第六章杆件的应力应变分析.ppt

建筑力学 第六章杆件的应力应变分析 主要内容 应力与应变的概念 轴向拉伸 压缩 杆的应力与应变 材料拉伸和压缩时的力学性能 材料强度的确定及轴向受力构件的强度条件 梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 应力状态与强度理论 A 10mm2 A 100mm2 10KN 10KN 100KN 100KN 哪个杆先破坏 应力的概念 工程构件 大多数情形下 内力并非均匀分布 集度的定义不仅准确而且重要 因为 破坏 或 失效 往往从内力集度最大处开始 上述说法并不准确 应力就是单位面积上的内力 应力的量纲和单位 应力的量纲为 力 长度 2 应力的单位为Pa 帕 1Pa 1N m2 在工程实际中常采用的单位 kPa MPa和GPa 1kPa 1 103Pa 1Pa 1N m2 1MPa 1N mm2 1 106Pa 1GPa 1 109Pa 103MPa 第一节应力与应变的概念 一 应力 应力是受力构件某一截面上一点处的内力集度 密集程度 如粗杆与细杆 都承受拉力P 但P增加时 显然是细杆先断裂 说明内力大小不足以反映构件的强度 平均应力 当面积收缩到B点时 B点的应力为 单位 Pa N m2 MPa KN mm2 与截面垂直的法向分量 T 与截面相切的切向分量 应力的特征 1 应力是在受力物体的某一截面某一点处的定义 因此 讨论应力必须明确是在哪个截面上的哪一点处 2 在某一截面上一点处的应力是矢量 3 整个截面上各点处的应力与微面积dA之乘积的合成 即为该截面上的内力 第一节应力与应变的概念 二 应变 1 线应变 2 角应变 第一节应力与应变的概念 直角的改变量称角应变 用 表示 若杆件是非均匀伸长的 则X方向的变形比率集度为 长度增量或构件的变形单元未产生变形之前的原长 一 轴向拉 压 的概念 第二节轴向拉伸 压缩 杆的应力与应变 受力特点 外力或其合力的作用线沿杆轴 变形特点 主要变形为轴向伸长或缩短 压杆 拉杆 工程实例 桥梁 第二节轴向拉伸 压缩 杆的应力与应变 工程实例 第二节轴向拉伸 压缩 杆的应力与应变 工程实例 第二节轴向拉伸 压缩 杆的应力与应变 二 轴力与轴力图 1 轴力 轴力值 截面一侧所有外力的代数和 外力P与截面外法线方向相反产生正轴力 反之为负 2 轴力图 N 第二节轴向拉伸 压缩 杆的应力与应变 解 N图 kN 第二节轴向拉伸 压缩 杆的应力与应变 三 轴向拉 压 杆横截面上的应力 橡胶杆的拉伸试验 现象 纵向线伸长 横向线缩短 但是仍直线 假设 平面假设 直杆在轴向拉压时横截面仍保持为平面 推论 轴向拉 压 杆件横截面上的正应力均匀分布 的符号规定 拉应力为正 压应力为负 第二节轴向拉伸 压缩 杆的应力与应变 正应力计算公式的适用条件 1 外力 或其合力 必须通过横截面形心 沿杆件轴线作用 2 在平面假设成立的前提下 不论材料在弹性还是弹塑性范围均适用 3 尽管公式在等直杆条件下推出 但可近似推广到锥度 200的变截面直杆 4 根据 圣文南原理 除加力点附近及杆件面积突然变化处不能应用外 应力集中区以外的横截面上仍能应用 5 横截面必须是由同一种材料组成而不能是由两种或两种以上的材料组成 第二节轴向拉伸 压缩 杆的应力与应变 第二节轴向拉伸 压缩 杆的应力与应变 应力集中 由杆件截面骤然变化而引起的局部应力骤增的现象 第二节轴向拉伸 压缩 杆的应力与应变 例3 2 图示一钢木支架 BC杆由截面边长a 10cm的木方制成 AB杆为d 25mm的圆钢 承受G 50kN的荷载 试计算两杆的应力 2 应力计算 第二节轴向拉伸 压缩 杆的应力与应变 解 1 计算各段轴力 2 应力计算 第二节轴向拉伸 压缩 杆的应力与应变 四 轴向拉 压 杆斜截面上的应力 1 当时 横截面 2 当时 斜截面 3 当时 纵向截面 结论 轴向拉压杆件的最大正应力发生在杆的横截面上 0 极值最大的剪应力发生在与杆轴线成450角的斜截面上 且最大剪应力是最大正应力的一半 第二节轴向拉伸 压缩 杆的应力与应变 第二节轴向拉伸 压缩 杆的应力与应变 符号规则 a角 从x轴逆时针转至斜截面的外法线方向为正 反之为负 正应力 拉为正 压为负 剪应力 剪应力绕所研究部分顺时针转为正 反之为负 1 纵 横 向变形 