龙泉中学2016届高考数学（理）模拟试题（1）

4 1 2 1 4 22 正视图 侧视图 俯视图 龙泉中学 2016 届高考数学 理 模拟试题 1 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 12 个小题 每小题个小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每个小题给出的四个选项中 只有一项是分 在每个小题给出的四个选项中 只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 1 已知全集集合 则 UR 3 log 1 2xAx yxBy y BACU A B C D 0 0 1 1 1 2 2 复数满足 则 12 z z 12 1zz 12 3zz 12 zz A 1 B C 2 D 22 2 3 某地市高三理科学生有 15000 名 在三月调研测试中 数学成绩服从正态分布 100 2 N 已知 若按成绩分层抽样的方式取 100 份试卷进行分析 则应从 12040 0 10080 P 分以上的试卷中抽取 A 份 B 份 C 份 D 份5101520 4 已知是首项为 1 的等比数列 是的前项和 且 则数列的 n a n S n an 36 9SS 1 n a 前 5 项和为 A B C D 85 32 31 16 15 8 85 2 5 已知实数满足 则 x y 24 1 22 xy xy xy zxy A 最小值为 1 不存在最大值 B 最小值为 2 不存在最大值 C 最大值为 1 不存在最小值 D 最大值为 2 不存在最小值 6 执行下面的程序框图 如果输入的均为 2 则输出的 x tS A 4 B 5 C 6 D 7 7 如图是一个几何体的三视图 则这个几何体的体积为 A B C D 163 326 64 12 646 8 展开合并同类项后的项数是 10 abc A 11 B 45 C 66 D 78 9 某校投篮比赛规则如下 选手若能连续命中两次 即停止投篮 晋级下一轮 假设某选手每次命中率 都是 0 6 且每次投篮结果相互独立 则该选手恰好投篮 4 次晋级下一轮的概率为 A B C D 625 216 625 108 625 36 125 18 10 若函数在上恰有两个极大值和一个极小值 则的取值 2sin 0 f xx 0 2 范围为 A B C D 5 7 4 4 5 7 4 4 7 9 4 4 7 9 4 4 11 已知过抛物线 G 焦点 F 的直线 l 与抛物线 G 交于两点 M 点在 x 轴上方 2 2 0 ypx p M N 满足 则以 M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为3MFFN 16 3 MN A B 22 12 316 333 xy 22 12 316 333 xy C D 22 3 2 3 16xy 22 3 2 3 16xy 12 已知函数 则的取值范围为 nxxmexf x 2 0 0 xffxxfxnm A B C D 4 0 4 0 4 0 4 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 分 13 若 则 1 2 0 3f xxf x dx 1 0 f x dx 14 点在的边所在直线上 且满足 则在平面直角坐标 PABC BC2APmABnAC m nR 系中 动点的轨迹的普通方程为 Q mn mn 15 设的内角所对的边成等比数列 则的取值范围为 ABC A B C a b c sin sin B A 16 符号表示数列的前项和 即 已知数列 1 n i i a n an 12 1 n in i aaaa n a 满足 记 若 1 0a 1 1 nnn aaa nN 1 1 1 k n ak n k Sa 01a 则当取最小值时 2016 0S 2016 1 k a k a 2016 a 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 在 ABC中 点D在边AB上 且 3 B 1BD DADC 若 BCD的面积为 求 3CD 若 求 3AC DCA 18 本小题满分 12 分 从地到地有甲 乙两条线路 甲线路是 乙线路是 ABBDCA BHGFEA 其中段 段 段都是易堵车路段 假设这三条路段堵车与否相互独立 这三条路段的堵CDEFGH 车概率及平均堵车时间如表 1 所示 经调查发现 堵车概率在上变化 在上变化 在x 1 3 2 y 2 1 0 不堵车的情况下 走甲线路需汽油费元 走乙线路需汽油费元 而每堵车 1 小时 需多花汽500545 油费 20 元 为了估计段平均堵车时间 调查了 100 名走甲线路的司机 得到表 2 数据 CD 表 1 表 2 求段平均堵车时间的值 CDa 