信号与系统2012第9讲

第第 9 讲讲 连续系统的复频域分析连续系统的复频域分析 教学目的 教学目的 理解 极零点图 频率特性 对数频率特性等概念 掌握系统函数 的求法 教学内容 教学内容 零极点分布与时域响应特性 25 分 零极点分布与系统频率特性 25 分 波特图 25 分 线性系统的模拟 30 分 信号流图 45 分 教学重点 零极点分布与系统的时域 频域响应特性 信号流图的化简教学重点 零极点分布与系统的时域 频域响应特性 信号流图的化简 教学难点 教学难点 信号流图的化简 教学方法及教学手段 教学方法及教学手段 课堂讲授 本讲作业 本讲作业 8 6 8 9 1 2 8 20 8 3 零极点分布与时域响应特性零极点分布与时域响应特性 冲激响应 h t 与系统函数 H s 从时域和变换域两方面表征了同一系统的本性 在 s 域分析中 借助系统函数在 s 平面零点与极点分布的研究 可以简明 直观地给出系统响应的许多规律 系统的时域 频域特性集中地以其系统函数 的零 极点分布表现出来 主要优点主要优点 1 可以预言系统的时域特性 2 便于划分系统的各个分量 自由 强迫 瞬态 稳态 3 可以用来说明系统的正弦稳态特性 8 3 1 极点零点分布规律极点零点分布规律 1 对实数轴成镜像对称 2 极点和零点总数目相等 12 0 12 m n szszszN s H sH D sspspsp 对实际系统 有 n m 有 n m 个零点在 s 平面上无限远处 8 3 2 极点零点分布与系统时域特性极点零点分布与系统时域特性 系统函数的极点与零点 1 12 0 12 1 m j j m n n i i sz szszszN s H sHK D sspspsp sp zj 函数 H s 的零点 pi 函数 H s 的极点 在 s 平面上 画 H s 的零极点图 极点用 表示 零点用 表示 H s 极点分布与原函数的对应关系 一阶极点 0 1H ss h tu t 0 0 1 H s sa at h teu t 0 0 22 H s s sin h ttu t 0 0 22 H s sa sin at h tetu t 0 0 22 H s sa 22 H s sa 二阶极点 0 2 1H ss h ttu t 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 H s sa at h tteu t 0 0 222 2 s H s s sin h tttu t 有实际物理意义的物理系统都是因果系统 即随着 t 增大 h t 0 这表明 H s 的极点位于左半平面 稳定系统条件 稳定系统条件 h t dt 8 4 极点零点分布与频率响应特性极点零点分布与频率响应特性 8 4 1 定义定义 所谓 频响特性 是指系统在正弦信号激励下稳态响应随频率的变化情况 包括 幅频特性和相频特性 H 幅频特性 相频特性 j H UjVHe 前提 稳定的因果系统 有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统 8 4 2 系统函数系统函数 H s 和频响特性的关系和频响特性的关系 12 0 12 km in szszszsz H sH spspspsp 上式每个因子均用极坐标来表示 ii jj iii spsp eAe kk jj kkk szsz eB e 为考虑频率特性 令 0 即 s j 则 11 1212 121 00 12 1 mn ki ki mn m j k j mk n n i i B B BB H sHeHe A AA A 例例 8 确定图示系统的频响特性 确定图示系统的频响特性 1 sC R1 U s 2 Us 解 系统的传递函数为 解 系统的传递函数为 2 1 11 UsRs H s U sRsCsRC 零点零点 z1 0 极点 极点 p1 1 RC 1 1 1 1 1 j j Bej H jRCAe 0 1 p 1 A 1 B 1 1 s 22 1 H RC 0 0 H 1 2 2 RCH 1 H H 0 1 2 2 1 RC 全通函数全通函数 所谓全通是指它的幅频特性为常数 对于全部频率的正弦信号都能按同样的幅 度传输系数通过 零 极点分布 极点位于左半平面 零点位于右半平面 零点与极点对于虚轴互为镜像 