0 30f m 解 有题干条件可知 0 0 10acf 于是函数是开口向上的二次函数 由和知一个零点为 2 f xaxbxc 00f 10f 1 另一个零点 0 1x 结合选项知问题就是研究两个零点间的距离与 3 的大小关系 即与的大小关系 0 x2 因为 24230fabcab 故画出大致图象知两个零点间的距离小于 3 故 A 选项正确 好题速递 371 题 若正数满足 则的最小值为 a b21ab 222 ab ab 解法一 解法一 分母复杂时采取换元 令 则问题变为已知 求的最小值 22 2ambn 3mn 22 2 mn mn 2212312312322 21 22323323332 mnmnnm mnmnmnmn 当且仅当 即 时取得等号 2nm 1 4 a 1 2 b 解法二 解法二 齐次化 11 24 2222 222 2224 21 ababab ba ababaabbabab ab 记 视为线段上的点与坐标原点连线的斜率 b k a 210 0abab 0 b k a 2 2 2 22 111234 4 322242108 1 21087474 1 21082108 kkk y kkkkk k kkkk kkkk 设 744kt 2 2 2 49 11 28167048 4944 2108 77 4949492 21 111 144 2541443224 254 254 tt y ttttt t tt t t 反思 反思 这个解法计算量很大 主要是题目设计的数据不好 但齐次化思想还是清晰的 好题速递 372 题 在中 边上的高与边的长相等 则的最大值为 ABC ABAB 2 ACBCAB BCACBC AC 解 由得 11 sin 22 ABC SabCc c 2 sinabCc 则 22222222 22cosACBCABACBCABbaccabC BCACBC ACBC ACabab 2sin2cos 2sin2cos2 2sin2 2 4 abCabC CCC ab 当且仅当时 取得等号 4 C 同类题 同类题 在中 边上的高与边的长相等 则的取值范围是 ABC BCBC bc cb 解 则 11 sin 22 ABC SbcAa a 2 sin a A bc 由余弦定理有 2222 cos bcabca A bccbbc 所以 2cossin5sin5 bc AAA cb 又 故2 bc cb 2 5 bc cb 好题速递 373 题 若沿着三条中位线折起后能够拼接成一个三棱锥 则称这样的为 和谐三角ABC ABC 形 设的三个内角分别 则下列条件中能够确定为 和谐三角形 的有 ABC A B C 7 20 25A B C sin sin sin7 20 25ABC cos cos cos7 20 25ABC tan tan tan7 20 25ABC 解 本题是三角形翻折问题 主要考查了一个结论 三棱锥任意一个顶角引出的三条棱 两两构成三个角 这三个角 三面角 有一个结论 任意两个的和都大于第三个 先证明如下 如图所示作面 作 则AO PBCCOPC 作 则 ACPC BOPB ABPB 因为 cos cos PCPC APCOPC PAPO PAPO 所以 coscosAPCOPC APCOPC 同理APBOPB 所以APCAPBOPBOPCBPC 即三面角中的两个之和大于第三个 回到这道题目 形成的三棱锥的顶角的三面角恰好是原的三个内角 又三面角中的ABC 两个之和大于第三个 故这个为锐角三角形 ABC 故检验四个条件 易知 这三个条件构成锐角三角形 好题速递 374 题 P A B C O 已知关于的方程有且只有一个实根 则实数的取值范围是 x 322 210 xaxaxa a 解 看到本题时是不是第一反应就是三次函数求导做呢 这确实是一个办法 这里再从方 程的根其实就是函数的交点的角度 给出一个更妙的解法 既可以看成是关于的三次函数 也可以视为关于的二次函数 322 210 xaxaxa xa 即转换主元得 223 210axx ax 则 22 232 2412xxxx 所以 即或 22 22 2 xxx a 1ax 2 1axx 因为已经有一个根 1ax 1xa 所以没有实数根 即 2 10 xxa 0 解得 14 10a 3 4 a 点评 点评 这种转换主元和方程根与函数交点互换的思想 在好题速递 367 286 等题目中都有 涉及 