2018年人教版高中数学必修四知识点归纳总结

1 人教版高中数学必修四知人教版高中数学必修四知识识点点归纳总结归纳总结 1 1 1 任意角 1 角的有关概念 角的定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 角的名称 角的分类 正角 按逆时针方向旋转形成的角 零角 射线没有任何旋转形成的角 注意 在不引起混淆的情况下 角 或 可以简化成 零角的终边与始边重合 如果 是零角 0 角的概念经过推广后 已包括正角 负角和零角 2 象限角的概念 定义 若将角顶点与原点重合 角的始边与 x 轴的非负半轴重合 那么角的终边 端点除 外 在第几象限 我们就说这个角是第几象限角 1 1 2 弧度制 一 1 定 义 我们规定 长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 用弧度来度量角的单位制 叫做弧度制 在弧度制下 1 弧度记做 1rad 在实际运算中 常常将 rad 单位省略 弧度制的性质 半圆所对的圆心角为 整圆所对的圆心角为 r r 2 2 r r 正角的弧度数是一个正数 负角的弧度数是一个负数 零角的弧度数是零 角 的弧度数的绝对值 r l 4 角度与弧度之间的转换 将角度化为弧度 2360 180rad01745 0 180 1 rad n n 180 将弧度化为角度 3602 180 815730 57 180 1 rad 180 n n 5 常规写法 用弧度数表示角时 常常把弧度数写成多少 的形式 不必写成小数 弧度与角度不能混用 6 特殊角的弧度 负角 按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B 2 角 度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧 度 0 6 4 3 2 3 2 4 3 6 5 2 3 2 7 弧长公式 rl r l 弧长等于弧所对应的圆心角 的弧度数 的绝对值与半径的积 4 1 2 1 任意角的三角函数 三 1 三角函数的定义 2 诱导公式 Z tan 2tan Z cos 2cos Z sin 2sin kk kk kk 当角的终边上一点的坐标满足时 有三角函数正弦 余弦 正切值的几 P x y 22 1xy 何表示 三角函数线 1 有向线段 坐标轴是规定了方向的直线 那么与之平行的线段亦可规定方向 规定 与坐标轴方向一致时为正 与坐标方向相反时为负 有向线段 带有方向的线段 2 三角函数线的定义 设任意角的顶点在原点 始边与轴非负半轴重合 终边与单位圆相交与点 OxP x y 过作轴的垂线 垂足为 过点作单位圆的切线 它与角的终边或其反向延PxM 1 0 A 长线交与点 T 由四个图看出 当角的终边不在坐标轴上时 有向线段 于是有 OMx MPy ox y M T P A ox y M TP A x y oM T P A x y o M T P A 3 sin 1 yy yMP r cos 1 xx xOM r tan yMPAT AT xOMOA 我们就分别称有向线段为正弦线 余弦线 正切线 MP OM AT 说明 1 三条有向线段的位置 正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段 余弦线 x 在轴上 正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上 三条有向线段中两条在单位圆 xx 内 一条在单位圆外 2 三条有向线段的方向 正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点 余弦线由原点指 向垂足 正切线由切点指向与的终边的交点 3 三条有向线段的正负 三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值 与轴或轴反向 x y x y 的为负值 4 三条有向线段的书写 有向线段的起点字母在前 终点字母在后面 4 1 2 1 任意角的三角函数 1 1 三角函数定义 在直角坐标系中 设 是一个任意角 终边上任意一点 除了原点 的坐标为 P x y 它与原点的距离为 那么 2222 0 r rxyxy 1 比值叫做 的正弦 记作 即 y r sin sin y r 2 比值叫做 的余弦 记作 即 x r cos cos x r 3 比值叫做 的正切 记作 即 y x tan tan y x 4 比值叫做 的余切 记作 即 x y cot cot x y 说明 的始边与轴的非负半轴重合 的终边没有表明 一定是正角或负角 以及x 的大小 只表明与 的终边相同的角所在的位置 根据相似三角形的知识 对于确定的角 四个比值不以点在 的终边上 P x y 的位置的改变而改变大小 当时 的终边在轴上 终边上任意一点的横坐标都等于 2 kkZ yx0 所以无意义 同理当时 无意义 tan y x kkZ y x cot 除以上两种情况外 对于确定的值 比值 分别是一个确定的实 y r x r y x x y 数 正弦 余弦 正切 余切是以角为自变量 比值为函数值的函数 以上四种函数统称为三 角函数 函 数定 义 域值 域 siny R 