鸡兔同笼问题新解

鸡兔同笼鸡兔同笼 问题新解问题新解 丹江口市余家营小学丹江口市余家营小学 陈军陈军 鸡兔同笼鸡兔同笼 是我国古代数学的经典趣题 是我国古代数学的经典趣题 15001500 年前的年前的 孙子算经孙子算经 就就 有记载 有记载 今有雉兔同笼 上有三十五头 下有九十四足 问雉兔各几何 今有雉兔同笼 上有三十五头 下有九十四足 问雉兔各几何 鸡兔同笼鸡兔同笼 问题解法众多 常见的有列表法 画图法 假设法 抬 砍 问题解法众多 常见的有列表法 画图法 假设法 抬 砍 腿法 方程法 公式法等 这里向大家介绍一种比较少见的解法腿法 方程法 公式法等 这里向大家介绍一种比较少见的解法 图解法 图解法 分析解决鸡兔同笼问题 要同时考虑头数与脚数两个量的变化 我们可以分析解决鸡兔同笼问题 要同时考虑头数与脚数两个量的变化 我们可以 借助长方形 用长方形的长表示头数 用长方形的宽表示每只的脚数 用长方借助长方形 用长方形的长表示头数 用长方形的宽表示每只的脚数 用长方 形的面积表示脚数 再用组合图形的面积表示总脚数 利用长方形面积组合图形的面积表示脚数 再用组合图形的面积表示总脚数 利用长方形面积组合图 进行分析 形象直观 新颖别致 对发展学生思维 启发想象力很有裨益 具进行分析 形象直观 新颖别致 对发展学生思维 启发想象力很有裨益 具 体分析解答方法如下 体分析解答方法如下 AB 表示每只鸡的脚数 那么 AB 2 EF 表示每只兔的脚数 那么 EF 4 BC CE 分别表示鸡 兔的只数 那么 长方形 ABCD 的面积表示鸡的总脚数 长方形 CEFG 的面积表示兔的总脚数 故 长方形 ABCD 的面积 长方形 CEFG 的面积 94 只 解法一 解法一 延长 AD 交 EF 与 H 显然长方形 ABEH 的面积 BExAB 35x2 70 只 那么 长方形 DHFG 的面积 94 70 24 只 而 HF 4 2 2 只 故 DH 24 2 12 只 兔的只数 所以 BC 35 12 23 只 鸡的只数 解法二 解法二 延长 BA FG 交于 H 长方形 BEFH 的面积 BExEF 35x4 140 只 那么 长方形 ADGH 的面积 140 94 46 只 而 DG 4 2 2 只 故 AD 46 2 23 只 鸡的只数 所以 CE 35 23 12 只 兔的只数 上面的解题过程比较正规 适合于中学生以及老师使用 为了便于小学生 理解和使用 对 1 楼的解题过程进行了简化 解法一 解法一 长方形 的面积表示鸡的脚数 长方形 和 的面积表示兔的脚数 由题意可知长方形 的面积 94 只 而长方形 的面积 35 2 70 只 故长方形 的面积 94 70 24 只 因长方形 的宽 4 2 2 只 所以 长方形 的长 24 2 12 只 即 兔有 12 只 解法二 解法二 长方形 的面积表示鸡的脚数 长方形 的面积表示兔的脚数 由题意可知长方形 的面积 94 只 而长方形 的面积 35 4 140 只 故长方形 的面积 140 94 46 只 因长方形 的宽 4 2 2 只 所以 长方形 的长 46 2 23 只 即鸡有 23 只 鸡兔同笼鸡兔同笼 问题新解问题新解 图解法之运用一图解法之运用一 鸡兔同笼问题图解法 数与形结合 利用长方形面积图进行分析 新颖别鸡兔同笼问题图解法 数与形结合 利用长方形面积图进行分析 新颖别 致 形象直观 对突破学生思维障碍 帮助学生理解题意大有裨益 下面以人致 形象直观 对突破学生思维障碍 帮助学生理解题意大有裨益 下面以人 教版六年级数学上册第七单元数学广角的一个练习题进行分析 教版六年级数学上册第七单元数学广角的一个练习题进行分析 本题是知识抢答中的 鸡兔同笼 问题 如果用 假设法 解决 存在一个理解上的困难 那就是 答对一题与答 错一题之间 要相差1010 6 6 1616分 而不是1010 6 6 4 4分 由于思维定势的影响 大多学生存在理解障碍 所以在教学中 可以针对这个理解上的难点 采用图 解法来帮助学生理解 进而突破思维障碍 我们仅以第 1 小题为例进行分析 号选手共抢答 8 题 最后得分 64 分 他答对了几题 解法一 解法一 用长方形 的面积表示答对所得总分 用长方形 的面积表示答错所 扣总分 依题意可知长方形 的面积 6464 即长方形 的面积 长方形 的面积 6464 我们在等式的左右两边各加上长方形 的面积 可得到长方形 的面积 长方形 的面积 6464 而长方形 的面积 8 10 80 8 10 80 故长方形 的面积 80 80 6464 1616分 这个长方形的宽是1010 6 6 1616分 所以这个长方形的长 16 16 16 116 1 即答错 1 1 题 那么答对8 8 1 1 7 7题 解法二 解法二 用长方形 的面积表示答对所得总分 用长方形 的面积表示答错所扣 总分 依题意可知长方形 的面积 6464 即长方形 的面积 长方形 的面 积 6464 我们在等式的左右两边各加上长方形 的面积 可得到长方形 的 