高考数学圆锥曲线知识点、题型、易误点、技巧总结

高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结 一一 圆锥曲线的两个定义圆锥曲线的两个定义 1 第一定义第一定义中要重视重视 括号括号 内的限制条件内的限制条件 椭圆中椭圆中 与两个定点 F F 的距离的和等于常数 12 且此常数常数一定要大于一定要大于 当常数等于时 轨迹是线段 F F 当常数小于时 2a2a 21F F 21F F 1221F F 无轨迹 双曲线中双曲线中 与两定点 F F 的距离的差的绝对值等于常数 且此常数一定要小于 F F 12 2a2a 1 定义中的 绝对值绝对值 与与 F F F F 不可忽视不可忽视 若 F F 则轨迹是以 F F 为端点的两 2 2a 12 2a 1212 条射线 若 F F 则轨迹不存在 若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支 2 第第2a 12 二定义二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线注意定点和定直线是相应的焦点和准线 且 点点距为分子 点线距为分母点点距为分子 点线距为分母 其商即是离 心率 圆锥曲线的第二定义 给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系 要e 善于运用第二定义对它们进行相互转化运用第二定义对它们进行相互转化 练习 练习 1 1 已知定点 在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是 答 C 0 3 0 3 21 FF A B 4 21 PFPF6 21 PFPF C D 10 21 PFPF12 2 2 2 1 PFPF 2 2 方程表示的曲线是 答 双曲线的左支 2222 6 6 8xyxy 3 3 已知点及抛物线上一动点 P x y 则 y PQ 的最小值是 答 2 0 22 Q 4 2 x y 二二 圆锥曲线的标准方程圆锥曲线的标准方程 标准方程是指中心 顶点 在原点 坐标轴为对称轴时的标准位置的方 程 1 椭圆椭圆 焦点在轴上时 参数方程 其中为参x1 2 2 2 2 b y a x 0ab cos sin xa yb 数 焦点在轴上时 1 方程表示椭圆的充要条件是什么 y 2 2 2 2 b x a y 0ab 22 AxByC ABC 0 且 A B C 同号 A B 2 双曲线双曲线 焦点在轴上 1 焦点在轴上 1 方程x 2 2 2 2 b y a x y 2 2 2 2 b x a y 0 0ab 表示双曲线的充要条件是什么 ABC 0 且 A B 异号 22 AxByC 3 抛物线抛物线 开口向右时 开口向左时 开口向上时 2 2 0 ypx p 2 2 0 ypx p 开口向下时 2 2 0 xpy p 2 2 0 xpy p 练习 练习 1 1 已知方程表示椭圆 则的取值范围为 答 1 23 22 k y k x k 11 3 2 22 2 2 若 且 则的最大值是 的最小值是 答 Ryx 623 22 yxyx 22 yx 5 2 3 3 双曲线的离心率等于 且与椭圆有公共焦点 则该双曲线的方程 2 5 1 49 22 yx 4 4 设中心在坐标原点 焦点 在坐标轴上 离心率的双曲线 C 过点 则 C 的O 1 F 2 F2 e 10 4 P 方程为 答 22 6xy 5 5 已知方程表示焦点在 y 轴上的椭圆 则 m 的取值范围是 1 21 22 m y m x 三三 圆锥曲线焦点位置的判断圆锥曲线焦点位置的判断 首先化成标准方程 然后再判断 1 椭圆椭圆 由 分母的大小决定 焦点在分母大的坐标轴上 x 2 y 2 2 双曲线双曲线 由 项系数的正负决定 焦点在系数为正的坐标轴上 x 2 y 2 3 抛物线抛物线 焦点在一次项的坐标轴上 一次项的符号决定开口方向 特别提醒特别提醒 1 1 在求解椭圆 双曲线问题时 首先要判断焦点位置 焦点 F F 的位置 是椭圆 12 双曲线的定位条件 它决定椭圆 双曲线标准方程的类型 而方程中的两个参数 确定椭圆 双曲 a b 线的形状和大小 是椭圆 双曲线的定形条件 在求解抛物线问题时 首先要判断开口方向 2 在 椭圆中 最大 在双曲线中 最大 a 222 abc c 222 cab 四四 圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质 1 椭圆椭圆 以 为例 范围 焦点 两1 2 2 2 2 b y a x 0ab axabyb 个焦点 对称性 两条对称轴 一个对称中心 0 0 