巧用直线的参数方程解题方法剖析

巧用直线的参数方程解题巧用直线的参数方程解题 摘要 摘要 我们都知道解析几何在高考数学中的重要性 解析几何常常让考生感到 头痛 特别是关于直线与圆锥曲线的位置关系 求轨迹方程等类型的题目 这 类型的题目所涉及的知识点多 覆盖面广 综合性比较强 从而考察考生的运 算能力和综合解题能力 不少学生常常因缺乏解题策略而导致解答过程繁难 运算量大 甚至半途而废 而想要比较简单的解决此类问题运用直线的参数方 程是较合适的方法 运用直线的参数方程去解决一些解析几何问题会比较简便 关键词关键词 直线的参数方程 平面 空间 弦长 1 1 引言 引言 在解决的某一解析几何的问题时 运用直线的参数方程解题是非常合适的 运用的直线的参数方程解题它的优点在于能化繁为简 减少计算过程 而它的 缺点就是它的局限性 不是所有的题目都适合运用直线的参数方程解决的 在 平面几何里 一些关于焦点弦长 某点的坐标 轨迹方程 等式证明等问题的 题目我们可以考虑运用直线的参数方程去解决 在空间几何里用直线的参数方 程可以解决的问题有求柱面和锥面的方程 空间中的一些轨迹方程 对称点等 相关问题 在平面中或是空间里的解析几何问题 我们都可以考虑运用直线的 参数方程去解决 我们会举相关的例题 运用直线的参数方程去解题 2 12 1 在平面中运用直线的参数方程解题在平面中运用直线的参数方程解题 直线的参数方程的标准式 过点倾斜角为的直线 参数方程为 000 pxy l t为参数 为直线的倾斜角 sin cos 0 0 tyy txx t的几何意义是 t表示有向线段的数量 为直线上任意一点 pp0 yxp 2 1 1 用直线的参数方程求弦长相关问题 如果知道过某点的某一直线与一个圆锥曲线相交 要求求直线被截的弦长 我们把这一直线的参数方程代入圆锥曲线的方程里 然后韦达定理和参数t的几 何意义得出弦长 例例1 1 过点有一条倾斜角为的直线与圆相交 求直线被圆 2 1P 4 3 9 22 yx 截 得的弦的长 分析 1 考虑点P在不在圆上 2 这个题目如果用一般方 法解就要写出直线方程 然后代入圆方程 要想 求出弦长过程比较复杂 计算量大 3 适合运用直线的参数方 程进行求解 解 把点代入圆的方程 得 2 1P9521 22 所以点P不在圆上 在圆内 可设直线与圆的交点分别为A B两点 由题意得直线的参数方程为 t为参数 ty tx 2 2 2 2 2 1 代入圆的方程 得 9 2 2 1 2 2 1 22 tt 整理后得 042 2 tt 因为 0184142 2 设 的两根为 即对应交点A B的参数值 由韦达定理得 21 t t 2 21 tt 4 21 tt 由t的几何意义 得弦长 234424 2 21 2 2121 t tttttAB 评注 此类求弦长的问题 一般方法得求出直线与二次曲线的两个 交点坐标 然后用两点间的距离公式求出弦长 这样计算量 会比较大 而运用直线的参数方程参数方程去解 根据参数t 的几何意义和韦达定理就能比较简捷的求出弦长 小结 我们在运用直线的参数方程解决求弦长问题时 发现在解决例1 此类题型时有一定的规律 这个规律在解决此类问题时可以当 公式来用 对解题速度很有帮助的 下面我对这个规律进行阐述 问题1 求二次曲线 0 yxF 截直线 t是参数 为直线的倾斜角 sin cos 0 0 tyy txx 所得的弦的长 解 有 和 消去整理后 若能得到一个关于参数t的二元yx 一次方程 0 2 cbtat 则当有 截得的弦长为04 2 acb 公式一 a acb l 4 2 证明 设为 的两个实根 根据韦达定理有 21 t t a b tt 21 a c t t 21 又设直线与二次曲线的两个交点为 则 222111 yxpyxp sin cos 101 101 tyy txx sin cos 202 202 tyy txx 根据两点的距离公式 由 得弦长 2 21 2 2121 yyxxppl 2 2 21 2 2 21 sincostttt 21 2 21 4 t ttt a c a b 4 2 证毕 a acb4 2 上述公式适用于已知直线的倾斜角 那如果已知直线的斜率呢 问题2 求二次曲线 0 yxF 截直线 t是参数 直线的斜率为 btyy atxx 0 0 a b 所得的弦的长 解 有 和 消去整理后 若能得到一个关于参数t的二元yx 