1 1 4 2 三角函数的定义域 值域 注意 1 在平面直角坐标系内研究角的问题 其顶点都在原点 始边都与 x 轴的非负半轴重合 2 是任意角 射线 OP 是角 的终边 的各三角函数值 或是否有意义 与 ox 转了 几圈 按什么方向旋转到 OP 的位置无关 3 sin是个整体符号 不能认为是 sin 与 的积 其余五个符号也是这样 4 任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别 锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例 它们的基础共建立于相似 直角 三角形 的性质 r 同为正值 所不同的是 锐角三角函数是以边的比来定义的 任意角的三角函 数是以坐标与距离 坐标与坐标 距离与坐标的比来定义的 它也适合锐角三角函数的定义 实质上 由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过 程 5 为了便于记忆 我们可以利用两种三角函数定义的一致性 将直角三角形置于平面直角 坐标系的第一象限 使一锐角顶点与原点重合 一直角边与 x 轴的非负半轴重合 利用我们 熟悉的锐角三角函数类比记忆 3 例题分析 例 1 求下列各角的四个三角函数值 通过本例总结特殊角的三角函数值 1 2 3 0 3 2 解 1 因为当时 所以0 xr 0y 不存在 sin00 01cos tan00 cot0 2 因为当时 所以 xr 0y 不存在 sin0 cos1 tan0 cot 3 因为当时 所以 3 2 0 x yr 不存在 3 sin1 2 3 cos0 2 3 tan 2 3 cot0 2 例 2 已知角 的终边经过点 求 的四个函数值 2 3 P 解 因为 所以 于是2 3xy 22 2 3 13r 33 13 sin 1313 y r 22 13 cos 1313 x r 3 tan 2 y x 2 cot 3 x y 例 3 已知角 的终边过点 求 的四个三角函数值 2 0 aa a 解 因为过点 所以 2 0 aa a 5 ra 2xa ya 当 222 5 0sin 55 5 yaa a raa 时 5 cos 55 xaa ra 15 tan2 cot sec5 csc 22 cosy R 1 1 tany 2 kkZ R 5 当 222 5 0sin 55 5 yaa a raa 时 5 cos 55 xaa ra 15 tan2 cot sec5 csc 22 4 三角函数的符号 由三角函数的定义 以及各象限内点的坐标的符号 我们可以得知 正弦值对于第一 二象限为正 对于第三 四象限为负 y r 0 0yr 0 0yr 余弦值对于第一 四象限为正 对于第二 三象限为负 x r 0 0 xr 0 0 xr 正切值对于第一 三象限为正 同号 对于第二 四象限为负 异号 y x x y x y 说明 若终边落在轴线上 则可用定义求出三角函数值 5 诱导公式 由三角函数的定义 就可知道 终边相同的角三角函数值相同 即有 sin 2 sink 其中 cos 2 cosk kZ tan 2 tank 这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为 0 2 间角的三角函数值问题 4 1 2 2 同角三角函数的基本关系 一 同角三角函数的基本关系式 1 由三角函数的定义 我们可以得到以下关系 1 商数关系 2 平方关系 con sin tan 1sin 22 con 说明 注意 同角 至于角的形式无关重要 如等 22 sin 4cos 41 注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的 如 tancot1 2 k kZ 对这些关系式不仅要牢固掌握 还要能灵活运用 正用 反用 变形用 如 等 2 cos1 sin 22 sin1 cos sin cos tan 总结 1 已知一个角的某一个三角函数值 便可运用基本关系式求出其它三角函数值 在求值 中 确定角的终边位置是关键和必要的 有时 由于角的终边位置的不确定 因此解 的情况不止一种 2 解题时产生遗漏的主要原因是 没有确定好或不去确定角的终边位置 利用平方 关系开平方时 漏掉了负的平方根 小结 化简三角函数式 化简的一般要求是 1 尽量使函数种类最少 项数最少 次数最低 2 尽量使分母不含三角函数式 3 根式内的三角函数式尽量开出来 4 能求得数值的应计算出来 其次要注意在三角函数式变形时 常将式子中的 1 作巧 妙的变形 6 1 3 诱导公式 1 诱导公式 五 sin 2 cos cos 2 sin 2 诱导公式 六 sin 2 cos cos 2 sin 总结为一句话 函数正变余 符号看象限 小结 三角函数的简化过程图 三角函数的简化过程口诀 负化正 正化小 化到锐角就行了 1 4 1 正弦 余弦函数的图象 1 用单位圆中的正弦线 余弦线作正弦函数 余弦函数的图象 几何法 为了作三角函 数的图象 三角函数的自变量要用弧度制来度量 使自变量与函数值都为实数 1 函数 y sinx 的图象 第一步 在直角坐标系的 x 轴上任取一点 以为圆心作单位圆 从这个圆与 x 轴 1 O 1 O 的交点 A 起把圆分成 