四个顶点 0 c 0 0 xy 0 0 ab 其中长轴长为 2 短轴长为 2 准线 两条准线 离心率 椭圆ab 2 a x c c e a 越小 椭圆越圆 越大 椭圆越扁 01e ee 2 双曲线双曲线 以 为例 范围 或 焦点 22 22 1 xy ab 0 0ab xa xa yR 两个焦点 对称性 两条对称轴 一个对称中心 0 0 两个顶点 其中 0 c 0 0 xy 0 a 实轴长为 2 虚轴长为 2 特别地 当实轴和虚轴的长相等时 称为等轴双曲线 其方程可设为ab 准线 两条准线 离心率 双曲线 等轴双曲线 22 0 xyk k 2 a x c c e a 1e 越小 开口越小 越大 开口越大 两条渐近线 2e ee b yx a 3 抛物线抛物线 以为例 范围 焦点 一个焦点 其 2 2 0 ypx p 0 xyR 0 2 p 中的几何意义是 焦点到准线的距离 对称性 一条对称轴 没有对称中心 只有一个顶点p0y 0 0 准线 一条准线 离心率 抛物线 2 p x c e a 1e 练习 练习 1 1 若椭圆的离心率 则的值是 答 3 或 1 5 22 m yx 5 10 em 3 25 2 2 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时 则椭圆长轴的最小值为 3 3 双曲线的渐近线方程是 则该双曲线的离心率等于 答 或 023 yx 13 2 13 3 4 4 双曲线的离心率为 则 答 4 或 22 1axby 5 a b 1 4 5 5 设双曲线 a 0 b 0 中 离心率 e 2 则两条渐近线夹角 的取值范围是1 2 2 2 2 b y a x 2 答 3 2 6 6 设 则抛物线的焦点坐标为 答 Raa 0 2 4axy 16 1 0 a 五 点五 点和椭圆和椭圆 的关系 的关系 1 点在椭圆外 00 P xy1 2 2 2 2 b y a x 0ab 00 P xy 2 点在椭圆上 1 3 点在椭圆内 22 00 22 1 xy ab 00 P xy 2 2 0 2 2 0 b y a x 00 P xy 22 00 22 1 xy ab 六 六 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系 1 相交 直线与椭圆相交 直线与双曲线相交 但直线与双曲线相交不一0 0 定有 当直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交且只有一个交点 故是直线与0 0 双曲线相交的充分条件 但不是必要条件 直线与抛物线相交 但直线与抛物线相交不一定有0 当直线与抛物线的对称轴平行时 直线与抛物线相交且只有一个交点 故也仅是直线与0 0 抛物线相交的充分条件 但不是必要条件 如如 2 相切 直线与椭圆相切 直线与双曲线相切 直线与抛物线相0 0 0 切 3 相离 直线与椭圆相离 直线与双曲线相离 直线与抛物线相0 0 0 离 特别提醒特别提醒 1 1 直线与双曲线 抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形 相切和相交 如果直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交 但只有一个交点 如果直线与抛物线的轴平行时 直线与抛物线相交 也只有一个交点 2 2 过双曲线 1 外一点的直线与双曲线只有 2 2 2 2 b y a x 00 P xy 一个公共点的情况如下 P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时 有两条与渐近线平行的直 线和分别与双曲线两支相切的两条切线 共四条 P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时 有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线 共四条 P 在两条渐近线上但非原点 只有两条 一条是与另一渐近线平行的直线 一条是切线 P 为原点时不存在这样的直线 3 3 过抛 物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点 两条切线和一条平行于对称轴的直线 练习 练习 1 1 若直线 y kx 2 与双曲线 x2 y2 6 的右支有两个不同的交点 则 k 的取值范围是 2 2 直线 y kx 1 0 与椭圆恒有公共点 则 m 的取值范围是 22 1 5 xy m 3 3 过双曲线的右焦点直线交双曲线于 A B 两点 若 AB 4 则这样的直线有 条1 21 22 yx 4 