好题速递 375 题 已知是非零向量 则与的夹角为 a b 2aba 2bab a b 解法一 几何法解法一 几何法 如图作 OAa OBb 则都是直角三角形 OANOBM 是的中线 故ABOAN 2 ON ABOB 是的中线 故ABOBM 2 OM ABOA 所以是正三角形 所以与的夹角为OAB a b 60 解法二 代数法解法二 代数法 2 2202abaab aaa b AA 2 2202babba bba b AA 故 且 故与的夹角为ab 1 cos 2 a b a b A A a b 60 好题速递 376 题 设函数 若关于的方程有且仅有三个不同的实数根 3 f xxaa a x Rx 2f x 且它们成等差数列 则实数的取值构成的集合是 a 解 33 22xaaxaa xx 方程的根有且仅有三个 即左右两个函数的交点有且仅有三个 故考查函数与的图象 1 2 x xa yxaa ax xa 2 3 2y x 这里要注意的图象虽然随着的变化在移动 但是有规律的移动 V 型图 1 yxaa a 的尖底是沿着移动的 而的图象是确定不变的 a ayx 2 3 2y x 由解得 3 22ax x 2 1 122xaaa 2 2 122xaaa 由解得 3 2x x 3 1x 4 3x 故画出图象只有两种情况 两个交点在第三象限 一个在第一象限 此时 或三个交0a 点都在第一象限 此时 0a 即 如左图 或 如右图 1 31 2x 12 32xx 即 2 9 1225 5 aaaa 或 22 122321222aaaaaa 22 53 33 3224810340 8 aaaaaa 又因为此时 故舍去0a 53 33 8 a 综上 9 53 33 58 a 好题速递 377 题 已知锐角的内角 点为三角形外接圆的圆心 若 则ABC 3 A OOAxOByOC 的取值范围是 2xy 解法一 解法一 这是典型的求平面向量基本定理系数和问题 常用 作三点共线 的办法来解决 由 得 不妨如图固定三点 因为 3 A 2 3 BOC O B C 是锐角三角形 所以点在上运动 取的中点ABC A A DCOB 为 B 2 OAxOByOCxOBy OC 这样就构造出了系数和2xy 作直线与直线交于 于是作出了三点共线 OA B CE B C E 2 OEOAx OByOC 因为三点共线 所以 21xy 即 此处的由同向反向决定 1 2 OA xy OE 显然 当点位于时 当点位于时 AD min22xy A C max21xy 综上 22 1xy 解法二 解法二 由 得 不妨如图固定三点 因为是锐角三角 3 A 2 3 BOC O B CABC 形 所以点在上运动 A A DC 设圆半径为 1 建立坐标系 则 O 1 0OB 13 22 OC 5 cos sin 3 OA 由得 OAxOByOC cos 2 3 sin 2 y x y 所以 22cos2 1xy 解法三 解法三 由 两边同时点积得OAxOByOC OB 2 OA OBxOByOC OB AA 即 2 22 cos 2 r rAOBr xy 所以22cosxyAOB 因为是锐角三角形 所以 所以ABC 3 AOB 22 1xy 好题速递 378 题 已知实数 且 则实数的取值范围是 abc 1abc 2 abcc c 解 因为 可将视为关于的方程的1abc 2 abcc a bx 22 10 xcxcc 两个大于的根c 故 2 2 22 1 1 3 2 11 14010 33 10 2 0 3 c c c ccccc ccccc cc 或 点评 点评 本题是韦达定理的逆用和方程根的分布问题 好题速递 379 题 已知中 点为三角形外接圆的圆心 若 ABC 4AB O AOxAByAC x y R 且 则面积的最大值为 21xy ABC 解 取中点为 则ACD 2 AOxAByAD x y R 又 所以三点共线21xy O B D 又因为为弦心距 所以ODODAC 故 所以4ABBC 1 sin8sin8 2 ABC SAB BCBB 当且仅当时取得等号 2 B 好题速递 380 题 若函数是上的单调函数 且对任意的实数都有 则 f xRx 21 213 x ff x 2 log 3f 解 由是上的单调函数得存在唯一实数 使得 f xRt 1 3 f t 于是 即 2 21 x f xt 2 21 x f xt 又 因为关于 单调递增 