2017全国卷1理科数学试题和答案

1 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 全国年普通高等学校招生全国统一考试 全国 I 卷 卷 理科数学 注意事项 1 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 2 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑 如需 改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 3 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 已知集合 则 131 x Ax xBx A B 0 ABx x AB R C D 1 ABx x AB 答案 A 2 如图 正方形内的图形来自中国古代的太极图 正方形内切圆中的黑色部分和白 ABCD 色部分位于正方形的中心成中心对称 在正方形内随机取一点 则此点取自黑色部分 的概率是 A B C D 1 4 8 1 2 4 答案 B 3 设有下面四个命题 若复数满足 则 1 p z 1 z R z R 若复数满足 则 2 p z 2 z Rz R 若复数满足 则 3 p 12 zz 12 z z R 12 zz 若复数 则 4 p z Rz R A B C D 13 pp 14 pp 23 pp 24 pp 答案 B 解析 2 4 记为等差数列的前项和 若 则的公差为 n S n a n 456 2448aaS n a A 1B 2C 4D 8 答案 C 5 函数在单调递减 且为奇函数 若 则满足 f x 11f 的的取值范围是 121f x x A B C D 22 1 1 04 13 答案 D 6 展开式中的系数为 6 2 1 11x x 2 x A B C D 15203035 答案 C 7 某多面体的三视图如图所示 其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成 正方形的边长为 俯视图为等腰直角三角形 该多面体的各个面中有若干是梯形 2 这些梯形的面积之和为 A B C D 10121416 答案 B 8 右面程序框图是为了求出满足的最小偶数 那么在和两 321000 nn n 个空白框中 可以分别填入 3 A 和B 和 1000A 1nn 1000A 2nn C 和D 和 1000A 1nn 1000A 2nn 答案 D 答案 因为要求大于 1000 时输出 且框图中在 否 时输出 A 中不能输入A 1000 排除 A B 又要求为偶数 且初始值为 0 nn 中依次加 2 可保证其为偶 n 故选 D 9 已知曲线 则下面结论正确的是 1 cosCyx 2 2 sin 2 3 Cyx A 把上各点的横坐标伸长到原来的倍 纵坐标不变 再把得到的曲线向右平移 1 C 2 个单位长度 得到曲线 62 C B 把上各点的横坐标伸长到原来的倍 纵坐标不变 再把得到的曲线向左平移 1 C 2 个单位长度 得到曲线 122 C C 把上各点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 再把得到的曲线向右平移 1 C 1 2 个单位长度 得到曲线 62 C D 把上各点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 再把得到的曲线向左平移 1 C 2 个单位长度 得到曲线 122 C 答案 D 解析 10 已知为抛物线 的交点 过作两条互相垂直 直线与交于 FC 2 4yx F1 l 2 l 1 l CA 两点 直线与交于 两点 的最小值为 B2 l CDE ABDE A B C D 16141210 答案 A A B C D 235xyz 523zxy 352yzx 325yxz 答案 D 答案 取对数 ln2ln3ln5xy ln33 ln22 x y 2 3xy ln2ln5xz 则 ln55 ln22 x z 故选 D 25xz 3 25yxz 4 11 几位大学生响应国家的创业号召 开发了一款应用软件 为激发大家学习数学的兴趣 他们推出了 解数学题获取软件激活码 的活动 这款软件的激活码为下面数学问题 的答案 已知数列 其中第一项 1 1 2 1 2 4 1 2 4 8 1 2 4 8 16 是 接下来的两项是 在接下来的三项式 依次类推 求满足 0 2 0 2 1 2 6 2 1 2 2 2 如下条件的最小整数 且该数列的前项和为的整数幂 那么该款软件 N100N N2 的激活码是 A B C D 440330220110 答案 A 解析 设首项为第 1 组 接下来两项为第 2 组 再接下来三项为第 3 组 以此类 推 设第组的项数为 则组的项数和为 nnn 1 2 nn 由题 令 且 即出现在第 13 组之后 100N 1 100 2 nn 14n n NN 第组的和为 n 12 21 12 n n 组总共的和为 n 2 12 22 12 n n nn 若要使前项和为 2 的整数幂 则项的和应与互为相反 N 1 2 nn N 21 k 2n 数 即 21214 k n kn N 2 log3kn 295nk 则 29129 5440 2 N 故选 A 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 12 已知向量 的夹角为 则 a b 60 2a 1b 2ab 答案 2 3 解析 2 22 2 2 2 22cos602ababaabb 22 1 22222 2 444 12 2122 3ab 