4 过点作直线与抛物线只有一个公共点 这样的直线有 答 2 4 2 xy8 2 5 5 过点 0 2 与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 1 169 22 yx 6 6 过双曲线的右焦点作直线 交双曲线于 A B 两点 若4 则满足条件的直线 有1 2 2 2 y xl ABl 7 7 对于抛物线 C 我们称满足的点在抛物线的内部 若点在xy4 2 0 2 0 4xy 00 yxM 00 yxM 抛物线的内部 则直线 与抛物线 C 的位置关系是 答 相离 l 2 00 xxyy 8 8 过抛物线的焦点作一直线交抛物线于 P Q 两点 若线段 PF 与 FQ 的长分别是 则xy4 2 Fpq 答 1 qp 11 9 9 设双曲线的右焦点为 右准线为 设某直线交其左支 右支和右准线分别于1 916 22 yx Flm 则和的大小关系为 填大于 小于或等于 答 等于 RQP PFR QFR 10 10 求椭圆上的点到直线的最短距离 答 2847 22 yx01623 yx 8 13 13 11 11 直线与双曲线交于 两点 当为何值时 分别在双曲线的两1 axy13 22 yxABaAB 支上 当为何值时 以 AB 为直径的圆过坐标原点 答 a 3 3 1a 七 焦半径七 焦半径 圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离 的计算方法的计算方法 利用圆锥曲线的第二定义 转化到 相应准线的距离 即焦半径 其中表示 P 到与 F 所对应的准线的距离 red d 练习 练习 1 1 已知椭圆上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3 则点 P 到右准线的距离为 答 1 1625 22 yx 35 3 2 已知抛物线方程为 若抛物线上一点到轴的距离等于 5 则它到抛物线的焦点的距离等于xy8 2 y 3 3 若该抛物线上的点到焦点的距离是 4 则点的坐标为 答 MM7 2 4 4 4 点 P 在椭圆上 它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍 则点 P 的横坐标为 1 925 22 yx 5 5 抛物线上的两点 A B 到焦点的距离和是 5 则线段 AB 的中点到轴的距离为 xy2 2 y 6 椭圆内有一点 F 为右焦点 在椭圆上有一点 M 使 之值最小 1 34 22 yx 1 1 PMFMP2 则点 M 的坐标为 答 1 3 62 八 焦点三角形八 焦点三角形 椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形 问题问题 常利用第一定义和正弦 余弦定理求解 设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为 焦点的 00 P xy 12 F F 12 r r 12 FPF 面积为 则在椭圆中 且当即为短轴端点时 最S1 2 2 2 2 b y a x 1 2 arccos 21 2 rr b 12 rr P 大为 当即为短轴端点时 的最大值 max 2 22 arccos a cb 2 0 tan 2 Sbc y 0 yb P max S 为 bc 对于双曲线的焦点三角形有 22 22 1 xy ab 21 2 2 1arccos rr b 2 cotsin 2 1 2 21 brrS 练习 练习 1 1 短轴长为 离心率的椭圆的两焦点为 过作直线交椭圆于 A B 两点 则5 3 2 e 1 F 2 F 1 F 的周长为 答 6 2 ABF 2 2 设 P 是等轴双曲线右支上一点 F1 F2是左右焦点 若 PF1 6 0 222 aayx0 212 FFPF 则该双曲线的方程为 答 22 4xy 3 3 椭圆的焦点为 F1 F2 点 P 为椭圆上的动点 当 0 时 点 P 的横坐标的取值范 22 1 94 xy PF2 PF1 围是 答 3 5 3 5 55 4 4 双曲线的虚轴长为 4 离心率 e F1 F2是它的左右焦点 若过 F1的直线与双曲线的左支交于 2 6 A B 两点 且是与等差中项 则 答 AB 2 AF 2 BFAB8 2 5 5 已知双曲线的离心率为 2 F1 F2是左右焦点 P 为双曲线上一点 且 60 21 PFF 求该双曲线的标准方程 答 312 21 FPF S 22 1 412 xy 九 抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质九 抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质 