且 21 213 t f tt 2 21 t g tt t 1 1 3 g 所以必有 即1t 2 1 21 x f x 故 2 1 log 3 2 f 点评 点评 本题的同类题有好题速递 318 题 好题速递 381 题 已知圆 点在直线上运动 若圆上存在两点 使得 2 2 24Cxy P 1l yx C A B 成立 则点运动的轨迹长度为 0PA PB AP 解 090PA PBAPB A 对于圆外一定点 当都和圆相切时 最大P PA PBCAPB 当时 四边形构成正方形 此时90APB PACB 2 2PC 所以点在圆内运动 点又在直线P 2 2 28xy P 上运动 故点的轨迹就是在圆 1l yx P 1l yx 内部分 可求得其长度为 2 2 28xy 14 好题速递 382 题 已知函数是定义在上的奇函数 当时 若集 f xR0 x 1 23 2 f xxaxaa 合 则实数的取值范围是 10 x f xf xx Ra 解 两个一次绝对值之和的图象是平底锅 且 00f 当时 显然符合题意0a f xx 当时 画出图象如图所示 等价于函数0a 10 x f xf xx R 的图象任何一点都不能在图象的上方 而的图象是将 1yf x yf x 1yf x 图象向右平移一个单位得到的 yf x 故 即 综上得61a 1 0 6 a 1 6 a 好题速递 383 题 已知函数 其中 若有实数使得且 2 326f xxa xa 0a b 0f b 同时成立 则实数的取值范围是 2 10f b a 解 因为 开口向上 且 2 32623f xxa xaxax 0f b 2 10f b 且 所以满足或 2 1bb 2 213abb 2 312bba 因为是存在实数 故或b max 2 22 b a 2 min 1 5 2 b a 好题速递 384 题 已知实数满足 则的最小值是 mn 2 2 1 5 m n 22 22 11mnmn 解 222 2 110 554 mmn nn 要求的目标式可以视为点上半个椭圆上的 22 22 11mnmn 22 10 54 mn n 点到点和到的距离之和 P m n 0 1A 1 0B 注意到点恰好是椭圆的右焦点 设左焦点为 1 0B 22 10 54 mn n 1 0F 所以2 5PBPF 2 52 52 52PAPBPAPFAF 当且仅当点三点共线时取得等号 此时点是直线与椭圆在第一象限内的交点 P A FPAF 点评 点评 本题中出现平方加平方的式子 就要联想几何中的两点间距离 解析几何中遇到曲线上的一个点到一个焦点的距离出现时 不妨马上连结辅助线 P 1 F 2 PF 求双变量代数式的最值问题 常见的转化方式有 通过代换转化为一元函数求最值问题 转化为均值不等式求最值 转化为线性规划求最值 转化为数形结合求最值 好题速递 385 题 已知函数 若关于的不等式恰好有一个整 2 2 2 0 2 0 xx x f x xx x x 2 2 0fxafxb 数解 则实数的取值范围是 a 解 画出的图象如图所示 f x 当时 得或 0f x 0 x 2x 此时化为 2 2 0fxafxb 2 0b 若 则此时有两解或 违背题意 0b 0 x 2x 故0b 此时 0f xf xa 若 则关于的不等式恰有一个整数解 0a x 0afx 结合图象可知 可得 33 48 af af 38a 若 则关于的不等式恰有一个整数解 0a x 0fxa 结合图象可知 可得 11 13 af af 31a 综上 或31a 38a 好题速递 386 题 在正方形中 分别是边上的两个动点 且 则ABCD2AB M N BC CD2MN 的取值范围是 AM AN A 解 因为为定值 所以优先考虑使用极化恒等式2MN 设为的中点 则PMN 2 22 1 42 MN AM ANAPAP A 这来关键就要找到点的运动轨迹 注意到为直角三角PMNC 形 是斜边上的中线等于斜边的一半 即 CP 2 22 MN CP 故点在以为圆心 为半径的圆弧上运动PC 2 2 1 4 A FEG 故 即AEAPAG 2 917 2 2 22 AP 所以4 82 2AM AN A 好题速递 387 题 在中 分别表示角所对的边长 为边上的高 若 ABC a b c A B CADBCADBC 则的最大值是 b c 解法一 解法一 不妨设 则 1c 2 1BDa 2 22222 1121baaaaaa 