13 设 满足约束条件 则的最小值为 x y 21 21 0 xy xy xy 32zxy 5 答案 5 不等式组表示的平面区域如图所示 21 21 0 xy xy xy y x 2x y 1 0 x 2y 1 0 1 C B A 由得 32zxy 3 22 z yx 求的最小值 即求直线的纵截距的最大值 z 3 22 z yx 当直线过图中点时 纵截距最大 3 22 z yx A 由解得点坐标为 此时 21 21 xy xy A 1 1 3 1 2 15z 14 已知双曲线 的右顶点为 以为圆心 为半径作圆 22 22 xy C ab 0a 0b AAb 圆与双曲线的一条渐近线交于 两点 若 则的离心率 AACMN60MAN C 为 答案 2 3 3 解析 如图 OAa ANAMb 60MAN 3 2 APb 22 22 3 4 OPOAPAab 22 3 2 tan 3 4 b AP OP ab 6 又 解得 tan b a 22 3 2 3 4 b b a ab 22 3ab 2 2 12 3 11 33 b e a 15 如图 圆形纸片的圆心为 半径为 该纸片上的等边三角形的中心为 O 5cm ABCO 为元上的点 分别是一 为底 DEFODBC ECA FAB BCCAAB 边的等腰三角形 沿虚线剪开后 分别以 为折痕折起 BCCAABDBC 使得 重合 得到三棱锥 当的边长变化时 所 ECA FAB DEF ABC 得三棱锥体积 单位 的最大值为 3 cm 答案 4 15 解析 由题 连接 交与点 由题 ODBCGODBC 即的长度与的长度或成正比 3 6 OGBC OGBC 设 则 OGx 2 3BCx 5DGx 三棱锥的高 222 25102510hDGOGxxxx 2 1 2 3 33 3 2 ABC Sxx 则 2 1 32510 3 ABC VShxx 45 32510 xx 令 45 2510f xxx 5 0 2 x 34 10050fxxx 令 即 0fx 43 20 xx 2x 则 280f xf 则 38045V 体积最大值为 3 4 15cm 7 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考 题 每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 60 分 16 的内角 的对边分别为 已知的面积为 ABC ABC abcABC 2 3sin a A 1 求 sinsinBC 2 若 求的周长 6coscos1BC 3a ABC 解析 本题主要考查三角函数及其变换 正弦定理 余弦定理等基础知识的综合应 用 1 面积 且 ABC 2 3sin a S A 1 sin 2 SbcA 2 1 sin 3sin2 a bcA A 22 3 sin 2 abcA 由正弦定理得 22 3 sinsinsinsin 2 ABCA 由得 sin0A 2 sinsin 3 BC 2 由 1 得 2 sinsin 3 BC 1 coscos 6 BC ABC 1 coscos cossinsinC coscos 2 ABCBCBBC 又 0 A 60A 3 sin 2 A 1 cos 2 A 由余弦定理得 222 9abcbc 由正弦定理得 sin sin a bB A sin sin a cC A 2 2 sinsin8 sin a bcBC A 由 得 33bc 即周长为 333abc ABC 333 17 12 分 如图 在四棱锥中 中 且 PABCD ABCD 90BAPCDP 8 1 证明 平面平面 PAB PAD 2 若 求二面角的余弦值 PAPDABDC 90APD APBC 解析 1 证明 90BAPCDP PAAB PDCD 又 ABCD PDAB 又 平面 PDPAP PDPA PAD 平面 又平面 AB PADAB PAB 平面平面 PAB PAD 2 取中点 中点 连接 ADOBCEPOOE AB CD 四边形为平行四边形 ABCD OE AB 由 1 知 平面 AB PAD 平面 又 平面 OE PADPOAD PAD OEPO OEAD 又 PAPD POAD 两两垂直 POOEAD 以为坐标原点 建立如图所示的空间直角坐标系 O Oxyz 设 2PA 0 02D 220B 002P 2 02C 022PD 222PB 2 2 0 0BC 设为平面的法向量 nxyz PBC 由 得 0 0 n PB n BC 2220 2 20 xyz x 令 则 可得平面的一个法向量 1y 2z 0 x PBC 012n 90APD PDPA 又知平面 平面 AB PADPD PAD 又 PDAB PAABA 平面 PD PAB 即是平面的一个法向量 PD PAB 022PD 23 cos 32 3 PD n PDn PDn 由图知二面角为钝角 所以它的余弦值为 APBC 3 3 18 12 分 为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程 实验员每天从该生产线上随机抽取 16 个 零件 并测量其尺寸 单位 根据长期生产经验 可以认为这条生产线正常状 cm 态下生产的零件的尺寸服从正态分布 2 N 9 1 假设生产状态正常 记表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 X 之外的零件数 求及的数学期望 33 1P X X 2 一天内抽检零件中 如果出现了尺寸在之外的零件 就认为这 33 条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况 需对当天的生产过程进行检查 