n 这里 n 12 等份 把 x 轴上从 0 到 2 这一段分成 n 这里 n 12 等份 预备 取自变量 x 值 弧度制下角与实数的对应 第二步 在单位圆中画出对应于角 2 的正弦线正弦线 等价于 6 0 3 2 列表 把角 x 的正弦线向右平行移动 使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合 则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点 等价于 描点 第三步 连线 用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来 就得到正弦函数 y sinx x 0 2 的图象 根据终边相同的同名三角函数值相等 把上述图象沿着 x 轴向右和向左连续地平行移动 每次移动的距离为 2 就得到 y sinx x R 的图象 把角 x的正弦线平行移动 使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合 则正 xR 弦线的终点的轨迹就是正弦函数 y sinx 的图象 公式一或二或四 任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数 00 3600间角 的三角函数 00 900间角 的三角函数 查表 求值 公式一或三 7 2 余弦函数 y cosx 的图象 根据诱导公式 可以把正弦函数 y sinx 的图象向左平移单位即得余cossin 2 xx 2 弦函数 y cosx 的图象 正弦函数 y sinx 的图象和余弦函数 y cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线 2 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 描点法 正弦函数 y sinx x 0 2 的图象中 五个关键点是 0 0 1 0 1 2 2 3 2 0 余弦函数 y cosx x 0 2 的五个点关键是哪几个 0 1 0 1 0 2 2 3 2 1 1 4 2 正弦 余弦函数的性质 一 1 周期函数定义 对于函数 f x 如果存在一个非零常数 T 使得当 x 取定义域内的每一 个值时 都有 f x T f x 那么函数 f x 就叫做周期函数 非零常数 T 叫做这个函 数的周期 问题 1 对于函数 有 能否说是它的周期 sinyx xR 2 sin sin 636 2 3 2 正弦函数 是不是周期函数 如果是 周期是多少 且sinyx xR 2k kZ 0k 3 若函数的周期为 则 也是的周期吗 为什么 f xTkT kZ f x 是 其原因为 2 f xf xTf xTf xkT 2 说明 1 周期函数 x 定义域 M 则必有 x T M 且若 T 0 则定义域无上界 T 0 则定义域无下界 2 每一个值 只要有一个反例 则 f x 就不为周期函数 如 f x0 t f x0 3 T 往往是多值的 如 y sinx 2 4 2 4 都是周期 周期 T 中最小的正数叫做 f x 的最小正周期 有些周期函数没有最小正周期 y sinx y cosx 的最小正周期为 2 一般称为周期 从图象上可以看出 的最小正周期为sinyx xR cosyx xR y cosx y sinx 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 1 1 y x 1 1 o x y 8 2 判断 是不是所有的周期函数都有最小正周期 没有最小正周期 f xc 说明 1 一般结论 函数及函数 其中 sin yAx cos yAx xR A 为常数 且 的周期 0A 0 2 T 2 若 如 0 3cos yx sin 2 yx 1 2sin 26 yx xR 则这三个函数的周期又是什么 一般结论 函数及函数 的周期sin yAx cos yAx xR 2 T 1 4 2 2 正弦 余弦函数的性质 二 1 奇偶性 1 余弦函数的图形 当自变量取一对相反数时 函数 y 取同一值 2 正弦函数的图形 2 单调性 从 y sinx x 的图象上可看出 2 3 2 当 x 时 曲线逐渐上升 sinx 的值由 1 增大到 1 2 2 当 x 时 曲线逐渐下降 sinx 的值由 1 减小到 1 2 2 3 结合上述周期性可知 正弦函数在每一个闭区间 2k 2k k Z 上都是增函数 其值从 1 增大 2 2 到 1 在每一个闭区间 2k 2k k Z 上都是减函数 其值从 1 减小到 1 2 2 3 余弦函数在每一个闭区间 2k 1 2k k Z 上都是增函数 其值从 1 增加到 1 在每一个闭区间 2k 2k 1 k Z 上都是减函数 其值从 1 减小到 1 3 有关对称轴 观察正 余弦函数的图形 可知 y sinx 的对称轴为 x k Z y cosx 的对称轴为 x k Z 2 k k 1 4 3 正切函数的性质与图象 1 正切函数的定义域 tanyx zkkxx 2 2 正切函数是周期函数 9 tantan 2 xx xRxkkz 且 是的一个周期 tan 2 yx xRxkkz 且 是不是正切函数的最小正周期 下面作出正切函数图象来判断 