2019版数学浙江省学业水平考试专题复习(精美WORD-全解析)：必修1-§3

知识点一 分数指数幂 1 规定 正数的正分数指数幂的意义是 a 0 m n N 且 n 1 正数的负分数指数幂 m n a n am 的意义是 a 0 m n N 且 n 1 0 的正分数指数幂等于 0 0 的负分数指 m n a 1 n am 数幂没有意义 2 有理数指数幂的运算性质 1 aras ar s a 0 r s Q 2 ar s ars a 0 r s Q 3 ab r arbr a 0 b 0 r Q 知识点二 指数函数及其性质 1 指数函数的定义 一般地 函数 y ax a 0 且 a 1 叫做指数函数 其中 x 是自变量 函数的定义域是 R 2 指数函数的图象和性质 a 10 a0 且 a 1 那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数 记作 x logaN a 叫做对数的底数 N 叫做真数 2 特殊对数 Error 3 对数和指数的关系 当 a 0 a 1 N 0 时 ax N x logaN 4 对数的性质 1 负数和 0 没有对数 2 loga1 0 3 logaa 1 4 N logaN a 5 logaaN N 5 对数的运算 如果 a 0 且 a 1 M 0 N 0 那么 1 loga M N logaM logaN 2 loga logaM logaN M N 3 logaMn nlogaM n R 4 logamMn logaM n m 6 对数的重要公式 1 换底公式 logbN a b 均大于零且不等于 1 logaN logab 2 logab 推广 logab logbc logcd logad 1 logba 知识点四 对数函数及其性质 1 对数函数的定义 一般地 我们把函数 y logax a 0 且 a 1 叫做对数函数 其中 x 是自变量 函数的定义 域是 0 2 对数函数的图象及其性质 a 10 a 1 图象 定义域 0 值域R 过定点 1 0 即当 x 1 时 y 0 函数值的 变化 当 0 x 1 时 y1 时 y 0 当 0 x0 当 x 1 时 y0 A 错误 B 项 由图象知指数函数单调递增 a 1 此时 g x 单调递增 满足条件 C 项 由图象知指数函数单调递减 0 a1 此时 g x 单调递增 不满足条件 故选 B 2 由二次函数的图象易得 1 b 0 a 1 则函数 g x ax b 单调递增 当 x 0 时 g 0 a0 b b 1 0 1 即函数图象在 y 轴上的截距在 0 1 内 故选 C 题型三 幂函数 指数函数 对数函数的单调性 例 3 2016 年 10 月学考 设函数 f x x g x x 其中 e 为自然对数的底数 则 2 e e 3 A 对于任意实数 x 恒有 f x g x B 存在正实数 x0使得 f x0 g x0 C 对于任意实数 x 恒有 f x g x D 存在正实数 x0使得 f x0 g x0 答案 D 解析 所以 0 1 作函数 f x 和 g x 的草图如图所示 易知 D 正确 2 e 6 3e e 3 e2 3e 2 e e 3 感悟与点拨 1 函数的性质主要是指函数的单调性 奇偶性 对称性和周期性 对指数 对数 幂函数来说就是单调性 2 要熟练掌握单调增函数 或减函数 的特征 充分利用数形结合进行求解 跟踪训练 3 若 loga a2 1 loga2a0 所以 a2 1 2a 由 loga a2 1 loga2a 知 0 a 1 又 loga2a1 解得 a 1 2 综上所述 a 1 故选 B 1 2 题型四 指数函数 对数函数的综合应用 例 4 已知定义在 R 上的奇函数 f x a 3x 3 x a 为常数 1 求 a 的值 2 用单调性定义证明 f x 在 0 上是减函数 3 解不等式 f x 1 f 2x 3 x2 0 则 f x1 f x2 2 3x 1 3x 1 3 x 2 3 x x1 x2 0 x1 x2 2 3x 1 3x 1 3 x 2 3 x 即 0 0 2 3x 1 3x 1 3 x 2 