第十一章-含时微扰与量子跃迁.ppt

11 1量子态随时间的演化 含时薛定谔方程的一般讨论 在量子力学中与时间相关的问题可分为两类 1 系统的Hamilton量不依赖时间 如 散射问题或行进问题 初始条件或边界条件的变化使问题与时间相关 2 系统的Hamilton量依赖时间 如 频率调制的谐振子问题 与时间相关的受迫谐振子问题 交变外电磁场下原子中电子的状态跃迁问题 11 1 1Hamilton量不含时的体系 此时含时薛定谔方程的解是 是描述量子态随时间演化的算符 若初态可表示成 其中 则t时刻的波函数是 例题1设一定域电子处于沿x轴方向的均匀磁场B中 不考虑电子的轨道运动 电子的内禀磁矩与外磁场的相互作用是 设初始时刻电子的自旋态为sz的本征态 sz 2 求t时刻电子的自旋波函数 解法一 设t时刻电子的波函数是 代入薛定谔方程得 初始条件 a 0 1 b 0 0 则 两式相加 减得 积分得 上两式相加减得 或 解法二 体系的能量本征态和本征值分别为 电子的自旋初态为 则t时刻的波函数是 11 1 2Hamilton量含时体系的量子迁移的微扰理论 量子态随时间的演化 更有意思的兴趣 在外界作用下体系在定态间跃迁的概率 编时算符 设无外界作用时 体系的Hamilton量为H0 不含时间 包括H0在内的一组力学量完全集F的共同本征态是 n 设体系初始时刻处于某一能量本征态 k 加入微扰后体系的哈密顿是 由于并非力学量完全集中所有的量都是守恒量 因此体系不能保持在本征态 而是处于本征态的线性叠加 在初态条件下求解薛定谔方程 即 将 19 代入 20 得 上式左乘 k 并利用本征函数的归一性得 其中 初始条件 在t时刻测量力学量F得到Fn值的概率是 即体系从初态 k在t时刻跃迁到 n态的概率是Pnk t 单位时间内的跃迁概率 跃迁速率 为 如何求 用微扰法近似求解 零级近似 忽略H 的影响 按照 22 式有 则 根据式 24 有 一级近似 在式 22 右边 令 由此得出一级近似解 且随时间缓慢变化 体系仍有很大的概率停留在原来的态 积分得 因此在准确到微扰一级近似下有 对k k 初态不同于末态 则 上式是微扰一级近似下的跃迁概率公式 上述公式成立的条件是 即跃迁概率很小 体系有很大的概率仍停留在初始状态 选择定则 若H具有某种对称性使得H k k 0 则Pk k 0 即在一级近似下 不能从初态k跃迁到末态k 或者说从k态跃迁到k 态是禁戒的 就相应某种选择定则 注 1 2 如果初态和末态有简并 求跃迁概率时 应对初始能级诸简并态求平均 对终止能级诸简并态求和 如在中心力场中 是从nlm态到n l m 态的跃迁概率 3 量子跃迁并不意味着末态能量与初态能量不同 也可在同能级间跃迁 如弹性散射 此时 此时跃迁概率为 例题2设在 时 一维谐振子处于基态 问经过微扰 时 处在第n个本征态 n 的概率 解 利用公式 及产生与湮灭算符的性质可知 只有 其它均为零 后 在 跃迁概率为 含时间微扰与定态微扰的关系 定态微扰是含时微扰的一种近似 事实上 任何微扰总是与时间有关 如Stark效应 外加电场的时间总是比原子的特征时间大很多 因此微扰随时间的变化率可以认为是足够慢 此时可用定态微扰处理 11 2突发微扰与绝热微扰 11 2 1突发微扰 设体系受到一个突发但有限的微扰的作用 对薛定谔方程两边积分 并取极限可得 说明突发微扰不改变体系的状态 例题3 考虑 衰变 释放一个电子的持续时间 原子中1s轨道电子运动的特征时间为 则 在此短暂的过程中 