纵向变形 横向变形 正负号规定 伸长为正 缩短为负 2 线应变 五 轴向拉 压 杆的变形 第二节轴向拉伸 压缩 杆的应力与应变 3 泊松比 一般在0 1 0 5之间 4 虎克定律 第二节轴向拉伸 压缩 杆的应力与应变 E 弹性模量 是材料本身的特性 例3 5 图示一钢制阶梯杆 各段横截面面积AAB ACD 300mm2 ABC 200mm2 钢的弹性模量E 200GPa 试求杆的总变形 解 1 求轴力 2 求变形 第二节轴向拉伸 压缩 杆的应力与应变 材料在外力作用下 在强度和变形方面所表现出来的特性 材料的力学性能 第三节材料在拉伸和压缩时的力学性能 一 拉伸 压缩试验的试件 试验条件和设备 1 试件的制备 拉伸试件 圆形截面试件 矩形截面试件 圆形截面试件 正方形截面试件 第三节材料在拉伸和压缩时的力学性能 2 试验条件和设备 试验条件 常温 静载 试验设备 液压式万能试验机 电子万能试验机 第三节材料在拉伸和压缩时的力学性能 二 低碳钢拉伸时的力学性能 第三节材料在拉伸和压缩时的力学性能 拉伸图 应力应变图 第I阶段ob 弹性阶段 比例极限 弹性极限 第II阶段bc 屈服阶段 屈服极限 第 阶段ce 强化阶段 强度极限 第 阶段ef 局部变形阶段 第三节材料在拉伸和压缩时的力学性能 强度指标与塑性指标 断面收缩率 屈服极限 强度极限 延伸率 对于Q235钢 20 30 60 左右 通常工程上 大于等于5 者称为塑材 小于5 者称为脆材 第三节材料在拉伸和压缩时的力学性能 3 冷作硬化现象 材料的比例极限增高 塑性变形降低 称之为冷作硬化或加工硬化 第三节材料在拉伸和压缩时的力学性能 三 其他塑性材料拉伸时的力学性能 第三节材料在拉伸和压缩时的力学性能 铸铁拉伸时的力学性能与钢的区别 碳 硅含量高 硫 磷杂质多 第三节材料在拉伸和压缩时的力学性能 1 应力 应变关系微弯曲线 没有直线阶段 2 没有屈服阶段和 颈缩 现象 只有一个强度指标 b 强度极限 3 拉断时应力 变形较小 4 关系近似服从胡克定律 并以割线的斜率作为弹性模量 铁碳合金 与拉伸时相同 四 材料压缩时的力学性能 1 低碳钢压缩时的力学性能 2 低碳钢压缩 愈压愈扁 无法得到压缩的强度极限 第三节材料在拉伸和压缩时的力学性能 2 铸铁压缩时的力学性能 第三节材料在拉伸和压缩时的力学性能 sby sbL 铸铁抗压性能远远大于抗拉性能 断裂面为与轴向大致成45o 55o的滑移面破坏 塑性材料的主要特点 塑性指标较高 抗拉断和承受冲击击能力较好 其强度指标主要是屈服极限 并且拉 压具有相同值 如低碳钢 脆性材料的主要特点是 塑性指标很低 抗拉能力远远低于抗压能力 其强度指标只有强度极限 如铸铁 第三节材料在拉伸和压缩时的力学性能 二 轴向受力构件的强度条件 根据强度条件可以解决工程上三种不同类型的强度问题 强度校核 2 截面设计 3 确定承载能力 第四节材料强度的确定及轴向受力构件的强度条件 第四节材料强度的确定及轴向受力构件的强度条件 例3 6 已知一钢木构架如图所示 AB为木杆 BC为钢制圆杆 受荷载P 60kN AB杆横截面面积A1 10000mm2 BC杆横截面面积A2 600mm2 木材的强度设计值为fd1 12MPa 钢材的强度设计值为fd2 215MPa 校核各杆的强度 解 1 计算各杆的轴力 2 强度校核 各杆强度足够 第四节材料强度的确定及轴向受力构件的强度条件 例3 7 某三铰屋架的主要尺寸如图所示 它所承受的竖向均布荷载沿水平方向的集度为q 5kN m 设计值 试设计屋架中的钢拉杆 拉杆为Q235圆钢 解 1 计算支座反力 第四节材料强度的确定及轴向受力构件的强度条件 2 计算AB杆的轴力 3 确定拉杆截面面积 实际选用 一 弯曲正应力 受力特点 变形特点 在包含杆轴线的纵向平面内 承受垂直于杆轴线的横向力或外力偶的作用 杆件的轴线将由直线变成曲线 梁 以弯曲为主要变形的杆件 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 弯曲的概念 工程实例 桥梁 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 吊车梁 工程实例 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 