若只考虑所花汽油费期望值的大小 为了节约 求选择走甲线路的概率 19 本小题满分 12 分 如图 三棱柱中 底面为等腰直角三角形 111 ABCABC ABC1ABAC 1 2BB 1 60ABB 证明 1 ABBC 若 求与平面所成角的正弦值 1 2BC 1 AC 1 BCB 20 本小题满分 12 分 已知椭圆经过点 且离心率为 是椭圆的左 右 22 22 10 xy Eab ab 2 2 2 2 2 12 F FE 焦点 求椭圆的方程 E 若点是椭圆上关于轴对称两点 不是长轴的端点 点是椭圆上异于 A BEy A BPE 的 A B 一点 且直线分别交轴于点 求证 直线与直线的交点在定圆上 PA PBy NM 1 MF 2 NFG 并求出定圆的方程 21 本小题满分 12 分 已知函数 为常数 函数 为常数 且0a ln1f xxkx k 4 ln 1 x g xxex a a 若函数有且只有1个零点 求的取值的集合 f xk 当 中的取最大值时 求证 k 2 2 lnln2 ag xf xa 请考生在第请考生在第 22 23 24 三题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 答题时用三题中任选一题做答 如果多做 则按所做的第一题记分 答题时用 2B 铅笔铅笔 在答题卡上把所选的题号涂黑在答题卡上把所选的题号涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 的弦 相交于 过点作 的切线与的延长线交于OABCDEAODC 点 P6 PA9 EPCDAE 求 BE 求 的半径 O 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中 曲线的参数方程为 为参数 在以为极点 轴的xOy 1 C 22 2 xt yt tOx 正半轴为极轴的极坐标系中 曲线的方程为 2 C 2 2 13sin 求曲线 的直角坐标方程 1 C 2 C 若 分别为曲线 上的任意点 求的最小值 AB 1 C 2 CAB 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 2 2 2 2 3f xxax a 当时 求不等式的解集 1a 2f x 若对于任意非零实数以及任意实数 不等式恒成立 求实数 的取值范ax 2 f xbxa b 围 堵车时间 单位 小时 频数 0 1 8 1 2 6 2 3 38 3 4 24 4 5 24 CD 段EF 段CH 段 堵车概率xy 4 1 平均堵车时间 单位 小时 a21 龙泉中学 2016 届高考数学 理 模拟试题 1 参考答案 一 选择题 1 5 BABBA 6 10 DCCDA 11 12 CB 二 填空题 13 14 15 16 1 6 320 xy 5151 22 1007 三 解答题 17 解 解 因为 即 又因为 所以 3 BCD S 1 sin3 2 BC BDB 3 B 1BD 4BC 在 中 由余弦定理得 BDC 222 2cosCDBCBDBC BDB 即 解得 6 分 2 1 16 1 2 4 113 2 CD 13CD 在 中 可设 则 ACDDADC ADCA ADC 又 由正弦定理 有 所以 3AC sin2sin ACCD 3 2cos CD 在 中 由正弦定理得 BDC 2 2 2 3 BDCBCD sinsin CDBD BBCD 即 化简得 于是 3 1 2cos 2 sinsin 2 33 2 cossin 2 3 2 sin sin 2 23 因为 所以 0 2 22 0 2 22333 所以或 2 2 23 2 2 23 解得 故 12 分 618 或 618 DCADCA 或 18 解 解 以频率代替概率 可得 4 分3 100 24 2 9 100 24 2 7 100 38 2 5 100 6 2 3 100 8 2 1 a 设走甲线路所花汽油费为元 则 xaxE6050020500 设走乙线路多花的汽油费为元 因段为与段堵车与否相互独立 1 4 3 4 1 1 1 0 yyP 1 4 1 20 yP yyP 4 3 4 1 1 40 yP 4 1 60 从而 8 分540 4 1 60 4 3 40 1 4 1 20 1 4 3 0 yyyyyE 走乙线路所花汽油费的数学期望为 9 分yEE40550 545 545 依题意 选走甲线路应满足 即0 60500 40550 xy0546 yx 又由几何概型的概率计算公式可得 2 1 0 1 3 2 yx 12 分 8 7 2 1 3 1 4 1 6 5 1 2 1 1 选甲路 P 19 解 解法一 解 解法一 连结 在中 1 AB 1 ABB 11 1 2 60ABBBABB 由余弦定理得 222 1111 2cos3ABABBBAB BBABB 1 3AB 