专题圆锥曲线大题有答案

1 直线和圆锥曲线常考题型直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识 1 中点坐标公式 其中是点的中点坐标 1212 y 22 xxyy x x y 1122 A x yB xy 2 弦长公式 若点在直线上 1122 A x yB xy 0 ykxb k 则 这是同点纵横坐标变换 是两大坐标变换技巧之一 1122 ykxbykxb 222222 1212121212 1 ABxxyyxxkxkxkxx 22 1212 1 4 kxxx x 或者 22222 1212121212 2 111 1 ABxxyyxxyyyy kkk 2 1212 2 1 1 4 yyy y k 3 两条直线垂直 则 111222 lyk xb lyk xb 12 1k k 两条直线垂直 则直线所在的向量 12 0v v A 4 韦达定理 若一元二次方程有两个不同的根 则 2 0 0 axbxca 12 x x 1212 bc xxx x aa 常见的一些题型 题型一 数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型一 数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题 1 已知直线与椭圆始终有交点 求的取值范围 1l ykx 22 1 4 xy C m m 解 根据直线的方程可知 直线恒过定点 0 1 椭圆过动点 如 1l ykx 22 1 4 xy C m 0 4mm 且 果直线和椭圆始终有交点 则 即 1l ykx 22 1 4 xy C m 14mm 且14mm 且 规律提示 通过直线的代数形式 可以看出直线的特点 101l ykx 过定点 1 1l yk x 过定点 0 2 1 1l yk x 过定点 2 题型二 弦的垂直平分线问题题型二 弦的垂直平分线问题 例题 2 过点 T 1 0 作直线 与曲线 N 交于 A B 两点 在 x 轴上是否存在一点 E 0 使得是等l 2 yx 0 xABE 边三角形 若存在 求出 若不存在 请说明理由 0 x 解 依题意知 直线的斜率存在 且不等于 0 2 设直线 1 l yk x 0k 11 A x y 22 B xy 由消 y 整理 得 2 1 yk x yx 2222 21 0k xkxk 由直线和抛物线交于两点 得 2242 21 4410kkk 即 2 1 0 4 k 由韦达定理 得 则线段 AB 的中点为 2 12 2 21 k xx k 12 1x x 2 2 211 22 k kk 线段的垂直平分线方程为 令 y 0 得 则 2 2 111 2 22 k yx kkk 0 2 11 22 x k 2 11 0 22 E k 为正三角形 到直线 AB 的距离 d 为 ABE 2 11 0 22 E k 3 2 AB 22 1212 ABxxyy 2 2 2 1 4 1 k k k A 2 1 2 k d k 解得满足 式此时 22 2 2 3 1 41 1 22 kk k kk A 39 13 k 0 5 3 x 题型三 动弦过定点的问题题型三 动弦过定点的问题 例题 3 已知椭圆 C 的离心率为 且在 x 轴上的顶点分别为 A1 2 0 A2 2 0 22 22 1 0 xy ab ab 3 2 I 求椭圆的方程 II 若直线与 x 轴交于点 T 点 P 为直线 上异于点 T 的任一点 直线 PA1 PA2分别与椭圆交于 M N 2 l xt t l 点 试问直线 MN 是否通过椭圆的焦点 并证明你的结论 3 解 I 由已知椭圆 C 的离心率 则得 从而椭圆的方程为 3 2 c e a 2a 3 1cb 2 2 1 4 x y II 设 直线的斜率为 则直线的方程为 由消 y 11 M x y 22 N xy 1 AM 1 k 1 AM 1 2 yk x 1 22 2 44 yk x xy 整理得是方程的两个根 则 222 121 14 161640kxk xk 1 2x 和 2 1 1 2 1 164 2 14 k x k 2 1 1 2 1 28 14 k x k 即点 M 的坐标为 1 1 2 1 4 14 k y k 2 11 22 11 284 1414 kk kk 同理 设直线 A2N 的斜率为 k2 则得点 N 的坐标为 2 22 22 22 824 1414 kk kk 直线 MN 的方程为 12 2 2 pp yk tyk t 12 12 2kk kkt 121 121 yyyy xxxx 令 y 0 