1 以过焦点的弦为直径的圆和准线相切 2 设 AB 为焦点弦 M 为准线与 x 轴的交点 则 AMF BMF 3 设 AB 为焦点弦 A B 在准线 上的射影分别为 A B 若 P 为 A B 的中点 则 PA PB 4 若 AO 的延长线交准线于 C 则 BC 平行 1111 于 x 轴 反之 若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点 则 A O C 三点共线 十 弦长公式十 弦长公式 若直线与圆锥曲线相交于两点 A B 且分别为 A B 的横坐标 ykxb 12 x x 则 若分别为 A B 的纵坐标 则 若弦 AB 所AB 2 12 1kxx 12 y yAB 21 2 1 1yy k 在直线方程设为 则 特别地 焦点弦 过焦点的弦 焦点弦的弦xkyb AB 2 12 1kyy 长的计算 一般不用弦长公式计算 而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后 利用第二定义求解 练习 练习 1 1 过抛物线 y2 4x 的焦点作直线交抛物线于 A x1 y1 B x2 y2 两点 若 x1 x2 6 那么 AB 等于 2 2 过抛物线焦点的直线交抛物线于 A B 两点 已知 AB 10 O 为坐标原点 则 ABC 重心的xy2 2 横坐标为 答 3 十一 圆锥曲线的中点弦问题 十一 圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用 韦达定理韦达定理 或或 点差法点差法 求解 在椭圆 中 以为中点的弦所在直线的斜率 k 在双曲线中 以1 2 2 2 2 b y a x 00 P xy 0 2 0 2 ya xb 22 22 1 xy ab 为中点的弦所在直线的斜率 k 在抛物线中 以为中点的 00 P xy 0 2 0 2 ya xb 2 2 0 ypx p 00 P xy 弦所在直线的斜率 k 0 p y 练习 练习 1 1 如果椭圆弦被点 A 4 2 平分 那么这条弦所在的直线方程是 答 22 1 369 xy 280 xy 2 已知直线 y x 1 与椭圆相交于 A B 两点 且线段 AB 的中点在直线 22 22 1 0 xy ab ab L x 2y 0 上 则此椭圆的离心率为 答 2 2 特别提醒特别提醒 因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件 故在求解有关弦长 对称问题时 0 务必别忘了检验 0 十二 你了解下列结论吗十二 你了解下列结论吗 1 双曲线的渐近线方程为 1 2 2 2 2 b y a x 0 2 2 2 2 b y a x 2 以为渐近线 即与双曲线共渐近线 的双曲线方程为为参x a b y 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 数 0 3 中心在原点 坐标轴为对称轴的椭圆 双曲线方程可设为 22 1mxny 4 椭圆 双曲线的通径 过焦点且垂直于对称轴的弦 为 焦准距 焦点到相应准线的距 2 2b a 离 为 抛物线的通径为 焦准距为 2 b c 2pp 5 通径是所有焦点弦 过焦点的弦 中最短的弦 6 若抛物线的焦点弦为 AB 则 2 2 0 ypx p 1122 A x yB xy 12 ABxxp 2 2 1212 4 p x xy yp 7 若 OA OB 是过抛物线顶点 O 的两条互相垂直的弦 则直线 AB 恒经过定点 2 2 0 ypx p 1313 动点轨迹方程 动点轨迹方程 2 0 p 1 求轨迹方程的步骤 建系 设点 列式 化简 确定点的范围 2 求轨迹方程的常用方法 直接法 直接利用条件建立之间的关系 如如已知动点 P 到定点 F 1 0 和直线的距离之 x y 0F x y 3 x 和等于 4 求 P 的轨迹方程 答 或 2 12 4 34 yxx 2 4 03 yxx 待定系数法 已知所求曲线的类型 求曲线方程 先根据条件设出所求曲线的方程 再由条件确定其待定系数 如如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M m 0 端点 A B 到 x 轴距离之积为 2m 以 x 轴为对称轴 过 0 m A O B 三点作抛物线 则此抛物线方程为 答 2 2yx 定义法 先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线 再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程 