衰变前原子中的一个K层电子的状态还没有来得及改变 但由于原子核电荷已经改变 原来的状态并不是新原子的能量本征态 即不是新的1s态 那么原子有多大概率处于新的1s态 K层电子的波函数是 则K电子处于新原子1s态的概率是 如Z 10 则P 0 9932 11 2 2绝热微扰 与突发微扰的极端情况相反 绝热近似假定施于体系的微扰作用时间足够长 变化足够慢 假定t 时 体系处在无微扰状态 在 0 的足够长时间内加入微扰 在t 0时 体系的哈密顿量为 称为绝热因子 则 若 足够大 则 11 3周期微扰有限时间内的常微扰 考虑周期为微扰 则在时刻t体系从初态k跃迁到末态k 的跃迁振幅是 跃迁概率是 利用公式 即 可见 当 单位时间内跃迁概率是 常微扰的跃迁概率 设t 0时刻体系处在态 k 在微扰作用下体系跃迁到连续分布或接近连续分布的末态 m 则跃迁概率为 设微扰H 是个常数 只在 0 t 时间间隔内起作用 则体系在t 0时处于 k态 在t t时跃迁到 m态的概率幅为 则 5 6 7 利用公式 并作变量代换 则 近似地 单位时间内的跃迁概率 跃迁速率 为 费米黄金规则 即 8 9 10 11 11 4能量 时间不确定度关系 例题4设粒子的初始状态是 1 2是粒子的两个能量本征态 本征值为E1 E2 则 粒子在空间的概率密度分布是 其中 可见 概率密度随时间周期性变化 变化周期是 记 则 对定态有 上式称为能量 时间的不确定度关系 也满足不确定度关系 例题5设自由粒子用一个波包来描述 波包的宽度为 x 群速度是v 相应于经典粒子的运动速度 波包掠过空间某点所用的时间是 t x v 此波包所描述的粒子的动量的不确定度是 因此能量不确定度是 则 例题6设原子处于激发态 它通过自发辐射而衰变到基态 寿命为 这是一个非定态 其能量不确定度是 E 称为能级宽度 由于寿命的限制 自发辐射光子相应的辐射波列的长度是 x c 因此光子动量的不确定度是 光子能量的不确定度是 因此原子激发态能量也有一个相应的不确定度 即能级宽度 能量 时间不确定度关系的严格证明 证明 设体系的Hamilton量为H 另外一个力学量是A 则有 其中 因为 则 令 表示力学量A的平均值改变 A所需要的时间 则 或写成 上式就是能量 时间不确定度关系 E表示体系所处状态能量的不确定度 t表示该状态的性质有明显改变所需要的时间 或变化周期 例7设末态是自由粒子动量本征态 在箱内动量的本征值为 动量在 内的量子态数为 动量在 内的量子态数为 则在能量间隔 角度在 内的状态数目为 态密度为 概论众所周知 光辐射和物质之间存在相互作用 这种相互作用不仅偶尔会影响光辐射的传播 更决定着光辐射被物质的吸收和发射 经典理论成功地描述了光辐射的传播 然而却无法正确描述光的吸收和发射 量子理论辉煌成就之一在于 能够全面正确地描述光和物质的相互作用 包括相互作用导致的光吸收和光辐射 尽管量子电动力学理论本身还存在着问题 但可以说 它是迄今为止人类所建立的最成功 最精确的物理理论 辐射和物质相互作用的全量子理论应当是从统一的量子化观点处理相互作用着的双方 电磁场和物质粒子 就是说 非相对论量子电动力学 粒子 原子及其中的电子遵从Schr dinger方程 电磁场被量子化成为量子电磁场 相对论量子电动力学 粒子遵从Dirac方程和Klein Gordon方程 电磁场为量子电磁场 这便是常称的量子电动力学的辐射理论 11 5光的发射与吸收 由于课程所限 这里只给出光场对物质作用的量子力学理论 可称作半量子理论 这个理论的实质是对物质中的原子 