得 将点 M N 的坐标代入 化简后得 2112 12 x yx y x yy 4 x t 又 椭圆的焦点为 即2t 4 02 t 3 0 4 3 t 4 3 3 t 故当时 MN 过椭圆的焦点 4 3 3 t 题型四 过已知曲线上定点的弦的问题题型四 过已知曲线上定点的弦的问题 例题 4 已知点 A B C 是椭圆 E 上的三点 其中点 A是椭圆的右顶点 直线 BC 22 22 1 xy ab 0 ab 2 3 0 过椭圆的中心 O 且 如图 I 求点 C 的坐标及椭圆 E 的方程 II 若椭圆 E 上存在两0AC BC A2BCAC 点 P Q 使得直线 PC 与直线 QC 关于直线对称 求直线 PQ 的斜率 3x 4 解 I 且 BC 过椭圆的中心 O2BCAC 又点 C 的坐标为 OCAC 0AC BC A 2 ACO A 2 3 0 3 3 A是椭圆的右顶点 则椭圆方程为 2 3 0 2 3a 22 2 1 12 xy b 将点 C代入方程 得 椭圆 E 的方程为 3 3 2 4b 22 1 124 xy II 直线 PC 与直线 QC 关于直线对称 3x 设直线 PC 的斜率为 则直线 QC 的斜率为 从而直线 PC 的方程为 kk 即 由消 y 整理得 3 3 yk x 3 1 ykxk 22 3 1 3120 ykxk xy 是方程的一个根 222 1 3 6 3 1 91830kxkk xkk 3x 即同理可得 2 2 9183 3 1 3 P kk x k A 2 2 9183 3 1 3 P kk x k 2 2 9183 3 1 3 Q kk x k 3 1 3 1 PQPQ yykxkkxk 2 3 PQ k xxk 2 12 3 1 3 k k 22 22 91839183 3 1 3 3 1 3 PQ kkkk xx kk 2 36 3 1 3 k k 1 3 PQ PQ PQ yy k xx 则直线 PQ 的斜率为定值 1 3 题型五 共线向量问题题型五 共线向量问题 例题 5 设过点 D 0 3 的直线交曲线 M 于 P Q 两点 且 求实数的取值范围 22 1 94 xy DPDQl uuu ruuu r l 解 设 P x1 y1 Q x2 y2 x1 y1 3 x2 y2 3 即QDPDQl uuu ruuu r l 12 12 3 3 xx yy l l 判别式法 韦达定理法 配凑法 设直线 PQ 的方程为 3 0ykxk 由消 y 整理后 得 22 3 4936 ykx xy 22 49 54450kxkx P Q 是曲线 M 上的两点 22 54 4 45 49 kk 2 144800k 即 2 95k 由韦达定理得 5 1212 22 5445 4949 k xxx x kk 2 1212 1221 2 xxxx x xxx 222 2 54 1 45 49 k k 即 2 222 36944 1 5 1 99 k kk 由 得 代入 整理得 2 11 0 95k 2 369 1 5 1 5 解之得 1 5 5 当直线 PQ 的斜率不存在 即时 易知或 0 x 5 1 5 总之实数的取值范围是 l 1 5 5 题型六 面积问题题型六 面积问题 例题 6 已知椭圆 C a b 0 的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为 1 2 2 2 2 b y a x 3 6 3 求椭圆 C 的方程 设直线 l 与椭圆 C 交于 A B 两点 坐标原点 O 到直线 l 的距离为 求 AOB 面积的最大值 解 2 3 设椭圆的半焦距为 依题意 所求椭圆方程为 c 6 3 3 c a a 1b 2 2 1 3 x y 设 1 当轴时 2 当与轴不垂直时 11 A xy 22 B xy ABx 3AB ABx 设直线的方程为 由已知 得 ABykxm 2 3 2 1 m k 22 3 1 4 mk 把代入椭圆方程 整理得 ykxm 222 31 6330kxkmxm 12 2 6 31 km xx k 2 12 2 3 1 31 m x x k 2 22 21 1 ABkxx 222 2 222 3612 1 1 31 31 k mm k kk 6 22222 2222 12 1 31 3 1 91 31 31 kkmkk kk 2 42 2 2 121212 33 0 34 1 9612 36 96 k k kk k k 当且仅当 即时等号成立 当时 2 2 1 9k k 3 3 k 0k 3AB 综上所述 max 2AB 当最大时 面积取最大值 ABAOB max 133 