如如 1 1 由动点 P 向圆作两条切线 PA PB 切点分别为 A B APB 600 则动点 P 的轨迹方程为 22 1xy 答 2 2 点 M 与点 F 4 0 的距离比它到直线的距离小于 1 则点 M 的轨迹方程是 22 4xy 05 xl且 答 3 3 一动圆与两圆 M 和 N 都外切 则动圆 2 16yx 1 22 yx0128 22 xyx 圆心的轨迹为 答 双曲线的一支 代入转移法 动点依赖于另一动点的变化而变化 并且又在某已知曲线上 则可 P x y 00 Q xy 00 Q xy 先用的代数式表示 再将代入已知曲线得要求的轨迹方程 如如动点 P 是抛物线上任一点 x y 00 xy 00 xy12 2 xy 定点为 点 M 分所成的比为 2 则 M 的轨迹方程为 答 1 0 A PA 3 1 6 2 xy 参数法 当动点坐标之间的关系不易直接找到 也没有相关动点可用时 可考虑将均用一中间变量 P x y x y 参数 表示 得参数方程 再消去参数得普通方程 如 如 1 1 AB 是圆 O 的直径 且 AB 2a M 为圆上一动点 作 MN AB 垂足为 N 在 OM 上取点 使 求点的轨迹 答 2 2 若点P OPMN P 22 xya y 在圆上运动 则点的轨迹方程是 答 3 3 11 yxP1 22 yx 1111 yxyxQ 2 1 21 2 yxx 过抛物线的焦点 F 作直线 交抛物线于 A B 两点 则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程是 答 yx4 2 l 2 22xy 注意注意 如果问题中涉及到平面向量知识 那么应从已知向量的特点出发 考虑选择向量的几何形式进行 摘帽子 或脱靴子 转化 还是选择向量的代数形式进行 摘帽子或脱靴子 转化 如如已知椭 圆的左 右焦点分别是 F1 c 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x F2 c 0 Q 是椭圆外的动点 满足点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点 2 1 aQF 点 T 在线 段 F2Q 上 并且满足 1 设为点 P 的横坐 0 0 22 TFTFPTx 标 证明 2 求点 T 的轨迹 C 的方程 3 试问 在点 T 的x a c aPF 1 轨迹 C 上 是否存在点 M 使 F1MF2的面积 S 若存在 求 F1MF2的正切值 若不存在 请说明理由 答 1 略 2 2 b 3 当时不存在 当时存在 此时 F1MF2 2 222 xya 2 b a c 2 b a c 曲线与曲线方程 轨迹与轨迹方程是两个不同的概念 寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点特殊点对轨迹的 完 备性与纯粹性 的影响 在与圆锥曲线相关的综合题中 常借助于常借助于 平面几何性质 数形结合 如角平分线的双重身份 对称性 利用到 角公式 方程与函数性质 化解析几何问题为代数问题 分类讨论思想 化整为零分化处理 求值构造等式 求变 量范围构造不等关系 等等 如果在一条直线上出现出现 三个或三个以上的点三个或三个以上的点 那么可选择应用可选择应用 斜率或向量斜率或向量 为桥梁为桥梁转化 1414 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容 1 给出直线的方向向量或 ku 1 nmu 2 给出与相交 等于已知过的中点 OBOA ABOBOA AB 3 给出 等于已知是的中点 0 PNPMPMN 4 给出 等于已知与的中点三点共线 BQBPAQAP QP AB 5 5 给出以下情形之一 存在实数 若存在实数ACAB ABAC 且 等于已知三点共线 1 OCOAOB 且且CBA 6 给出 等于已知是的定比分点 为定比 即 1 OBOA OPPAB PBAP 7 给出 等于已知 即是直角 给出 等于已知0 MBMAMBMA AMB 0 mMBMA 是钝角 给出 等于已知是锐角 AMB 0 mMBMAAMB 8 给出 等于已知是的平分线 MP MB MB MA MA MPAMB 9 在平行四边形中 给出 等于已知是菱形 ABCD0 ADABADABABCD 10 在平行四边形中 给出 等于已知是矩形 ABCD ABADABAD ABCD 1111 在中 给出 等于已知是的外心 三角形外接圆的圆心 三角形ABC 222 OCOBOA OABC 的外心是三角形三边垂直平分线的交点 1212 在中 给出 等于已知是的重心 三角形的重心是三角形三条中ABC 0 OCOBOAOABC 