两角差的余弦公式教学设计

1 3 1 1 3 1 1 两角差的余弦公式两角差的余弦公式 教学设计教学设计 朔州市一中朔州市一中 李燕李燕 一 内容和内容解析一 内容和内容解析 1 内容 两角差的余弦公式是用两角的三角函数值来表示两角差的余弦值 这一内容是任意角三角函数知识的延伸 是后继内容两角和与差的正弦 余弦 正切 以及二倍角公式的知识基础 2 内容解析 两角差的余弦公式是 三角恒等变换 这一章的基础和出发点 是在学生掌握了任意角的三角函数的概念 向量的坐标表示以及向量数量积的 坐标表示的基础上 进一步研究用单角的三角函数表示两角差的三角函数 教 材采用了一种学生易于接受的推导方法 即先用数形结合的思想 借助于单位 圆中的三角函数线 推出 均为锐角时公式成立 对于 为任意角时的情况 教材运用向量的知识进行了探究 使得公式的得出成为一 个纯粹的代数运算过程 学生易于理解和掌握 同时也有利于提高学生运用向 量解决相关问题的意识和能力 基于这些分析 两角差的余弦公式的探索将是 本节的重点 二 目标和目标解析二 目标和目标解析 1 目标 经历三角函数线推导两角差的余弦公式的过程 培养从已有知识出发探索未 知世界的意识及对待新知识的良好情感态度 探究如何用向量数量积证明两角差的余弦公式 体会探究的乐趣 强化学生 的参与意识 培养学生分析问题 解决问题的能力 掌握两角差的余弦公式的结构特征 变形以及应用 培养运用数学知识的能 力以及逆用思维的能力 2 目标解析 联系已经学过的三角函数线探索三角函数问题是很自然的 鉴于学生独立的 2 运用单位圆上的三角函数线推导两角差的余弦公式存在一定困难 我采用动画 课件的形式把这一探究过程逐步展示出来 让学生对公式的结构特征进行直观 感知 使他们对公式有一个基本了解 并引起寻找适当方法推出公式的欲望 所以这种方法只要求理解 向量工具的引入 使得两角差的余弦公式的得出成为一个纯粹的代数过程 大大降低了思考难度 而且体现了向量与三角函数之间的联系 发挥了向量的 工具作用 所以这一过程 鼓励学生独立探索和讨论交流 推导过程不要求一 步到位 先抓住主要问题进行探索 然后再引导学生反思完善 这也是处理一 般探索性问题应遵循的原则 在学生思维的困惑处 教师作简要提示 为了体现 数学是有用的 我们的数学知识最终都要让学生掌握其应用 两角差的余弦也不例外 通过公式的正用 逆用 达到掌握公式的目的 三 教学问题诊断分析三 教学问题诊断分析 1 学生初次遇到两角差的余弦这个概念 会感到陌生 我采用联系诱导公式的 方法 让学生思维过渡自然 而且通过一组诱导公式还可以看出两角差的余弦 与哪些值有关 为公式的得出做第一步铺垫 2 如何想到用三角函数线来推导两角差的余弦 我采用 一是让学生联系相关 已学知识 二是联系数学思想方法 数形结合思想 来处理问题 把学生的思 维引到三角函数线上 3 用三角函数线推导公式时 辅助线的添加对学生的思维有很高的要求 绝大 多数学生的思维没达到这个高度 所以这个内容以我制作的课件为主 学生做 到理解就可 4 如何想到要用向量来证明两角差的余弦公式 如果突兀的给出 不符合科学 知识产生的自然过程 所以我采用让学生仔细观察公式的构成要素和结构特征 联系所学知识 努力使数学思维显得自然 合理 5 用向量的数量积公式对两角差的余弦公式的探究过程 少数基础薄弱的学生 做不来 这个我的处理是 第一让他们做好比较充分的预习 第二是在所有学 生独立探究这个内容时 我走到学生中去 对基础差的学生作指导 6 鉴于学生的水平不同 我采用分层作业 有必做题和选做题两部分 3 四 教学支持条件分析四 教学支持条件分析 整节课借助多媒体进行辅助教学 当 都是锐角时用三角函数线得 到两角差的余弦公式 这个内容比较复杂 用 PowerPoint 演示 通过色彩的强 烈对比突出效果 与向量夹角之间的关系 利用几何画板课件演示 可以 将抽象的问题直观化 但关键的探究过程和推理过程要借助黑板 即时完成必 要的演算推证过程 比课堂展示事先做好演算推证过程的幻灯片要效果更好 五 教学过程设计五 教学过程设计 1 创设创设情境 引入新情境 引入新课课 请同学们思考问题 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上 如图所示 在地平面上有一点 A 测得 A C 两点间距离约为 60 米 从 A 观测电视发射塔 的视角 CAD 约为 45 CAB 15 求 AD 长度 解 AD 120 cos15 120cos 60 45 问题问题一 一 不借助计算器如何求 cos15 的值 我们可以有什么思路呢 