火车轮轴 工程实例 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 平面弯曲 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 平面弯曲 梁的挠曲线与载荷作用面共面 纵向对称面 通过梁轴线和截面对称轴的平面 2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 纯弯曲 V 0 M 常量 横力弯曲 V 0 M 常量 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 1 几何方面 矩形截面等直梁的弯曲试验 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 1 纵向线aa和bb变成了相互平行的圆弧线 且aa缩短 bb伸长 现象 2 横向线mm和nn仍为直线 但相对转了一个角度 且处处与弯曲后的纵向线垂直 3 断面上宽 下窄 上半部分受压 下半部分受拉 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 假设 1 平面假设 2 纵向纤维单向受力假设 横截面在变形后仍为平面 且垂直梁轴 纵向纤维之间无挤压 各条纤维发生了简单的拉伸或压缩 满足 E 中间一层纤维长度不变 中性层 中间层与横截面的交线 中性轴 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 该式说明 和y成正比 而与z无关 求距中性层距离为y任一层的应变 y 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 2 物理方面 以及中性轴的位置 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 3 静力平衡方面 这就确定了中性轴的位置 即过形心与y轴垂直 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 该式自动满足 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 EIz称为弯曲刚度 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 拉应力为正 压应力为负 正应力的正负号判别 称为弯曲截面系数 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 横力弯曲时梁横截面上的正应力 l h 5 正应力公式的适用条件 1 平面弯曲 2 纯弯曲或l h 5的横力弯曲 3 应力小于比例极限的等截面直梁 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 横力弯曲时 梁中各点处于平面应力状态 用纯弯曲正应力公式仍可满足工程精度的要求 梁各横截面的弯矩是截面位置的函数 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 例3 8 图所示为一矩形截面简支梁 全梁上受均布截荷作用 试计算跨中截面上a b c d e各点处的正应力 并求梁的最大正应力 解 1 作M图 2 计算正应力 二 弯曲剪应力 对h b的矩形截面梁剪应力的分布 作两点假设 剪应力与剪力平行 距中性轴等距离处 剪应力相等 1 矩形截面梁 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 式中 V 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 2 工字形截面梁 腹板上的剪应力 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 3 圆形截面梁和圆环形截面梁 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 4 全梁最大剪应力 统一表达式 矩形截面 圆形截面 环形截面 