3 作 的tanyx x 2 2 图 象 说明 1 正切函数的最小正周期 不能比小 正切函数的最小正周 期 是 2 根据正切函数的周期性 把上述图象向左 右扩展 得到正切函数 且的图象 称 正切曲线 Rxxy tan zkkx 2 3 正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的 2 xkkZ 4 正切函数的性质 1 定义域 zkkxx 2 2 值域 R 观察 当从小于 时 x zkk 2 2 kx tan x 当从大于 时 x zkk 2 kx 2 xtan 3 周期性 T 4 奇偶性 由知 正切函数是奇函数 xxtantan O 0 2 3 2 2 2 3 y y x x 10 5 单调性 在开区间内 函数单调递增 zkkk 2 2 1 5 函数 y Asin x 的图象 二 的的物物理理意意义义 其其中中 二二 函函数数 0 0 0 sin A Axxy 函数表示一个振动量时 A 这个量振动时离开平衡位置的最大距离 称为 振幅 T 2 T间 称为 周期 往复振动一次所需的时 f 2T 1 次数 称为 频率 单位时间内往返振动的 f 称为 相位 x x 0 时的相位 称为 初相 2 1 1 向量的物理背景与概念及向量的几何表示 一 向量的概念 我们把既有大小又有方向的量叫向量 1 数量与向量的区别 数量只有大小 是一个代数量 可以进行代数运算 比较大小 向量有方向 大小 双重性 不能比较大小 2 向量的表示方法 用有向线段表示 用字母 黑体 印刷用 等表示 用有向线段的起点与终点字母 向量的大小 长度称为向量的模 记作 ABABAB 3 有向线段 具有方向的线段就叫做有向线段 三个要素 起点 方向 长度 向量与有向线段的区别 1 向量只有大小和方向两个要素 与起点无关 只要大小和方向相同 这两个向量就 是相同的向量 2 有向线段有起点 大小和方向三个要素 起点不同 尽管大小和方向相同 也是不 同的有向线段 4 零向量 单位向量概念 长度为 0 的向量叫零向量 记作 0 0 的方向是任意的 注意 0 与 0 的含义与书写区别 长度为 1 个单位长度的向量 叫单位向量 说明 零向量 单位向量的定义都只是限制了大小 5 平行向量定义 方向相同或相反的非零向量叫平行向量 我们规定 0 与任一向量平行 2 1 2 y o x 8 8 3 8 7 2 1 2 y o x 8 8 3 8 7 A 起点 B 终点 a 11 说明 1 综合 才是平行向量的完整定义 2 向量 平行 记作 2 1 2 相等向量与共线向量 1 相等向量定义 长度相等且方向相同的向量叫相等向量 说明 1 向量 与 相等 记作 2 零向量与零向量相等 3 任意两个相等的非零向量 都可用同一条有向线段表示 并且与有向线段的起点无关 2 共线向量与平行向量关系 平行向量就是共线向量 因为任一组平行向量都可移到同一直线上 与有向线段的起点 无关 说明 1 平行向量可以在同一直线上 要区别于两平行线的位置关系 2 共线向量可以相互平行 要区别于在同一直线上的线段的位置关系 2 2 1 向量的加法运算及其几何意义 向量的加法 求两个向量和的运算 叫做向量的加法 三角形法则 首尾相接 首尾连 如图 已知向量 a 在平面内任取一点 作 a 则向量叫做 aAABBCAC 与 的和 记作 a 即 a 规定 a 0 0 aACBCAB 1 两向量的和仍是一个向量 2 当向量与不共线时 ab 当向量与不共线时 的方向不同向 且 则 的方向与相同 且 abababaabab A B C a b a b a a b b a a 12 若 0 a b a b cos a b a b cos a b a b cos 若 0 a b a b cos a b cos a b cos a b a b cos a b a b cos a b cos a b cos 3 分配律 a b c a c b c 在平面内取一点 O 作 a b c a b 即 在 c 方向上的投OAABOCOB 影等于 a b 在 c 方向上的投影和 即 a b cos a cos 1 b cos 2 c a b cos c a cos 1 c b cos 2 c a b c a c b 即 a b c a c b c 说明 1 一般地 2 0 16 3 有如下常用性质 2 4 2 平面向量数量积的坐标表示 模 夹角 1 平面两向量数量积的坐标表示 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 即ba 2121 yyxx 2 平面内两点间的距离公式 1 设 则或 yxa 222 yxa 22 yxa 2 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为 a 11 yx 22 yx 那么 平面内两点间的距离公式 2 21 2 21 yyxxa 3 向量垂直的判定 设 则 11 yxa 22 yxb ba 0 2121 yyxx 4 两向量夹角的余弦 0 cos 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx ba ba 2 5 1 平面几何中的向量方法 运用向量方法解决平面几何问题的 三步曲 1 建立平面