0 1 p 2 p 1 z 2 z 1 2 1 2 频率特性 1212 1212 12 12 jjB B HKeKe A A 由于 A1A2与 B1B2相消 幅频特性等于常数 K 即 H K 幅频特性 常数 相频特性 不受约束 全通网络可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特性 只改变信号的相位频谱 arctan 2 RC 0 0 1 4 RC 1 0 90 45 1 RC 特性 在传输系统中常用来进行相位校正 例如 作相位均衡器或移相器 最小相移函数最小相移函数 系统函数的全部极点位于 s 平面的左半平面 且全部零点也位于 s 平面的左半 平面 包括虚轴 称为 最小相移函数 若系统函数在右半平面有一个或多个 零点 就称为 非最小相移函数 这类网络称为 非最小相移网络 2 0 1 p 2 p 1 z 1 1 2 0 1 p 2 p 1 z 1 1 从 0 最小相移函数相移从 0 90 非最小相移函数相移从 180 90 在频率变化过程中 最小相移网络的相移较非最小相移网络的相移要小 当 从 0 变到 时 零点在右半平面时相位 180 90 零点在左半平面时 相位 0 90 而极点的相位为 0 90 所以 最小相移网络的相移为 0 90 而非最小相移网络的相移 180 90 最小相移网络的系统稳定性好 8 5 波特图波特图 频率特性的波特图 12 0 12 j km in szszszsz H HHe spspspsp 依据该式绘制频率特性图非常困难 对上式两边取自然对数 ln ln HHjGj G 对数增益 单位 Np 相位 单位 rad 在自动控制系统与通信系统分析与设计中 更广泛采用贝尔电话实验室波特 或 Bode 提出的使用对数坐标绘制频率特性的方法 即波特图 通信工程测量功率增益时 通常用的标准是分贝 定义为 2 2 2 2 1 10lg10lg10lg 20lg YP HH P X 式中 P1是系统的输入功率 P2是系统的输出功率 X Y 分别为输入 和输出 通常是电压或电流 的拉氏变换 系统函数对数增益 0 11 20lg20lg20lg mn ki ki GHjzjp 波特图的频响特性曲线与前面介绍的频率取对数坐标的频响特性基本相同 仅 幅频特性表示增益的纵坐标为 20 lg H 单位为分贝 这样表示的优点不但 可以清楚地将低频与高频部分的幅度特性值大小变化情况表示在图上 更重要 的是取对数后 幅度函数中各基本因子的乘除运算转变为加减运算 即 lglglglglglglg AB ABCDABCD CD 例例 9 已知三阶系统的系统函数 画出其波特图 已知三阶系统的系统函数 画出其波特图 2 32 51825 61112 ss H s sss 解 系统函数为 2 32 51825 1 81 3266 1 81 3266 61112 4 12 12 sj sj ssjjjj HH s sssjjjjj 20lg 20lg1 81 326620lg1 81 3266Hjjjj 20lg420lg1220lg12jjjjj 1 81 3266 1 81 3266 4 12 12 jjjjjjjjj 8 6 线性系统的模拟线性系统的模拟 系统模拟系统模拟 数学模拟 所用的模拟装置与原系统在数学模拟 所用的模拟装置与原系统在 in out 上可用相同的微分方上可用相同的微分方 程来描述 程来描述 常用装置 加法器 标量乘法器 积分器 其中 积分器是核心 模拟一个系常用装置 加法器 标量乘法器 积分器 其中 积分器是核心 模拟一个系 统统 微分方程微分方程 用积分器而不用微分器是因积分器对信号有用积分器而不用微分器是因积分器对信号有 平滑平滑 作用 而微作用 而微 分器则对信号有分器则对信号有 锐化锐化 作用 因而 积分器的抗干扰能力和运算精度均优于作用 因而 积分器的抗干扰能力和运算精度均优于 微分器 微分器 基本元件基本元件 加法器加法器 1 e t 2 e t r t 12 r te te t 乘法器 1 e t 2 e t r t 12 r te te t 数乘器数乘器 e t a r t r tae t 延时器 e t 0 t r t 0 r te tt 微分器 e t d dt r t E s s R s de t r t dt 