这里求的最大值有技巧 我们注意到式子中有出现 因此考虑使用三角换元 设 2 b 2 1a cos 0 2 a 则 22 cos213535 1cos2sincos1sin2sin 2 22222 b 所以 3551 22 b b c 解法二 建系设点解法二 建系设点 不妨设 0 0B 1 0C 1A x 则 2 2 2 11 12 1 1 1 x bx cx x 要使最大 显然时更大 b c 120 x b c 则 1151 11 1251 251 44 122 22 b x c x 解法三 解法三 设 则 BDm CDn 2 2222 cmbnmn 即 222222 22 22bmmnn cmmnn 所以 222 222 22 22 bmmnn cmmnn 显然是齐次化了 所以令 0 m t n 则 2 22 2222 133 221 22151 222 22122122212 tttt btt ctttttt 解法四 解法四 22 1 sin 22sin ABC aa SbcAb cA A B C D 所以 222 22 2cos sinsin babcbcA ccAcA 令 则 即 b t c 2 12 cos sin ttA t A 2 1 sin2cos5sin5 t AAA t 解得 2 1 5 t t 5151 22 t 点评 点评 这道解三角形的问题 无论是建系还是平面几何 最终都将目标转化为函数求值域 的问题求解 因此求取值范围问题转函数求值域还是主流思想 好题速递 388 题 已知双曲线的左右焦点分别为 为坐标原点 为双曲 22 22 10 0 xy Cab ab 12 F FOP 线在第一象限上的点 直线分别交双曲线左 右支于另一点 若 2 PO PFC M N 且 则双曲线的离心率为 12 2PFPF 2 60MF N 解 由和 得 12 2PFPF 12 22PFPFa 12 4 2PFa PFa 如图 由对称性可知四边形是平行四边形 故 12 PFMF 12 PFF M 又因为 所以 2 60MF N 12 60FPF 所以在 由余弦定理可得 即 12 FPF 22 3ca 3e 好题速递 389 题 已知函数 其中为常数 若实数 sincoscos 262 xx f xAx A 0 满足 则的值为 123 x xx 123 xxx 32 2xx 123 f xf xf x 解 31 cos sinsincoscoscossin 22222 xxx f xAxAx 31 cos sinsincoscos1sin 44 133 cossinsincos 444 AxAxxx AxAx 一般情况下 此函数可以合二为一为最小正周期是的周期函数 同时满足条件 和 2 时 必有 与 矛盾 32 2xxT 所以只有一种特殊情况可以同时满足三个条件 即两个系数都为 0 即 解得 13 cos0 sin0 44 AA 12 23 A 好题速递 390 题 已知向量 定义 其中 若 的ab 2ab 1cab 01 1 2 1 2 c c Ac 取值范围是 解法一 解法一 按条件 ab 2ab 可如图作出 1 2 aOA bOB cOC 此时为圆的直径 ABC 由且 可知在上的投影为 1 2 1 2 c c A 1 2 1c c 1 2 c 1 2 即的终点落在的中垂线上 图中虚线 c DOC 又因为由知 的终点共线 又由于 所以的终 1cab ca b A B D01 c 点在之间DAB 故当运动到时 为临界状态 此时取得最大为 1 当运动到时 此时取得BEc BOc 最小为 1 2 解法二 解法二 如图作矩形 ABCD 1 2 2 aAB bACcAD cAM 12cos2AMABACAM ADAMMADAM AA 所以 1 2 AM 22 1cosAM ADAMAMMDAMMA MDAMMA MDAMD AAAA 因为 所以 90 180AMD cos0AMD 所以 即 22 1cosAMMA MDAMDAM A1AM 解法三 解法三 如图建系设点 cos sinA 0 0M t 1 1t 由 1AMABAC A 得 cos sin2cos 2sin1t A 所以 所以 1 1 1 2cos t 11 coscos 22 or 即 2 1 cos1 4 2 22 2 2 2 cossin 111 cossin 1 2cos4cos2 AMt 好题速递 391