分子 电子采用量子力学的观点 但对光场却采用经典电磁波观点 于是成为如下一幅物理图象 量子力学中的原子 及原子中的各层电子 在经典电磁场的强迫振动下 发生能级之间的量子跃迁 与此同时便产生出光子或湮灭光子 用半量子理论能够给出光辐射和物质相互作用的一部分正确结果 包括产生或湮灭光子的能量 谱线强度 偏振状态 禁戒规则和角分布等等 但是 由于它的不彻底性 也如同非相对论量子力学的局限性一样 不能解释处于激发态原子的自发辐射 强辐射场中的多光子过程 以及光场中物质粒子的产生和湮灭等进一步的问题 其中的自发辐射问题 爱因斯坦曾依据热力学平衡的一般观念 半唯象但却是普适地处理了自发辐射和受激辐射之间的关系 1 光的吸收与受激辐射 设入射光是平面单色波 其电场强度和磁场强度分别为 原子中的电子受到的电场力和洛伦兹力之比为 因此在原子中只考虑电场的作用 定义 在光的照射下 原子可能吸收光从低能级跃迁到较高能级 或从高能级跃迁到较低能级并放出光 这种现象分别称为光的吸收和受激辐射 处于激发态的原子 即使没有外界光的照射也可能跃迁到某些较低的能级而放出光 这称为自发辐射 1 若入射波是可见光 光的波长远大于玻尔半径 则 则原子内的电场强度可简化为 相应的能量为 其中 取 直接利用周期性微扰公式得 或 只考虑光的吸收 且假定 3 2 4 5 若入射光不是偏振光 光偏振 E0 完全是无规的 则 则有 若入射光是自然光而非单色光 则园频率在 d 中的能量密度为 d 且 则自然光射到原子上 单位时间内的跃迁概率为 6 7 8 定义受激吸收系数 显然 2 选择定则 球坐标与直角坐标的关系 设原子的初态为 末态是 即跃迁概率与入射光中园频率为 mk的光强度成正比 其它频率成分对该跃迁没有贡献 9 10 11 激发辐射系数 利用球谐函数间的关系 可算出 只有当 时 r的矩阵元才不全为零 也即从k到m态的跃迁才可能发生 上述关系称为偶极跃迁选择定则 12 设 是从 m k的自发辐射系数 它表示原子单位时间内从 m自发跃迁到 k的概率 是受激辐射系数 若作用于原子的光波在 d 频率范围内的能量密度为I d 处在能级 m的原子受激跃迁到 k能级 并发出能量为 mk的光子的几率是BmkI mk 受激吸收系数 处在能级 k的原子 吸收能量为 km的光子 受激跃迁到 m能级的概率为BkmI km 2 自发辐射与爱因斯坦理论 当原子和电磁辐射达到平衡后 有 根据玻耳兹曼分布 则 与黑体辐射公式 假定 m能级有Nm个原子 k能级有Nk个原子 则 13 14 15 16 进行对比 并利用 即 在偶极近似条件下有 或 得 17 则可求出 18 19 将式 15 16 代入得 讨论 1 自发辐射与受激辐射之比为 当 时 在室温下T 300K 则 远大于可见光的波长 波长越小 频率越高 可见在可见光区自发辐射远大于受激辐射 2 自发辐射与受激辐射具有相同的选择定则 3 处在受激态 m的Nm个原子 在dt内自发跃迁到 k态的数目为 积分得 4 单位时间内原子自发辐射出的能量为 处于 m态的Nm个原子发出频率为 mk的总辐射强度为 其中 表示处在 m态原子的寿命 求和对所有低于 m的能级进行 例题8计算氢原子 自发衰变寿命 解 波函数形式为 则 平均寿命为 例题9电荷为q的线性谐振子在时间t 0时处于基态 t 0时处在 的电场中 求振子处在各激发态的概率 并讨论t很大时的概率 附 解 因此只有基态向第一激发态跃迁是允许的 因此 例题10在用电子撞击氢原子使氢原子升高到第一激发态的实验中发现 