积分器积分器 无初始值无初始值 x t y t 0 y 0 d t r te tt X s Y s s 有初始值 0 0 d t y tyx tt 0 yX s Y s ss X s 1 s Y s 0 ys 一阶微分方程的模拟一阶微分方程的模拟 或 y tay tx t y tx tay t x t y t y t a 二阶微分方程的模拟 或 10 yta y ta y tx t 10 ytx ta y ta y t x t y t y t 1 a y t 0 a 例例 10 画出下面微分方程的模拟框图 画出下面微分方程的模拟框图 1010 yta y ta y tb x tb x t 解 引入辅助函数 q t 10 qta q ta q tx t 代入原方程并整理 10110010 yta y ta y tb qta q ta q tb qta q ta q t 10110010 bq tb q ta bq tb q ta bq tb q t 比较可知 结合 10 y tbq tb q t 10 qta q ta q tx t 画模拟框图 x t q t q t 1 a q t 0 a y t 0 b 1 b 8 7 信号流图信号流图 信号流图比框图更简单 并能迅速求得信号流图比框图更简单 并能迅速求得 H s 的表达式的表达式 X s 1 s 1 a Y s 0 a 1 s 2 s Y s sY s X s 1 s 1 a Y s 0 a 1 s 2 s Y s sY s11 Y s 8 7 1 术语术语 节点 表示系统中变量或信号的点 如 X s s2Y s 等 支路 连接两节点之间的定向线段 支路传输 就是支路的传输函数 源节点 只有输出支路的节点 阱节点 只有输入支路的节点 混合节点 既有输入 又有输出的节点 通路 沿支路箭头方向 通向各相连支路的途径 开通路 通路与任意节点相交不多于一次 闭通路 如果通路的终点就是通路的起点 并且与任何其他节点相交不多于一 次 又称为环路 自环路 仅含一个支路的环路 不接触环路 两环路之间没有任何公共节点 前向通路 从源节点到阱节点方向的通路上 通过任何节点不多于一次的路径 0 X b g 3 X h c 1 X 2 X a d 4 X 5 X 6 Xfe i j k 源节点 阱节点 混合节点 前向通路 闭通路 不接触的环路 8 7 2 信号流图的性质信号流图的性质 1 信号只能沿支路上箭头方向通过 2 节点表示变量 源节点代表输入量 阱节点代表输出量 混合节点代表 各支路变量的代数和 节点具有加法器的作用 3 支路表示变量的传输和变换过程 4 增加一个具有单位传输的支路 可把混合节点化为输出节点 5 系统的信号流图不唯一 6 信号流图转置后 其传输函数保持不变 转置转置 将流图中各支路的信号传输方向均给以调转 同时 把输入 输出节点将流图中各支路的信号传输方向均给以调转 同时 把输入 输出节点 对换 对换 X s 0 b 3 Xs 0 a 1 b 1 X s 2 Xs11 Y s 0 c Y s 0 b 1 X s 0 a 1 b 3 Xs 2 Xs11 X s 0 c X s 0 b 3 Xs 0 a 1 b 1 X s 2 Xs11 Y s 0 c 系统函数 0 11 0 0 0 10 1 0 1 b bbc H s a b ba bc 8 7 3 信号流图的简化信号流图的简化 1 串联支路的化简 串联支路可化为单一支路 它的总传输等于各支路传输的 乘积 2 并联支路的化简 并联支路可化为单一支路 它的总传输等于各支路传输 之和 3 混合节点的消除 消除混合节点后 形成各新支路的传输值为其前后节点 间通过被消除节点的个顺向支路传输值的乘积 4 自环的消除 设某节点上有传输值为 t 的自环 则消除该自环后 该节点所有输入 支路的传输值均要除以 1 t 所有输出支路的传输值不变 X s 2 H 3 X 3 H 1 X 2 X 1 H 4 H Y s X s 1234 H H H H Y s X s 2 H 3 H Y s 1 H X s 123 HHH Y s 1 X 1 Y 2 X 2 Y 1 H 3 H 2 H 4 H 1 X 1 Y 2 X 2 Y 13 H H 24 H H 14 H H 23 H H 1 H X 2 H Y t 1 1 H t X 2 H Y