提示 请联系我们已经学过的特殊角的三角函数值 可以将 15 写成什么 生生 cos 45 30 或者 cos 60 45 等两角差的余弦形式 师师 那么是否可以根据 45 和 60 的三角函数值来求出 15 的余弦 这就是 我们这节课要研究的问题 更一般的来说 我们这节课要研究的就是 能不能 用 的三角函数值把 的余弦值表示出来 学生行学生行为为分析与分析与设计设计意意图图 基于人的由低到高的认知规律 把新内容的起点定 的越低学生越容易入门 所以我将原教材例子作了修改 使得学生可以当堂解决 C 150 D 45 60 AB 4 这个实际问题 做到课的前后呼应 还能体现数学来源于生活 又应用于生活的 思想 渗透角的变换的思想 把非特殊角 15 拆成 60 与 45 之差 角的变换是这一章 三角恒等变换的一种 2 联联系就知 自然系就知 自然过过渡 渡 问题问题二 二 其实我们之前已经接触过两角差的余弦 大家想想在哪呢 提示 学生如果想不起来 可以翻教材寻找 生 生 诱导公式中就有好多两角差的余弦形式 师师 诱导公式是特殊的两角差的余弦 我们就从诱导公式看起 对于 cos 令 则 2 cos sin 2 令 则 cos cos 令 则 2 cos sin 2 令 则 cos cos 学生行学生行为为分析与分析与设计设计意意图图 从新旧知之间的联系入手 让学生对新知不陌生 通过一组示例 让学生发现的值与 的cos sin cos sin cos 值都有关系 为最终公式的得出做小小的铺垫 师师 从这一组诱导公式可以看出 的值与哪些值有关 cos 生 生 与 的值都有关系 sin cos sin cos 5 3 数形数形结结合 探求新知 合 探求新知 问题问题三 三 怎么求出与 之间的具体关系呢 cos sin cos sin cos 我们知道在我们数学中 数形结合思想有时可以帮助解决问题 那么这个三角 函数问题能不能用 形 来解决呢 三角函数的形又是什么呢 生 生 是三角函数线 学生行学生行为为分析与分析与设计设计意意图图 上节课结束时 我领着学生回忆了三角函数的几何表 示 三角函数线 所以在这里学生联系到三角函数线 应该不费劲 师师 下面我们就用三角函数线来研究 cos与 sin cos sin cos 之间的关系 因为角的终边所处的象限不同 画出的几何图形会有很大差别 所以我们先研究最简单的情况 也就是 都为锐角时的情况 展示展示课课件 件 作单位圆 O 设角的终边与单位圆交与点 A 作 AOP 则 xOP 过点 P 做 PM 垂直于 x 轴 垂足为 M 则 OM cos 过点 P 做 PD 垂直于 OA 垂足为 D 则 DP sin OD cos 过点 D 做 DB 垂 直于 x 轴 垂足为 B 则 OB ODcos coscos 过点 P 做 PC 垂直于 DB 垂足为 C 则 PDC CP sinsin 于是 OM OB BM OB CP coscos sinsin 即 cos coscos sinsin 学生行学生行为为分析与分析与设计设计意意图图 这个推导过程对于学生来说 比较繁琐 所以我制成 动画课件把探索过程逐步展示出来 6 师师 借助三角函数线的知识 我们解决了上课开头的实际问题 AD 30 62 师师 那么是否对任意角 都有 cos coscos sinsin成立呢 请同学们分组讨论 学生活学生活动动 汇总学生的讨论结果如下 有些组认为该公式仍然成立 因为他们借助计算器做了好多组非锐角试验 公 式都成立 另外有些组认为不一定成立 理由是即使试验了上万组数据都能使 公式成立 仍无法得出公式一定成立 因为数学是很严谨的 师师 大家说的都很好 我们现在的目标就集中在该公式在任意情况下的证明 如 果继续沿用刚才的三角函数线来证明 因为三角函数线所处象限不同 带来的 几何关系就会不同 那么我们需要分类讨论的情况将会非常多 那么有没有其 他更好的证明方法呢 4 借助向量 完善新知 借助向量 完善新知 问题问题四 四 我们再来认真观察这个公式的右侧 把 coscossinsin cos 拿出来作为一个有序数对 你想到了什么 sin cos sin 提示 有序数对与什么是对应的 生 生 是平面直角坐标系中 角 终边与单位圆交点的坐标 而cos sin 且 是角 终边与单位圆交点的坐标 所以cos sin 是一个数量积的形式 coscossinsin 学生行学生行为为分析与分析与设计设计意意图图 关于点的坐标以及数量积的概念与坐标表示 我在上 一节课最后都和学生做了简单复习 为的是给这节课学生的思维做铺垫 而且用 起来不生疏 7 师师 