即使入射电子束具有单一能量 引起跃迁的电子在碰撞后的能量也不一样 请解释这一现象 注意原子受激态的寿命通常会很短 2 实验中观测到电子束能量起伏有数量级10 6eV 计算原子受激态的平均寿命 例题11从恒温器发出的温度为1200K的银原子蒸汽 穿过直径为d的小圆孔打到屏上 屏与孔的距离L 1m 提示银原子的能量为kT 2 试用测不准关系证明 用逐渐缩小小孔的办法使打在屏上的斑点直径无限减小是不可能的 2 试估计用改变小孔直径的办法可能得到斑点的最小直径 解 1 粒子穿过小孔时坐标的不确定度为 设亮斑半径为a 则亮班对小孔中心的张角为 由测不准关系 即 显然 考虑到测不准关系 亮斑的直径与小孔的直径成反比 逐渐减小小孔的直径无法使得亮斑的直径无限减小 2 如果不考虑银原子的衍射 则小孔的直径与亮斑的直径相等 若考虑银原子的衍射 则小孔的直径小于亮斑的直径 而当小孔的直径逐渐减小时 则亮斑的直径也逐渐减小 当孔的直径小到与银原子的波长相当时 开始出现衍射现象 即亮斑的直径开始增大 孔的直径越小 亮斑的直径就越大 因此 亮斑的最小直径就是银原子的德布罗意波长 根据题目所给条件可求出银原子的波长 例题12处于基态的氢原子受到脉冲电场 的作用 用微扰论计算电子跃迁到各激发态的概率 以及仍停留在基态的概率 解 自由氢原子的哈密顿为H0 能级为En 本征方程是 设脉冲电场沿z轴方向 则微扰哈密顿为 因此t时刻电子跃迁到 n态的概率是 电子仍留在基态的概率是 例题13已知两种中微子的本征态为 能量本征值为 电子中微子的本征态为 子中微子的本征态为 其中 是混合角 某体系在t 0时刻 电子中微子处于态 求 1 t时刻中微子所处的状态 2 t时刻中微子处于基态的概率 解 例题14设粒子所处的外场均匀 但与时间有关 即V V t 与坐标r无关 试将体系的含时薛定谔方程分离变量 求方程解 r t 的一般形式 并取V t V0cos t 以一维情形为例说明V t 的影响是什么 解 令 代入薛定谔方程得 两边同除 x f t 可得 解得 若取 则 则总的波函数是 显然 外场的作用仅是给平面波提供了一个受时间调制的相角 例题15 设基态氢原子处于弱电场中 微扰哈密顿为 求 1 很长时间后 t 电子跃迁到激发态的概率 已知 2 基态电子跃迁到下列哪个态的概率为零 简述理由 解 微扰为 初态波函数为 利用 2012年复旦大学量子力学研究生入学试题 第一题必做 第二至第七题作其中五题 一 1 写出量子力学五个基本假设2 分别写出在动量表象和坐标表象下的薛定谔方程3 动量和坐标的某种对易关系 不全 4 求 x的本征值和本征态5 求Lz的本征值和本征函数 二 计算波函数某个算符的平均值 三 t0时加入了磁场B B1sin2 0te2 B2cos2 0te3 ei是单位矢量 1 求t 0时电子的波函数 2 画出Sz随时间的变化 3 四 计算各能级的二级近似能量 五 两个自旋为1 2的粒子 磁矩分别是 1和 2 两粒子的距离a AZ Z为矢量 两粒子受磁矩相互作用 1 以S1 S2表示H 2 在 S2 Sz 表象中表示H 3 求哈密顿H的本征值 六 碱金属原子处于势场 1 求所有能级 并与氢原子能级比较 2 七 求中心力场 中高能散射振幅及微分截面 参考答案 三 解 电子与磁场相互作用的哈密顿是 初始条件 五 解 2012年中国科技大学量子力学研究生入学试题 20分 质量为m的粒子被限制在半径为R的平面圆周上运动 转子 已知开始时体系处于状态 A为常数 1 写出t时刻系统的波函数