线的交点 13 在中 给出 等于已知是的垂心 三角形的垂心是ABC OAOCOCOBOBOA OABC 三角形三条高的交点 14 在中 给出等于已知通过的内心 ABC OAOP ABAC ABAC R APABC 15 在中 给出等于已知是的内心 三角形内切圆的圆心 ABC 0 OCcOBbOAaOABC 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点 16 在中 给出 等于已知是中边的中线 ABC 1 2 ADABAC ADABC BC 求解圆锥曲线问题的几种措施 圆锥曲线中的知识综合性较强 因而解题时就需要运用多种基础知识 采用多种数学手段来处理问题 熟记各种 定义 基本公式 法则固然重要 但要做到迅速 准确解题 还须掌握一些方法和技巧 一一 紧扣定义 灵活解题紧扣定义 灵活解题 灵活运用定义 方法往往直接又明了 例 1 已知点 A 3 2 F 2 0 双曲线 P 为双曲线上一点 x y 2 2 3 1 求的最小值 PAPF 1 2 解析 如图所示 双曲线离心率为 2 F 为右焦点 由第二定律知即点 P 到准线距离 1 2 PF PAPFPAPEAM 1 2 5 2 二二 引入参数 简捷明快引入参数 简捷明快 参数的引入 尤如化学中的催化剂 能简化和加快问题的解决 例 2 求共焦点 F 共准线的椭圆短轴端点的轨迹方程 l 解 取如图所示的坐标系 设点 F 到准线的距离为 p 定值 椭圆中心坐标为 M t 0 t 为参数 l 而 p b c 2 ct bpcpt 2 再设椭圆短轴端点坐标为 P x y 则 xct ybpt 消去 t 得轨迹方程ypx 2 三三 数形结合 直观显示数形结合 直观显示 将 数 与 形 两者结合起来 充分发挥 数 的严密性和 形 的直观性 以数促形 用形助数 结合使用 能 使复杂问题简单化 抽象问题形象化 熟练的使用它 常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题 例 3 已知 且满足方程 又 求 m 范围 x yR xyy 22 30 m y x 3 3 解析 的几何意义为 曲线上的点与点 3 3 连线的斜率 如图所 m y x 3 3 xyy 22 30 示 kmk PAPB 33 2 35 2 m 四四 应用平几 一目了然应用平几 一目了然 用代数研究几何问题是解析几何的本质特征 因此 很多 解几 题中的一些图形性质就和 平几 知识相关联 要 抓住关键 适时引用 问题就会迎刃而解 例 4 已知圆和直线的交点为 P Q 则的值为 xy 34 22 ymx OP OQ 解 OMPOQN OP OQOM ON 5 五五 应用平面向量 简化解题应用平面向量 简化解题 向量的坐标形式与解析几何有机融为一体 因此 平面向量成为解决解析几何知识的有力工具 例 5 已知椭圆 直线 P 是上一点 射线 OP 交椭圆于一点 R 点 Q 在 OP 上 xy 22 2416 1 l xy 128 1 l 且满足 当点 P 在上移动时 求点 Q 的轨迹方程 OQ OPOR 2 l 分析 考生见到此题基本上用的都是解析几何法 给解题带来了很大的难度 而如果用向量共线的条件便可简便 地解出 解 如图 共线 设 则OQOROP OROQ OPOQ OQxy ORxy OPxy OQ OPOR 2 OQOQ 222 2 点 R 在椭圆上 P 点在直线上 l 2222 2416 1 xy xy 128 1 即 xyxy 22 2416128 化简整理得点 Q 的轨迹方程为 直线上方部分 xy 1 5 2 1 5 3 1 22 yx 2 3 六六 应用曲线系 事半功倍应用曲线系 事半功倍 利用曲线系解题 往往简捷明快 收到事半功倍之效 所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一 例 6 求经过两圆和的交点 且圆心在直线上的xyx 22 640 xyy 22 6280 xy 40 圆的方程 解 设所求圆的方程为 xyxxyy 2222 646280 11662840 22 xyxy 则圆心为 在直线上 3 1 3 1 xy 40 解得 7 故所求的方程为xyxy 22 7320 七七 巧用点差 简捷易行巧用点差 简捷易行 在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程 往往采用点差法 此法比其它方法更简捷一些 例 7 过点 A 2 1 的直线与双曲线相交于两点 P1 P2 求线段 P1P2中点的轨迹方程 x y 2 2 2 1 解 设 则P xy 111 P xy 222 x y x y 1 2 1 2 2 2 2 2 