概率论与数理统计-第五章二维随机变量及其分布.ppt

第五章二维随机变量及其分布 第一节二维随机变量及分布函数第二节二维离散型随机变量第三节二维连续型随机变量第四节边缘分布第五节随机变量的独立性 第一节二维随机变量及分布函数 1 二维随机变量的定义 定义1 1设E为一个随机试验 其样本空间 X X 和Y Y 是定义在 上的两个随机变量 则由它们构成的联合变量 X Y 称为二维随机变量或二维随机向量 例如 1 一发炮弹的弹着点横坐标X 与纵坐标Y 构成一个二维随机变量 X Y x y 2 某地区3岁儿童身高H 与体重W 构成一个二维随机变量 H W h w 3 某地区某日最低温度L 与最高温度H 构成一个二维随机变量 L H l h 4 一种产品的综合成本C 与收益R 组成一个二维随机变量 C R c r 定义1 2设 X Y 是定义在 上的二维随机变量 对于任意实数x y 二元函数F x y P X x Y y x y R称为二维随机变量 X Y 的分布函数 或称为随机变量X与Y的联合分布函数 2 二维随机变量的分布函数 其中P X x Y y P X x Y y 可视为随机点 X Y 落在下图所示的 以 x y 为顶点的位于该点左下方的无穷矩形域内的概率 F x y 3 二维随机变量的分布函数性质 性质1F x y 是变量x和y的不减函数 性质20 F x y 1 性质3F x y 关于变量x和y均是右连续的 性质4对于任意的x1 x2 y1 y2 下述不等式成立 注 满足上述性质1 4的二元函数可作为某个二维随机变量的分布函数 例1 1二元函数可否为某个二维随机变量的分布函数 不满足性质4 故F x y 不能作为分布函数 且F x y 不右连续 如 0 0 不满足性质3 例1 2设二维随机变量 X Y 的分布函数为求常数A B C 解 第二节二维离散型随机变量 1 二维离散型随机变量的定义 定义2 1若二维随机变量 X Y 的所有可能取值仅有有限或可列多对 即 X Y xi yj i j 1 2 则称 X Y 为二维离散型随机变量 例2 2一射手向一目标射击 击中目标的概率为p 0 p 1 射击到击中两次目标为止 设以X表示首次击中目标所进行的射击次数 以Y表示总共进行的射击次数 则 X Y 为二维离散型随机变量 其可能取值为 X Y m n m 1 2 n 1 n 2 3 例2 1抛掷两硬币一次 观察正反面出现的情况 令 2 二维离散型随机变量的分布律 分布律通常用表格表示为 如例2 1中 X Y 分布律为 例2 3一口袋中有四个球 其上分别标有1 2 2 3 从中任取一球后 不放回袋中 再从袋中任取一球 依次用X Y表示第一 二次取得的球上标有的数字 1 求 X Y 的分布律 2 求P X Y 解 先求 X Y 的分布律 X Y的可能取值为1 2 3 P X Y P X 1 Y 1 P X 2 Y 1 P X 2 Y 2 P X 3 Y 1 P X 3 Y 2 P X 3 Y 3 0 1 6 1 6 1 12 1 6 0 7 12 第三节二维连续型随机变量 1 二维连续型随机变量的定义 定义3 1如果二维随机变量 X Y 的分布函数F x y 存在一个非负可积的二元函数f x y 使对于任意实数x y 均有则称 X Y 为二维连续型随机变量 其中函数f x y 称为二维随机变量 X Y 的概率密度 或称为随机变量X和Y的联合概率密度 注1 由积分性质可知 连续型随机变量 X Y 的分布函数F x y 是关于x y的连续函数 注2 若 X Y 为连续型随机变量 则 X Y 取某一固定值 或某一固定直线上任意值的概率为0 因而 P X x Y y P X x Y y P X x Y y P X x Y y 例3 1若 X Y 的概率密度为试求 X Y 的分布函数 解 先将R2按 X Y 取值的边界x 0 x 1 y 0 y 1划分成5个区域 1 当x 0或y 0时 2 当0 x 1 0 y 1时 3 当0 x 1 y 1时 4 当x 1 0 y 1时 5 当x 1 y 1时 综述为 2 二维连续型随机变量的概率密度的性质 1 f x y 0 x y R 