3 x f x1 f x2 0 2 3x 1 3x 1 3 x 2 3 x f x 在 0 上是减函数 3 解 f x 是奇函数且在 0 上单调递减 f x 在 R 上是减函数 f x 1 f 2x 3 0 f 2x 3 1 x 解得 x 2 3 即不等式的解集为 2 3 感悟与点拨 解决指数函数 对数函数综合问题时 无论是讨论函数的性质 还是利用函数的 性质 都要注意 1 要分清函数的底数是 a 0 1 还是 a 1 2 确定函数的定义域 无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质 都要在其定义域上 进行 3 如果需将函数解析式变形 一定要保证其等价性 否则结论错误 跟踪训练 4 已知函数 f x loga 3 ax 1 当 x 0 2 时 函数 f x 恒有意义 求实数 a 的取值范围 2 是否存在这样的实数 a 使得函数 f x 在区间 1 2 上为减函数 并且最大值为 1 如果存 在 试求出 a 的值 如果不存在 请说明理由 解 1 a 0 且 a 1 设 t x 3 ax 则 t x 3 ax 为减函数 当 x 0 2 时 t x 的最小值为 3 2a 又当 x 0 2 时 f x 恒有意义 即当 x 0 2 时 3 ax 0 恒成立 3 2a 0 a 3 2 又 a 0 且 a 1 a 0 1 1 3 2 2 假设存在实数 a 使 f x 在 1 2 上为减函数 则 f x 的最大值为 f 1 loga 3 a 1 此时 a f x 3 2 3 2 3 log3 2 x 当 x 2 时 f x 没有意义 故不存在这样的实数 a 使得函数 f x 在区间 1 2 上为减函数 并且最大值为 1 一 选择题 1 2017 年 4 月学考 函数 y 3 的值域为 A 0 B 1 C 0 1 D 0 3 答案 A 2 在同一直角坐标系中 函数 f x xa x 0 g x logax 的图象可能是 答案 D 解析 根据函数 f x xa x 0 g x logax 知函数图象为幂函数的一部分和对数函数图 象 A 选项没有幂函数图象 不符合 B 选项 f x xa x 0 中 a 1 而 g x logax x 0 中 0 a 1 不符合 C 选项 f x xa x 0 中 0 a 1 而 g x logax x 0 中 a 1 不符合 D 选 项两者都是 0 a 1 符合 故选 D 3 设 则使函数 y x 的定义域为 R 且为奇函数的所有 的值为 1 1 1 2 3 A 1 3 B 1 1 C 1 3 D 1 1 3 答案 A 解析 函数 y x 的定义域为 R 1 和 1 2 当 1 和 3 时 y x 为奇函数 故选 A 4 下列函数中 既是偶函数又在区间 0 上是单调增函数的是 A y B y x 1 1 x C y lg x D y x 1 2 答案 B 解析 对于 A y 为定义域上的奇函数 不满足题意 1 x 对于 B y x 1 是定义域 R 上的偶函数 且在 0 上是单调增函数 满足题意 对于 C y lg x 是非奇非偶的函数 不满足题意 对于 D y x 是定义域上的偶函数 但在 0 上是单调减函数 不满足题意 1 2 故选 B 5 函数 y 的值域是 2 21 1 2 xx A 4 B 0 C 0 4 D 4 答案 C 解析 令 t x2 2x 1 则 t x 1 2 2 2 y t 2 4 1 2 1 2 又 y t 0 1 2 0 y 4 6 已知函数 f x Error 则方程 f x 0 的实数解 x0为 A 0 B 2 0 1 2 C D 0 1 2 答案 D 解析 当 x 1 时 f x 3x 1 0 解得 x 0 当 x 1 时 f x 1 log2x 0 解得 x 舍去 1 2 故方程 f x 0 的实数解 x0为 0 7 下列不等式正确的是 A log30 2 0 23 30 2 B log30 2 30 2 0 23 C 0 23 log30 2 30 2 D 30 2 log30 2 0 23 答案 A 解析 log30 2 log31 0 0 0 23 0 20 