2 11 2 12 得 xxxx yyyy 2112 2112 2 即 yy xx xx yy 21 21 12 12 2 设 P1P2的中点为 则M xy 00 k yy xx x y P P 1 2 21 21 0 0 2 又 而 P1 A M P2共线k y x AM 0 0 1 2 即 kk P PAM 1 2 y x x y 0 0 0 0 1 2 2 中点 M 的轨迹方程是 P P 12 240 22 xyxy 解析几何题怎么解解析几何题怎么解 高考解析几何试题一般共有 4 题 2 个选择题 1 个填空题 1 个解答题 共计 30 分左右 考查的知识点约为 20 个左 右 其命题一般紧扣课本 突出重点 全面考查 选择题和填空题考查直线 圆 圆锥曲线 参数方程和极坐标系中的基础 知识 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点 通过知识的重组与链接 使知识形成网络 着重考查直线与圆锥曲线的 位置关系 求解有时还要用到平几的基本知识 这点值得考生在复课时强化 例 1 已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点 AB 2 OT t 0 t 1 以 AB 为直腰作直角梯形 使BBAA 垂直且等于 AT 使垂直且等于 BT 交半圆于 P Q 两点 建立如图所示的直角坐标系 AA BB BA 1 写出直线的方程 2 计算出点 P Q 的坐标 BA 3 证明 由点 P 发出的光线 经 AB 反射后 反射光线通过点 Q 讲解 通过读图 看出点的坐标 B A 1 显然 于是 直线 tA 1 1 tB 11BA 的方程为 1 txy 2 由方程组解出 1 1 22 txy yx 10P 2 2 2 1 1 1 2 t t t t Q 3 tt kPT 1 0 01 ttt t t t t t t kQT 1 1 1 1 2 0 1 1 2 2 2 2 2 由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知 由点 P 发出的光线经点 T 反射 反射光线通过点 Q 需要注意的是 Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式 有趣吗 例 2 已知直线 l 与椭圆有且仅有一个交点 Q 且与 x 轴 y 轴分别交于 R S 求以线段 0 1 2 2 2 2 ba b y a x SR 为对角线的矩形 ORPS 的一个顶点 P 的轨迹方程 讲解 从直线 所处的位置 设出直线 的方程 ll 由已知 直线 l 不过椭圆的四个顶点 所以设直线 l 的方程为 0 kmkxy 代入椭圆方程 得 222222 bayaxb 2 22222222 bamkmxxkaxb 化简后 得关于的一元二次方程 x 02 222222222 bamamxkaxbka 于是其判别式 4 4 2 222222222222222 mbkababamabkamka 由已知 得 0 即 2222 mbka 在直线方程中 分别令 y 0 x 0 求得mkxy 0 0 mS k m R 令顶点 P 的坐标为 x y 由已知 得 ym x y k my k m x 解得 代入 式并整理 得 即为所求顶点 P 的轨迹方程 1 2 2 2 2 y b x a 方程形似椭圆的标准方程 你能画出它的图形吗 1 2 2 2 2 y b x a 例 3 已知双曲线的离心率 过的直线到原点的距离是1 2 2 2 2 b y a x 3 32 e 0 0 bBaA 2 3 1 求双曲线的方程 2 已知直线交双曲线于不同的点 C D 且 C D 都在以 B 为圆心的圆上 求 k 的值 0 5 kkxy 讲解 1 原点到直线 AB 的距离 3 32 a c 1 b y a x 3 1 2 3 22 ab c ab ba ab d 故所求双曲线方程为 1 3 2 2 y x 2 把中消去 y 整理得 335 22 yxkxy代入07830 31 22 kxxk 设的中点是 则CDyxDyxC 2211 00 yxE 012 000 22 0 11551 5 21313 BE yxxk xykxk kkxk 即 0 00 kkyx7 0 0 31 5 31 15 2 22 kkk k k k k 又 故所求 k 为了求出的值 需要通过消元 想法设法建构的方程 7kk 例 4 已知椭圆 C 的中心在原点 焦点 F1 F2在 x 轴上 点 P 为椭圆上的一个动点 且 F1PF2的最大值为 90 直 线 l 过左焦点 F1与椭圆交于 A B 两点 ABF2的面积最大值为 12 1 求椭圆 C 的离心率 2 