I 试说明上述监控生产过程方法的合理性 II 下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸 9 9510 129 969 9610 019 929 9810 04 10 269 9110 13 10 029 2210 04 10 059 95 经计算得 其中为 16 1 9 97 i i xx 1616 2 22 11 11 160 212 1616 ii ii sxxxx i x 抽取的第 个零件的尺寸 i 1216i 用样本平均数作为的估计值 用样本标准差 作为的估计值 利用估计 x s 值判断是否需对当天的生产过程进行检查 剔除之外的数据 用剩 33 下的数据估计和 精确到 0 01 附 若随机变量服从正态分布 则 Z 2 N 330 997 4PZ 16 0 997 40 9592 0 0080 09 解析 1 由题可知尺寸落在之内的概率为 落在 33 0 9974 之外的概率为 33 0 0026 0 016 16 0C10 99740 99740 9592P X 11010 95920 0408P XP X 由题可知 160 0026XB 160 00260 0416E X 2 i 尺寸落在之外的概率为 33 0 0026 由正态分布知尺寸落在之外为小概率事件 33 因此上述监控生产过程的方法合理 ii 39 973 0 2129 334 39 973 0 21210 606 339 33410 606 需对当天的生产过程检查 9 229 33410 606 因此剔除9 22 剔除数据之后 9 97 169 22 10 02 15 22222 2 22222 22222 9 9510 0210 1210 029 9610 029 9610 0210 01 10 02 9 9210 029 9810 0210 0410 0210 2610 029 91 10 02 1 10 13 10 0210 0210 0210 0410 0210 0510 029 9510 02 15 0 0 08 0 0080 09 10 19 12 分 已知椭圆 四点 C 22 22 1 xy ab 0ab 1 1 1P 2 01P 3 3 1 2 P 中恰有三点在椭圆上 4 3 1 2 P C 1 求的方程 C 2 设直线 不经过点且与相交于 两点 若直线与直线的斜率的 l2 P CAB2 P A 2 P B 和为 证明 过定点 1 l 解析 1 根据椭圆对称性 必过 3 P 4 P 又横坐标为 1 椭圆必不过 所以过三点 4 P 1 P 234 PPP 将代入椭圆方程得 23 3 011 2 PP 解得 2 22 1 1 3 1 4 1 b ab 2 4a 2 1b 椭圆的方程为 C 2 2 1 4 x y 2 当斜率不存在时 设 AA l xmA myB my 22 112 1 AA P AP B yy kk mmm 得 此时 过椭圆右顶点 不存在两个交点 故不满足 2m l 当斜率存在时 设 1lykxb b 1122 A xyB xy 联立 整理得 22 440 ykxb xy 222 148440kxkbxb 12 2 8 14 kb xx k 2 12 2 44 14 b xx k 则 22 12 12 11 P AP B yy kk xx 212121 12 xkxbxxkxbx x x 22 2 2 2 8888 14 44 14 kbkkbkb k b k 又 81 1 411 k b bb 1b 此时 存在 使得成立 21bk 64k k0 直线 的方程为 l 21ykxk 当时 2x 1y 所以 过定点 l 21 11 20 12 分 已知函数 2 e2 e xx f xaax 1 讨论的单调性 f x 2 若有两个零点 求的取值范围 f x a 解析 1 由于 2 e2 e xx f xaax 故 2 2 e2 e1e12e1 xxxx fxaaa 当时 从而恒成立 0a e10 x a 2e10 x 0fx 在上单调递减 f x R 当时 令 从而 得 0a 0fx e10 x a lnxa lna lna 综上 当时 在上单调递减 0a f x R 当时 在上单调递减 在上单调递增 0a f x ln a ln a 2 由 1 知 当时 在上单调减 故在上至多一个零点 不满足条件 0a f x R f x R 当时 0a min 1 ln1lnffaa a 令 1 1lng aa a 令 则 从而在上单调 1 1ln0g aa a a 2 11 0ga aa g a 0 增 而 故当时 当时 当时 10g 01a 0g a 1a 0g a 1a 0g a 若 则 故恒成立 从而无零点 1a min 1 1ln0fag a a 0fx f x 不满足条件 若 则 故仅有一个实根 不满足 1a min 1 1ln0fa a 0fx ln0 xa 条件 若 则 注意 01a min 1 1ln0fa a 到 ln0a 2 2 110 eee aa f 故在上有一个实根 而又 f x 1lna 31 ln1lnlna aa 且 33 ln1ln1 33 ln 1 ee2ln1 aa faa aa 3333 132ln11ln10aa aaaa 12 故在上有一个实根 f x 3 lnln1a a 又在上单调减 在单调增 故在上至多两 f x lna lna f x R 个实根 又在及上均至少有一个实数根 故在 f x 1lna 3 lnln1a a f x 上恰有两个实根 R 综上 01a 二 选考题 共 10 分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的 第一题计