面积 长方形 的面积 64 64 而长方形 的面积 8 8 6 6 4848 故长方形 的面积 4848 6464 112112分 这个长方形的宽是1010 6 6 1616 所以这个长方形的长 112112 1616 7 7 即答对7 7题 鸡兔同笼鸡兔同笼 问题新解问题新解 图解法之运用二图解法之运用二 对于有三种动物的对于有三种动物的 鸡兔同笼鸡兔同笼 问题 不断增加了动物的数量 也将研究问题 不断增加了动物的数量 也将研究 的范围从的范围从 头头 和和 脚脚 扩大到扩大到 翅膀翅膀 难度大大增加 这类问题常规的解答 难度大大增加 这类问题常规的解答 方法是假设法 但由于学生推理能力以及思维能力的局限 学生理解起来很困方法是假设法 但由于学生推理能力以及思维能力的局限 学生理解起来很困 难 这个时候 我们可以采用难 这个时候 我们可以采用 数形结合数形结合 的方法 借助长方形面积图进行讲的方法 借助长方形面积图进行讲 解 形象而直观 下面 以学生常见的一道复杂的鸡兔同笼题为例 进行图解 解 形象而直观 下面 以学生常见的一道复杂的鸡兔同笼题为例 进行图解 蜘蛛有蜘蛛有 8 8 条腿 没有翅膀 蜻蜒有条腿 没有翅膀 蜻蜒有 6 6 条腿 条腿 2 2 对翅膀 蝉有对翅膀 蝉有 6 6 条腿 条腿 1 1 对翅对翅 膀 现在有一些蜻蜒 蜘蛛和蝉 已知它们的总数是膀 现在有一些蜻蜒 蜘蛛和蝉 已知它们的总数是 1818 只 共有只 共有 118118 条腿 条腿 2020 对翅膀 每种昆虫各有多少只呢 对翅膀 每种昆虫各有多少只呢 解法一 解法一 第一步 先求出蜘蛛有多少只 用长方形 和 的面积表示蜘蛛的总脚数 用长方形 的面积表示蝉的 总脚数 用长方形 的面积表示蜻蜓的总脚数 依题意可知长方形 的面积 118118 由图可知 长方形 的面积 18 6 108 18 6 108 故 长方形 的面积 118 118 118 118 10 10 而这个长方形的宽是8 8 6 6 2 2 所以这 个长方形的长 1010 2 2 5 5 即蜘蛛有5 5只 那么 蝉和蜻蜓共有 18 5 13 只 第二步 分别求出蝉和蜻蜓各有多少只 用长方形 和 的面积表示蜻蜓的总翅膀数 用长方形 的面积表示蝉 的总翅膀数 依题意可知长方形 的面积 2020 由图可知 长方形 的面积 13 1 13 13 1 13 故 长方形 的面积 20 13 20 13 7 7 而这个长方形的宽是3 3 2 2 1 1 所以这个长 方形的长 7 7 1 1 7 7 即蜻蜓有7 7只 那么 蝉有13 7 613 7 6只 故 蜘蛛有 5 只 蜻蜓有 7 只 蝉有 6 只 解法二解法二 第一步 先求出蝉和蜻蜓共有多少只 用长方形 的面积表示蜘蛛的总脚数 用长方形 的面积表示蝉的总脚 数 用长方形 的面积表示蜻蜓的总脚数 依题意可知长方形 的面积 118118 由图可知 长方形 的面积 18 8 144 18 8 144 故 长方形 的面积 144 118 144 118 26 26 而这个长方形的宽是8 8 6 6 2 2 所以这 个长方形的长 2626 2 2 1313 即蝉和蜻蜓共有1313只 那么蜘蛛有5 5只 第二步 分别求出蝉和蜻蜓各有多少只 用长方形 的面积表示蜻蜓的总翅膀数 用长方形 的面积表示蝉的总翅 膀数 依题意可知长方形 的面积 2020 由图可知 长方形 的面积 13 2 26 13 2 26 故 长方形 的面积 26 20 26 20 6 6 而这个长方形的宽是3 3 2 2 1 1 所以这个长 方形的长 6 6 1 1 6 6 即蝉有6 6只 那么 有蜻蜓13 6 713 6 7只 故 蜘蛛有 5 只 蜻蜓有 7 只 蝉有 6 只 鸡兔同笼鸡兔同笼 问题新解问题新解 图解法之运用三图解法之运用三 已知练习本每本 0 40 元 铅笔每支 0 32 元 老师让小虎买一些练习本和 铅笔 总价正好是老师所给的 10 元钱 但小虎把练习本的数量与铅笔的数量记 混了 结果找回来 0 56 元 那么老师原打算让小虎买几本练习本 这道题是我 2013 年 12 月 16 日发在数学教学论坛的一个帖子中的鸡兔同笼 问题求解与交流题 这道题既不是基本题型也不是变形题型 理解起来相当困 难 下面我用图解法进行分析与演示 解 第一步 求出练习本和铅笔的数量一共是多少 用长方形 的面积表示小虎应买练习本的钱数 长方形 的面积表示小虎 应买铅笔用的钱数 由题意可知长方形 的面积 10 见图一 用长方形 的面积表示小虎实买练习本的钱数 长方形 的面积表示小虎 实买铅笔用的钱数 由题意可知长方形 的面积 10 0 56 9 44 见图二 我们假设小虎买了两次 那么两次买文具的情况如下图 见图三 将图一 图二合并 由图可知 长方形 的面积 10 9 44 19 44 这个长方形的宽是 0 40 0 32 0 72 那么这个长方形的长则 19 44 0 72 27 即练习本和铅笔的 数量之和是 27 第二步 分别求出练习本和铅笔各有多少 第