联系的非常好 那么具体的如何用向量知识来证明呢 这个过程交给大家来 完成 提示 提示 由向量数量积的坐标表示和数量积的定义 分别等于什么 a b 学生活学生活动动 在直角坐标系中 以轴为始边分别作角 其终边分别与xOyOx 单位圆交于 则 sin cos 1 P sin cos 2 P 1 OP sin cos 2 OP sin cos 21OP P 由数量级的坐标表示 1 OP 2 OP sinsincoscos 由数量积的定义 1 OP 2 OP 1 OP 2 OP cos cos 所以 cos sinsincoscos 学生行学生行为为分析与分析与设计设计意意图图 大多数学生在这个问题会犯思维不完善的错误 会把 当做两向量夹角 我之所以专门这样安排问题 是因为最本真的探索过程 往往不是一步到位的 我们可以先不去理会其中的细节 抓住主要问题进行探索 然后再做反思 予以完善 师师 我 我们们的推的推导过导过程在程在细节细节上有没有上有没有问题问题 提示 如果学生看不出来 我可以提示向量夹角的范围是什么 生 生 不一定是向量夹角 它们的关系应该是 2k 所以根据诱导公式得 公式得证 cos cos sinsincoscos 学生行学生行为为分析与分析与设计设计意意图图 引导学生关注两个向量的夹角与间的联系与 区别 并通过观察和讨论搞清楚 增强学生用数形结合 分类讨 论的方法解决问题的意识 感受数学思维的严谨性 8 师师 同学们做得非常好 我们用向量的方法推导出了这个公式 能否说明该公 式对任意角 都是成立的 为什么 生 生 都成立 因为在整个推导过程中 所用到的点的坐标与数量积的相关知识对 任意角 都成立 而且我们做得是恒等变形 所以最终得出的公式是对任 意角都成立 学生行学生行为为分析与分析与设计设计意意图图 强调公式的适用条件 为下一节内容两角和差的 正弦 余弦做基础 5 小 小结过结过程 升程 升华华主主题题 问题问题五 五 哪位同学可以对我们这节课从一开始到现在的推导过程做一小结呢 生 生 首先我们遇到实际问题 涉及到求 cos 60 45 的值 紧接着我们用 数形结合的思想 借助三角函数线推导出当 都为锐角时 成立 最后我们用数量积的知识证明了对任意cos sinsincoscos 角 都成立 cos sinsincoscos 学生行学生行为为分析与分析与设计设计意意图图 这一小结过程不一定一个学生就可以十分完整的描述 下来 可以多叫起几个学生 或者是教师自己对学生的回答加以补充 可以让学 生感知用最准确的数学语言来描述一个数学过程 师师 回答的非常好 同学们 每一点科学知识的发现 都不是一蹴而就的 要历 经好多曲折 但是我们要有一颗坚定的心 永不休止的朝着我们的目标前进 最终胜利的曙光会在前方等着我们 正如数学家高斯所说 一个人在无结果 地深思一个真理后能够用迂回的方法证明它 并且最后找到了它的最简明而又 最自然的证法 那是极其令人高兴的 6 钻钻研成果 透研成果 透彻彻理解理解 9 问题问题六 六 两角差的余弦公式在结构上有怎样的特点呢 生 生 公式中两边的符号正好相反 一负一正 式子右边同名三角函数乘积 的和 式子中 是任意的 式子的逆用也要注意 学生行学生行为为分析与分析与设计设计意意图图 要达到公式的正用 逆用 灵活用 就要对公式有全面 深刻的理解 7 例 例题讲题讲解 深化解 深化应应用用 例例 1 1 0000 cos80 cos20sin80 sin20 2 0000 cos 21 cos 24 sin 21 sin 24 设计设计意意图图 例 1 的安排是为了让学生体会公式的逆用 目的在于培养学生的逆用 意识以及思维的灵活性 例例 2 已知 是第三象限角 求的 4 sin 5 5 cos 213 cos 值 设计设计意意图图 训练学生思维的有序性 思维过程表述的准确性与简洁性 这些都 是三角恒等变换能力所不能忽视的 注意角 的象限 也就是符号问题 8 举举一反三 提高能力一反三 提高能力 练练 1 1 求值 cos80 cos20 sin80 sin20 2 求值 cos80 cos35 cos10 cos55 设计设计意意图图 第 1 小题考察公式的逆用 第 2 小题逐步学会把不符合公式结构变 形使之符合 10 练练 2 例 2 中如果去掉 这一条件 又该怎么做 设计设计意意图图 将例 2 作此延伸 体现讨论的数学思想 9 小 小结结与作与作业业 知识 两角差的余弦公式 方法 数形结合 向量法 应用 两角差的余弦公式的正用 逆用以及解决简单的应用问题 作作业业 目标检测 预习 3 1 2 两角和与差的正弦 余弦 正切