222 11 BBABAB 1 ABAB 又 为等腰直角三角形 且 ABC ABAC ACAB 又 平面 1 ACABA AB 1 ABC 又 平面 5 分 1 BC 1 ABCAB 1 BC 11 3 1 2ABABACBC 222 11 BCABAC 1 ABAC 如图 以为原点 以的方向分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向建立空间直角坐标系 A 1 AB AC AB 则 7 分 1 0 0 0 03 10 0010ABBC 0 1 1 0 3 1 1 0BBBC 设平面的法向量 1 BCB x y z n 由得令 得 1 0 0 BB BC n n 30 0 xz xy 1z 3xy 平面的一个法向量为 1 BCB 3 3 1 n 111 0 1 01 0 31 1 3ACACCCACBB 1 1 1 3105 cos 35 57 AC AC AC n n n 与平面所成角的正弦值为 12 分 1 AC 1 BCB 105 35 解法二 解法二 同解法一 过点作平面 垂足为 连结 AAH 1 BCBH 1 HC 则为与平面所成的角 1 AC H 1 AC 1 BCB 由 知 1 ABAB 1 3AB 1ABAC 1 2BC 又 平面 222 11 ABACBC 1 ABAC ABACA 1 AB ABC 1 11 1113 3326 BABCABC VSABABACAB 取中点 连结 BCP 1 PB 11 2BBBC 1 PBBC 又在中 RtABC 1ABAC 2BC 2 2 BP x z y A1 B1 C1 A B C C1 B1 A1 A B C A1 B1 C1 P A B C H 22 11 114 4 22 PBB BBP 1 1 17 22 B BC SBCB P 即 11 A BCBBABC VV 1 13 36 BCB SAH 173 326 AH 21 7 AH 平面 平面 1 AB ABCBC ABC 1 ABBC 三棱柱中 111 ABCABC 11 BCBC 11 2BCBC 111 ABBC 在中 22 1111 5ACABBC 1 RtAHC 1 1 21 105 7 sin 355 AH AC H AC 所以与平面所成的角的正弦值为 12 分 1 AC 1 BCB 105 35 20 解 解 由条件得 所以椭圆的方程 4 分4 2 2abc C 22 1 168 xy 设 则 直线的方程为 0011 P B xyx y 00 Axy PA 10 11 10 yy yyxx xx 令 得 故 同理可得0 x 1001 10 x yx y y xx 1001 10 0 x yx y M xx 1001 10 0 x yx y N xx 10011001 12 1010 2 2 2 2 x yx yx yx y FMF N xxxx 所以 2222 100110011001 12 22 101010 2 2 2 2 8 x yx yx yx yx yx y FM F N xxxxxx 22 22 01 10 22 10 8 18 1 1616 88 80 xx xx xx 所以 所以直线与直线交于点在以为直径的圆上 12 FMF N 1 FM 2 F NG 12 FF 该定圆的方程为 12 分 22 8xy 21 解 解 解 x kx xf 1 时 则在 上单调递增 0 k 0 x f xf 0 而 011112 222 kkk ekkekef 011 kf 故在上存在唯一零点 满足题意 xf 1 2 k e 时 令得 令得 则在上单增 在上单0 k 0 x f k x 1 0 x f k x 1 xf k 1 0 1 k 减 若 得 显然满足题意 若 则 而 0 1 k f1 k0 1 k f10 k0 1 e k e f 又 令 则 1 22 ln21 42 ln2 4 2 kkkkk f 1ln xxxh x x xh 1 由 得 由 得 故在上单增 在上单调递减 0 x h1 x 0 x h1 x xh 1 0 1 故 则 即 01 hxh01 22 ln 2 kkk h1 22 ln kk 则 故在上有唯一零点 011 22 ln21 42 ln2 4 2 kkkkk f xf ke 1 1 在上有唯一零点 不符题意 综上 的取值的集合为 5 分 2 4 1 kk k 10 kkk或 由 知 当且仅当时取 1ln xx1 x 而 故 则时 11 4 x a x a x a x a 4 11 4 1 4 ln 1 k 22ln21 4 ln2xxx a aaxexfxag x 22ln222ln2 4 xxaxexxx a aaxe xx 7 分 记 则 22ln2 xxaxexF x 2 12 1 xx axe x x x aexxF 令 则 故在上单调递增 2 x axexG 01