求椭圆 C 的方程 讲解 1 设 对 由余弦定理 得 112212 2PFrPFrFFc 21F PF 1 2 2 44 1 2 44 2 42 2 4 cos 221 22 21 22 21 2 21 2 21 21 22 2 1 1 21 rr ca rr ca rr crrrr rr crr PFF 021 2 e 解出 2 2 e 2 考虑直线 的斜率的存在性 可分两种情况 l i 当 k 存在时 设 l 的方程为 cxky 椭圆方程为 由 得 1 2211 2 2 2 2 yxByxA b y a x 2 2 e 2222 2cbca 于是椭圆方程可转化为 222 220 xyc 将 代入 消去得 y 02 2 2222 ccxkx 整理为的一元二次方程 得 x 0 1 24 21 22222 kcxckxk 则 x1 x2是上述方程的两根 且 2 2 12 21 122 k kc xx 2 2 12 2 21 1 22 1 k kc xxkAB AB 边上的高 1 2sin 2 2121 k k cFBFFFh 也可这样求解 2 1 2121 yyFFS 21 xxkc c k k k k cS2 1 21 1 22 2 1 2 2 2 224 2222 224 42 1 1 2 22 22 22 1 12144 4 kkkk cccc kkk kk ii 当 k 不存在时 把直线代入椭圆方程得 cx 2 21 2 22 22 yc ABc Scc 由 知 S 的最大值为 由题意得 12 所以 2 2c 2 2c 22 26bc 212 2 a 故当 ABF2面积最大时椭圆的方程为 1 26212 22 yx 下面给出本题的另一解法 请读者比较二者的优劣 设过左焦点的直线方程为 cmyx 这样设直线方程的好处是什么 还请读者进一步反思反思 椭圆的方程为 1 2211 2 2 2 2 yxByxA b y a x 由得 于是椭圆方程可化为 2 2 e 2 2222 cbca 022 222 cyx 把 代入 并整理得 02 2 222 cmcyym 于是是上述方程的两根 21 y y 222 121221 1 ABxxyymyy 2 2 44 1 2 2222 2 m mccm m 2 1 22 2 2 m mc AB 边上的高 2 1 2 m c h 从而 2 2 2 2 2 2 2 1 22 1 2 2 1 22 2 1 2 1 m m c m c m mc hABS 2 2 1 1 1 1 22 2 2 2 2 c m m c 当且仅当 m 0 取等号 即 2 2 max cS 由题意知 于是 122 2 c212 26 222 acb 故当 ABF2面积最大时椭圆的方程为 1 26212 22 yx 例 5 已知直线与椭圆相交于 A B 两点 且线段 AB 的中点在直线1 xy 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 上 求此椭圆的离心率 02 yxl 2 若椭圆的右焦点关于直线 的对称点的在圆上 求此椭圆的方程 l4 22 yx 讲解 1 设 A B 两点的坐标分别为 得 1 1 2 2 2 2 2211 b y a x xy yxByxA 则由 02 2222222 baaxaxba 根据韦达定理 得 2 2 2 22 2 2121 22 2 21 ba b xxyy ba a xx 线段 AB 的中点坐标为 22 2 22 2 ba b ba a 由已知得 故椭圆的离心率为 222222 22 2 22 2 2 22 0 2 cacaba ba b ba a 2 2 e 2 由 1 知从而椭圆的右焦点坐标为 设关于直线的对称点为 cb 0 bF 0 bF02 yxl 解得 0 2 2 2 1 2 10 00 0 0 00 ybx bx y yx且则bybx 5 4 5 3 00 且 由已知得 故所求的椭圆方程为 4 4 5 4 5 3 4 2222 0 2 0 bbbyx1 48 22 yx 例 6 已知 M 轴上的动点 QA QB 分别切 M 于 A B 两点 xQyx是 1 2 22 1 如果 求直线 MQ 的方程 2 求动弦 AB 的中点 P 的轨迹 3 24 AB 方程 讲解 1 由 可得 3 24 AB 由射影定理 得 3 1 3 22 1 2 2222 AB MAMP 在 Rt MOQ 中 3 2 MQMQMPMB得 故 523 2222 MOMQOQ55 aa或 所以直线 AB 方程是 0525205252 yxyx或 2 连接 MB MQ 设由点 M P Q 在一直线上 得 0 aQyxP 22 x y a 由射影定理得即 2 MQMPMB 14 2 222 ayx