一次方程 0 2 CBtAt 则当有 截得的弦长为04 2 ACB 公式二 A bal 22 利用上述公式我再举个例 例例2 2 若抛物线截直线所得的弦长是 求的值 xy4 2 dxy 253d 解 由直线的方程 得dxy 2 直线的斜率k 2 且直线恒过点 a b 0 2 d 该直线的参数方程为 t为参数 ty t d x 2 2 把参数方程代入抛物线方程 整理后得 0244 2 dtt 因为t是实数 所以 0 32162444 2 dd 由公式二 有53 4 3216 21 22 d 解得 4 d 评注 我们通过运用直线的参数方程得到了公式一和公式二 在 解决关于弦长问题时运用公式一或者公式二解题就会更加 方便 如果题目已知的是直线的倾斜角 就应该考虑用公 式一 如果题目已知的是直线的斜率 就应该先考虑用公 式二 2 1 2 运用直线的参数方程解中点问题 例例3 3 已知经过点 斜率为的直线和抛物线相交 0 2P 3 4 xy2 2 于A B两点 若AB的中点为M 求点M坐标 解 设过点的倾斜角为 则 0 2P 3 4 tan 则 5 3 cos 5 4 sin 可设直线的参数方程为 t为参数 ty tx 5 4 5 3 2 把参数方程代入抛物线方程中 整理后得xy2 2 050158 2 tt 设为方程的两个实根 即为A B两点的对应参数 根据韦达定理 21 t t 8 15 21 tt 由M为线段AB的中点 根据的几何意义可得 16 15 2 21 tt PM 所以中点M所对应的参数为 将此值代入直线的参数方程里 得 16 15 M t M的坐标为 4 3 16 15 5 4 16 41 16 15 5 3 2 y x 即 4 3 16 41 M 评注 在直线的参数方程中 当时 则的方向向上 当0 tMA0 t 时 则的方向向下 所以AB中点M对应的参数t的值是 MB 2 21 tt 这与求两点之间的中点坐标有点相似 2 1 3 运用直线的参数方程求轨迹方程 运用直线的参数方程 我们根据参数t的几何意义得出某些线段的 数量关系 然后建立相关等式 最后可得出某动点的轨迹 例例4 4 过原点的一条直线 交圆于点 在直线上取一 11 2 2 yxQOQ 点 使到直线的距离等于 求当这条直线绕原点旋转时点PP2 yPQP 的轨迹 解 设该直线的方程为 t为参数 为直线的倾斜角 sin cos ty tx 0 把直线方程代入圆方程 得 11sincos 22 tt 即 0sin2 2 tt 根据公式一 可得 sin2sin4 4 2 2 a acb OQOQ 0 可设点坐标为 起对应的参数值为t 则有 p yxp tOP 因为 所以OQOPPQ sin2 tPQ 易知 点到直线的距离是 即 p2 y2 y2sin t 由题意有 sin2 t2sin t 等式两边同时平方 化简后得 0cos4 22 t 解得 或4 2 t0cos 当时 轨迹的一支为 4 2 t4 22 yx 当时 从而得另一支轨迹 即 0cos 0sin ty tx 0 0 x 因此所求轨迹系是由圆和直线组成 4 22 yx0 x 评注 遇到此类题目 考虑运用直线的参数方程先把弦长求出来 在根据题意建立相关等式 根据等式消元化简得出结果 本 题的关键主要是建立等式 sin2 t2sin t 2 1 4 运用直线的参数方程证明相关等式 运用直线的参数方程 根据参数t的几何意义 我们可以得到一些 线段的数量关系 对证明一些几何等式很有帮助 例例5 5 设过点的直线交抛物线于B C 求证 0 pApxy2 2 22 11 ACAB 2 1 p 证明 设过点的直线的参数方程为 0 pA t为参数 为直线的倾斜角 sin cos ty tpx 因为直线与抛物线交B C两点 故 0 把直线参数方程代入抛物线方程 整理后得 02cos2sin 222 patpat 设为两根 即点B C的对应参数值 根据韦达定理得 21 t t 2 21 sin cos2p tt 2 2 21 sin 2p t t 根据参数t的几何意义有AB AC 所以 1 t 2 t 22 11 ACAB 2 21 21 2 21 2 2 2 1 211 t t t ttt tt 2 2 2 2 2 2 2 2 1 sin 2 sin 4 sin cos2 p p pp 评注 在证明一些相关等式问题时 