高三数学教案

平面向量及其线性运算平面向量及其线性运算 教学内容 教学内容 平面向量及其线性运算 2 课时 教学目标 教学目标 理解平面向量的概念 向量的几何表示及向量相等的含义 掌握平面向量的线 性 运算 向量加法 减法 数乘 的性质及其几何意义 理解平面向量共线的条件 和平面向量的基本定理 教学重点 教学重点 平面向量的线性运算 教学难点 教学难点 用基底表示平面内的向量 教学用具 教学用具 三角板 教学设计 教学设计 一 知识要点一 知识要点 1 平面向量的有关概念 1 向量 既有大小又有方向的量 向量的基本要素 大小和方向 2 向量的表示 几何表示法 用有向线段来表示向量 有向线段的长度表示向量的大小 箭头所指的 方向表示向量的方向 字母表示 或 aAB 3 向量的长度 模 即向量的大小 记作或 a AB 4 特殊的向量 零向量 单位向量 为单位向量 0 0 aaa 1 a 5 相等的向量 大小相等 方向相同的向量 6 相反向量 ba ab 0 ba 7 平行 共线 向量 方向相同或相反的向量 称为平行 共线 向量 记作 ab 2 向量的线性运算 运算运算法则运算性质 向量加法 是一个向量 ba 平行四边形法则 三角形法则 ACBCAB abba abcabc 向量减法 是一个向量 ba 三角形法则 ABOAOB abab ABBA 数乘向量 是一个向量 a 满足 aa 时 同向 0 aa 与 时 异向 0 aa 与 时 0 0a aa aaa abab 3 重要定理 公式 1 平面向量基本定理 如果 是同一平面内两个不共线的向量 那么 对于这个平 1 e 2 e 面内任一向量 有且仅有一对实数 使 其中不共线的向量 a 1 2 2211 eea 1 e 2 e 称为基底 2 向量共线定理 向量与向量共线的充要条件是有且仅有一个实数 使得 ba ab 即 ab 0 aab 二 典型例示二 典型例示 例 1 判断下列命题是否正确 零向量没有方向 两个向量当且仅当它们的起点相同 终点也相同时才相等 单位向量都相等 在平行四边形中 一定有 ABCDDCAB 若 则 若 则 ba cb ca abbcac 的充要条件是且 向量就是有向线段 ba ba abABAB 若 则直线 直线 两相等向量若共起点 则终点也相同 ABCDABCD 解 只有 三个命题正确 如 不正确 是因为有向线段仅仅是向量的直观 体 现 我们可以用有向线段来表示向量 但向量可以用不同的有向线段表示 只ABABAB 要 这些有向线段的长度相等方向相同即可 因此向量与有向线段是有区别的 注 注 正确理解向量的有关概念是作出正确判断的前提 例 2 1 化简下列各式 CABCAB BCCDAB CMBCMBAD CDOCOA AMADMB 2 若是的中点 则 BAC ABAC ABCA ACBA 注 注 正确运用向量的运算法则和运算律进行化简 尤其要注意差向量起点和终点的选 择 例 3 已知 则等于 ABAD 3 2 ACAE 3 2 DE A B C D CB 3 1 CB 3 1 CB 3 2 CB 3 2 注 注 逆用向量的运算法则 体现逆向思维 例 4 设 判断下列命题的真假 1 若 aAB bBC cCA 0 cba 则 三个向量可构成 2 若三个向量可构成 则 并由此回答下ABC ABC 0 cba 列 问题 若命题甲为 命题乙为三个向量可构成 则命题甲是命题乙的什0 cbaABC 么条件 注 注 注意向量运算的几何意义 体现数形结合思想 例 5 如图 梯形中 且 分别是和的中ABCDABCDCDAB2 MNCDAB 点 设 试用 表示和 aAB bAD abBCMN 解 ABADABDCADBABC 2 1 abABAD 2 1 2 1 abABADDCADBADNADMAMN 4 1 4 1 2 1 2 1 注 注 关键在于确定一条从所求向量起点到终点的路径 然后再借助于向量的运算逐步转 化成用基底表示 三 课堂练习三 课堂练习 1 已知分别是的边上的中线 且 则为 AD BE ABC BC AC ADa BEb BC N M DC BA A B C D 42 33 ab 24 33 ab 22 33 ab 22 33 ab 2 已知 则是三点构成三角形的 ABa BCb CAc 0abc A B C A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 3 对平面内任意的四点 A B C D 则 ABBCCDDA 4 化简 1 ABBCCD 2 ABADDC 3 ABCDACBD 5 判断下列命题是否正确 1 若 则 ab ab 2 两个向量相等的充要条件是它们的起点相同 终点相同 3 若 则是平行四边形 ABDC ABCD 4 若是平行四边形 则 ABCDABDC 5 若 则 ab bc ac 6 若 则 ab bc ac 6 若 与的方向相反 则 3 a5 bba ab 四 课堂小结四 课堂小结 五 课外作业五 课外作业 1 下面给出四个命题 对于实数 m 和向量 恒有 a b m abmamb 对于实数 m n 和向量 恒有a mn amana 若 0 mamb mR mab 则 若 则 m n 其中正确的命题个数是 0 mana a A 1B 2C 3D 4 2 在平行四边形中 若 则必有 ABCDABADABAD A B C 是矩形 D 是正方形0AD 00ABAD 或ABCDABCD 3 下列命题中 正确的是 A 若 则 B 若 则 C 若 则 D 若 则ab ab ab ab ab ab 1a 1a 4 下列说法中错误的是 A 向量的长度与向量的长度相等 AB BA B 任一非零向量都可以平行移动 C 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 D 两个有共同起点而且相等的向量 其终点必相同 5 分别是的边的中点 且给出下列命题 D E FABC BC CA AB BCa CAb 1 2 ADab 1 2 BEab 11 22 CFab 0ADBECF 其中正确的序号是 6 若 则 11 2 3 0 32 xabcxb x 7 两列火车 先各从一站台沿相反方向开出 走了相同的路程 这两列火车位移的和是 8 如图 是以向量为边的平行四边形 又 OADB OAa OBb