表明密度曲面Z f x y 在XOY面上方 表明介于曲面Z f x y 与XOY面之间的空间区域的体积为1 3 若f x y 在点 x y 处连续 则表明分布函数F x y 与密度函数f x y 可以相互确定 D 即随机点 X Y 落在平面区域D内的概率等于以D为底 以曲面Z f x y 为顶的曲顶柱体的体积 4 随机点 X Y 落在平面区域D内的概率为 例3 2已知随机变量X和Y的联合概率密度为试求 1 C的值 2 P X Y 3 常见二维连续分布 1 二维均匀分布 若 X Y 具有概率密度其中G为平面上某个区域 则称二维连续型随机变量 X Y 在区域G上服从二维均匀分布 例3 3设 X Y 服从G上的均匀分布 G x y 0 y x 0 x 1 求 1 f x y 2 P Y X2 2 二维正态分布 二维正态分布图 二维正态分布剖面图 第四节边缘分布 1 边缘分布函数 关于Y的边缘分布函数为 FY y P Y y P X Y y F y 已知 X Y 的分布函数F x y 则关于X的边缘分布函数为 FX x P X x P X x Y F x 例4 1设二维随机变量 X Y 的分布函数为求关于X 关于Y的边缘分布函数 解 2 边缘分布律 联合分布律及边缘分布律 例4 2一口袋中有四个球 其上分别标有1 2 2 3 从中任取一球后 不放回袋中 再从袋中任取一球 依次用X Y表示第一 二次取得的球上标有的数字 试求X Y的边缘分布律 解 由例2 3知 表中横行相加即得X的边缘分布律 表中纵行相加即得Y的边缘分布律 3 边缘概率密度 已知 X Y 的概率密度为f x y 其分布函数为F x y 则关于X的边缘分布函数为 故X的边缘概率密度为 故Y的边缘概率密度为 关于Y的边缘分布函数为 例4 3设二维随机变量 X Y 的密度函数为求关于X 关于Y的边缘密度函数 第五节随机变量的独立性 1 随机变量的相互独立性的定义 定义5 1设F x y 及FX x FY y 分别为二维随机变量 X Y 的分布函数及边缘分布函数 若对任意的实数x y 有P X x Y y P X x P Y y 即F x y FX x FY y 则称随机变量X与Y是相互独立的 2 离散型随机变量的独立性 定理5 1离散型随机变量X和Y相互独立的充要条件是它们的联合分布律等于二者边缘分布律的乘积 即 例5 1设离散型随机变量X和Y的联合分布律如下表 试问 为什么数值时X和Y才是相互独立的 解 由X和Y的联合分布律 可得X和Y的边缘分布律 所以 X的边缘分布律为 若一个随机变量的取值情况与另一个随机变量的取值情况毫无关系 互不影响 则一般认为二者相互独立 若随机变量的取值与随机试验相对应 因而由随机试验的独立性可以判断随机变量间的相互独立性 例5 2甲掷均匀硬币两次 记正面出现的次数为X 而乙掷均匀骰子一次 记出现的点数为Y 试问X与Y是否独立 解 因 甲掷硬币 与 乙掷骰子 这两个试验互不影响 所以这两个随机试验相互独立 由这两试验的相互独立 可知X与Y也相互独立 3 连续型随机变量的独立性 定理5 2连续型随机变量X和Y相互独立的充要条件是它们的联合概率密度f x y 等于边缘概率密度fX x 和fY y 的乘积 即f x y fX x fY y 例5 3已知 X Y 的联合密度函数为 讨论X Y是否独立 解 1 由图知 边缘密度函数为 显然 故X Y相互独立 2 由图知 边缘密度函数为 显然 故X Y不独立 例5 4一负责人到达办公室的时间均匀分布在8 12时 其秘书到达办公室的时间均匀分布在7 9时 设两人到达的时间相互独立 求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率 解 设X和Y分别为负责人与其秘书到达办公室的时间 由假设X和Y的概率密度分别为 由于X和Y相互独立 可得 X Y 的概率密度为 因此负责人与其秘书到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率为1 48 二维随机变量的概念可以推广到n维随机变量 若X1 X2 Xn是定义在样本空间上的n个随机变量 则由其