1 30 2 30 1 log30 2 0 23 30 2 8 已知函数 f x Error 则 f log23 的值为 A B C D 23 8 1 11 1 19 1 24 答案 D 解析 1 log234 f log23 3 2 log 3 3 1 2 1 2 2 log 3 1 2 1 8 2 1 log 3 2 1 8 1 3 1 24 9 函数 f x 0 a 1 图象的大致形状是 xloga x x 答案 C 解析 方法一 特殊值法 取 a 1 2 当 x 2 时 f 2 10 排除 D 故选 C 方法二 由函数性质知 f x 为奇函数 且在 0 上为减函数 故选 C 10 对于函数 f x lg x 定义域中任意 x1 x2 x1 x2 有如下结论 f x1 x2 f x1 f x2 f x1 x2 f x1 f x2 0 f x1 f x2 x1 x2 f x1 x2 2 f x1 f x2 2 上述结论中正确结论的序号有 A B C D 答案 B 解析 由运算律 f x1 f x2 lg x1 lg x2 lg x1x2 f x1x2 所以 错误 对 因为 f x 是定义域内的增函数 所以 正确 f lg x1 x2 2 x1 x2 2 lg f x1 f x2 2 lg x1 lg x2 2x1x2 因为 又 x1 x2 x1 x2 2x1x2 所以 lg lg 所以 错误 故选 B x1 x2 2x1x2 二 填空题 11 已知 f x m2 m 1 是幂函数 且在 0 上是减函数 则实数 2 23mm x m 答案 2 解析 由幂函数定义得 m2 m 1 1 解得 m 2 或 m 1 当 m 2 时 f x x 3 在 0 上是减函数 当 m 1 时 f x x0 不符合题意 m 2 12 在同一平面直角坐标系中 函数 y f x 的图象与 y ex的图象关于直线 y x 对称 函 数 y f x 的图象与 y g x 的图象关于 y 轴对称 若 g m 1 则 m 答案 1 e 解析 由题意 得 f x ln x 由于函数 y f x 的图象与 y g x 的图象关于 y 轴对称 可得 g x f x ln x g m 1 即 ln m 1 解得 m e 1 1 e 13 已知点 n an n N 在函数 y ex的图象上 若满足 Tn ln a1 ln a2 ln an k 时 n 的最小值为 5 则 k 的取值范围是 答案 10 15 解析 点 n an n N 在函数 y ex的图象上 an en ln an n Tn ln a1 ln a2 ln an 1 2 n n n 1 2 又 Tn k 时 n 的最小值为 5 T4 k T5 即 10 k 15 14 已知定义域为 R 的偶函数 f x 在 0 上是增函数 且 f 0 则不等式 f log4x 1 2 0 的解集是 答案 Error 解析 f x 是偶函数 f f 0 1 2 1 2 又 f x 在 0 上是增函数 f x 在 0 上是减函数 f log4x 0 即 log4x 或 log4x 1 2 1 2 解得 x 2 或 0 x 1 2 三 解答题 15 已知函数 f x logax a 0 且 a 1 1 若 a 3 f 5 求 x 的值 27 x 2 若 f 3a 1 f a 求实数 a 的取值范围 3 若函数 f x 在区间 a 2a 上最大值是最小值的 3 倍 求 a 的值 解 1 f log3 5 27 x 27 x 3 5 x 38 27 x 27 3 5 33 3 5 2 若 a 1 则 f x 在 0 上是增函数 3a 1 a 1 解得 a 1 若 0 a 1 则 f x 在 0 上是减函数 0 3a 1 a 解得 a 1 3 1 2 综上 a 的取值范围是 1 1 3 1 2 3 由题意知 当 0 a1 时 loga2a 3logaa 解得 a 2 a 或 2 42 16 已知定义域为 R 的函数 f x 是奇函数 1 2x 2x 1 a 1 求 a 的值 2 若对任意的 t R 不等式 f t2 2t f 2t2 k 0 恒成立 求实数 k 的取值范围 解