引用直线的参数方程辅助证明 会让证明思路更加清晰易懂 在证明过程中根据参数t的几何 意义 用参数t去替换其它变量 把所要证的等式化繁为简 2 22 2 在空间中用直线的参数方程解题在空间中用直线的参数方程解题 在空间中过点 方向向量为的直线 的坐标式参 000 zyxM ZYXv l 数方程为 t为参数 直线 标准方程为 Ztzz Ytyy Xtxx 0 0 0 l t Z zz Y yy X xx 000 2 2 1 用空间直线的参数方程求柱面和锥面方程 已知柱面 锥面的准线方程 可以根据母线的参数方程或者标准方程 很方便的求出柱面或者锥面方程 例例6 6 若柱面的母线的方向向量 准线方程是 01 1 v 02 1 222 zyx zyx 求柱面方程 解 设为准线上任意一点 过点的母线的参数方程为 1111 zyxP 1 P 为参数 即 tzz yy txx 1 1 1 t tzz yy txx 1 1 1 代入准线方程得 02 1 2 2 2 tzytx tzytx 消去参数t 可得到所求柱面方程 122 2 2 2 zyxyzyx 评注 此题假设准线上任意一点 然后过此点写出对应的参数方程 通过参数t的引入便可变形代入相关方程 最终消去参数t得 到所求柱面方程 例例7 7 已知锥面顶点为 准线为 求锥面的方程 2 1 3 0 1 222 zyx zyx 解 设为准线上任意一点 连接点与顶点的 1111 zyxP 1 P 2 1 3 母线为 2 2 1 1 3 3 111 z z y y x x 将它们的比值记为 得 t 1 t为参数 22 11 33 1 1 1 ztz yty xtx 代入所满足的方程 得 111 zyx 0 1 111 2 1 2 1 2 1 zyx zyx 02213 1221133 222 zyxt ztytxt 消去t 由上式的第二式得 代入第一式 213 2 zyx t 化简整理后得锥面的一般方程为 02122310136271533 222 zyzxyxzyx 评注 此题的关键是母线方程的表示 然后引入参数t 得到一个参数方程 通过参数t代入化简得出所求的锥面方程 2 2 2 用空间直线的参数方程求空间轨迹 空间的点或者直线的轨迹的空间解析几何的一个重要课题 是重点 也是难点 在求解过程中 通常非常复杂 但对于某些轨迹问题 运 用直线的参数方程去解决会相对简单 例8 一直线分别交坐标面于三点A B C 当直线变动时 直yxzxzy0 0 0 线上的三定点A B C也分别在三个坐标面上变动 另外直线上有第四个点P 它与A B C三点的距离分别为 b c 当直线按照这样的规定 即保持a A B C分别在三坐标面上变动 试求P点的轨迹 解 设点P的坐标为 直线的方向余弦为 则 000 zyxP cos cos cos 直线的参数方程为 t为参数 cos cos cos 0 0 0 tzz tyy txx 令 即的与面的交点A 根据t的几何意义 则0 xzy0at cos 0 ax 同理可得 cos 0 by cos 0 cz 由以上三式可得1coscoscos 222 2 2 0 2 2 0 2 2 0 c z b y a x 所以P点轨迹方程为 是一个椭球面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 评注 通过运用直线的参数方程 然后根据t的几何意义 用t去表示 点P的坐标 通过观察代入某式子得出轨迹方程 2 2 3 用空间直线的参数方程求对称点 运用空间直线的参数方程我们可以求出定点关于定平面 定直线对 称的点的坐标 例例9 9 求定点关于定平面的对称点 1 2 1 0 P012 zyx 分析 1 可设对称点为点 1 P 2 点和点到平面的距离是相等的 0 P 1 P 3 与平面是垂直的 10P P 解 设是所求的对称点 则平面到和的 1111 zyxP012 zyx 0 P 1 P 有向距离是等值异号 即 222 111 222 112 12 112 1112112zyx 化简后得 1 032 111 zyx 又的一组方向向量为 由于与平面 10P P 010101 zzyyxx 10P P 垂直 故有012 zyx t为参数 t zyx 1 1 1 2 2 1 111 即 2 tz ty tx 1 2 21 1 1 1 把 2 代入 1 得