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 例3 9 图示一矩形截面简支梁 全梁上受均布截荷作用 试计算支座附近截面上b c两点处的剪应力 q 3 5kN m l 3m Iz 58 32 106mm4 V 5 25kN 解 1 求支座反力 3 计算剪应力 120 45 67 5 364 5 103mm3 2 作剪力图 三 梁的正应力 剪应力强度条件 强度条件 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 梁的正应力强度条件 根椐强度条件 可解决工程中常见的下列三类问题 1 强度校核 2 设计截面尺寸 3 确定梁的许可荷载 梁的剪应力强度条件 根椐剪应力强度条件 可解决工程中常见的下列三类问题 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 需要校核剪应力的几种特殊情况 铆接或焊接的组合截面 其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时 要校核剪应力 梁的跨度较短 M较小 而V较大时 要校核剪应力 各向异性材料 如木材 的抗剪能力较差 要校核剪应力 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 例3 10 试计算图示简支梁矩形截面木梁平放与竖入时的最大正应力 并加以比较 解 求最大弯矩 竖放时 3 平放时 竖放时的最大应力是平放的 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 例3 11 图示简支梁由两个20b号槽钢组成 已知梁上受四个集中载荷作用 P1 132kN P2 30kN P3 40kN P4 12kN 钢的抗弯强度的设计值f 215MPa 抗剪强度设计值fv 125MPa 试校核梁的强度 解 计算支座反力 Vmax 148kNMmax 65 6kN m 2 作剪力图和弯矩图 RA 148kNRB 66kN 3 校核正应力强度 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 4 校核剪应力强度 梁的强度足够 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 解 计算支座反力 Vmax 2 5kNMmax 1 33kN m 2 作剪力图和弯矩图 RA 4kNRB 2kN 例3 12 矩形截面木梁如图所示 已知截面高宽比为b h 2 3 木材的抗弯强度的设计值f 10MPa 抗剪强度设计值fv 2MPa 试选择截面尺寸 第五节梁的弯曲应力 梁的正应力 剪应力强度条件 3 按正应力强度条件选择截面尺寸 4 校核剪应力强度 剪应力强度足够 故截面尺寸h 110mm b 75mm 第六节应力状态与强度理论 1 应力状态的概念 1 单元体 截面上的应力均匀分布 相互平行的截面上的应力相等 2 一点处的应力状态 原始单元体 各侧面上应力均已知 通过构件内一点不同方位截面上应力的情况 一 应力状态 例题 第六节应力状态与强度理论 主平面 一点处剪应力等于零的截面 主应力 主平面上的正应力 1 2 3 3 应力状态的分类 平面应力状态 空间应力状态 简单应力状态 复杂应力状态 单向应力状态 二向应力状态 三向应力状态 二 平面应力状态下的主应力计算 1 斜截面上的应力 符号规则 a角 从x轴正方向反时针转至斜截面的外法线方向为正 反之为负 正应力 拉为正 压为负 剪应力 剪应力绕所研究部分顺时针转为正 反之为负 例题 已知 x y x y x 求 第六节应力状态与强度理论 第六节应力状态与强度理论 2 主应力和最大剪应力 第六节应力状态与强度理论 三 梁的主应力 第六节应力状态与强度理论 第六节应力状态与强度理论 第六节应力状态与强度理论 例3 13 工字钢梁 No20a 受力及尺寸如图所示 试计算C点以左截面上b点的主应力数值和主平面位置 第六节应力状态与强度理论 解 作剪力图和弯矩图 第六节应力状态与强度理论 四 强度理论 第六节应力状态与强度理论 强度条件 1 最大拉应力理论 第一强度理论 使材料发生断裂破坏的主要因素是最大主拉应力 1 只要