222 SAB 题型七 弦或弦长为定值问题题型七 弦或弦长为定值问题 例题 7 在平面直角坐标系 xOy 中 过定点 C 0 p 作直线与抛物线 x2 2py p 0 相交于 A B 两点 若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点 求 ANB 面积的最小值 是否存在垂直于 y 轴的直线 l 使 得 l 被以 AC 为直径的圆截得弦长恒为定值 若存在 求出 l 的方程 若不存在 说明理由 依题意 点 N 的坐标为 N 0 p 可设 A x1 y1 B x2 y2 直线 AB 的方程为 y kx p 与 x2 2py 联立得 消去 y 得 x2 2pkx 2p2 0 由韦达定理得 x1 x2 2pk x1x2 2p2 于是 2 2 pkxy pyx 21 2 2 1 xxpSSS ACNBCNABN 21 2 2121 4 xxxxpxxp 2284 22222 kppkpp 2 22min0pSk ABN 与与与与与 假设满足条件的直线 l 存在 其方程为 y a AC 的中点为径的圆相交于点 P Q PQ 的中与与与 ACt O 点为 H 则 与与与与与与与 2 2 11 pyx OPQHO 2 1 2 1 2 1 2 1 pyxACPO 22 1 2 1 py 2 2 1 2 1 1 pya py aHO 222 HOPOPH 2 1 22 1 2 4 1 4 1 pyapy 2 1 apay p a 7 2 2 2 PHPQ 2 4 2 apay p a 令 得为定值 故满足条件的直线 l 存在 其方程为 0 2 p apPQ p a 与与 22 p y 即抛物线的通径所在的直线 解法 2 前同解法 1 再由弦长公式得 2222 21 2 21 2 21 2 8414 11pkpkxxxxkxxkAB 212 22 kkp 又由点到直线的距离公式得 2 1 2 k p d 从而 22 1 2 212 2 1 2 1 22 2 22 kp k p kkpABdS ABN 22max0 2 pSk ABN 与与与与与 假设满足条件的直线 t 存在 其方程为 y a 则以 AC 为直径的圆的方程为 将直线方程 y a 代入得 0 0 11 yypyxxx 1 2 4 4 0 1 2 1 11 2 apay p ayapax yapaxxx 与与 设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为 P x2 y2 Q x4 y4 则有 2 2 2 4 1143 apay p aapay p axxPQ 令为定值 故满足条件的直线 l 存在 其方程为 pPQ p a p a 与与与 2 0 22 p y 即抛物线的通径所在的直线 8 题型八 角度问题题型八 角度问题 例题 8 如图 21 图 M 2 0 和N 2 0 是平面上的两点 动点P满足 求点P6 PMPN 的轨迹方程 若 求点P的坐标 2 1 cos PMPN MPN 解 由椭圆的定义 点P的轨迹是以M N为焦点 长轴长 2a 6 的椭圆 因此半焦距c 2 长半轴a 3 从而短半轴 b 所以椭圆的方程为 22 5ac 22 1 95 xy 由得 2 1 cos PMPN MPN Acos2 PMPNMPNPMPN AA 因为不为椭圆长轴顶点 故P M N构成三角形 在 PMN中 cos1 MPNP 4 MN 由余弦定理有 222 2cos MNPMPNPMPNMPN A 将 代入 得 22 2 42 2 PMPNPMPN A 故点P在以M N为焦点 实轴长为的双曲线上 2 3 2 2 1 3 x y 由 知 点P的坐标又满足 所以 22 1 95 xy 由方程组 解得 22 22 5945 33 xy xy 3 3 2 5 2 x y 即P点坐标为 3 353 353 353 35 22222222 或 问题九 四点共线问题问题九 四点共线问题 例题 9 设椭圆过点 且着焦点为 22 22 1 0 xy Cab ab 2 1 M 1 2 0 F 求椭圆的方程 C 当过点的动直线 与椭圆相交与两不同点 4 1 PlC 9 时 在线段上取点 满足 证明 点总在某定直线上 A BABQAP QBAQ PB AAQ 解 1 由题意 解得 所求椭圆方程为 2 22 222 2 21 1 c ab cab 22 4 2ab 22 1 42 xy 2 方法一 设点 Q A B 的坐标分别为 1122 x yx yxy 由题设知均不为零 记 则且 APPBAQ QB APAQ PBQB 0 1 又 A P B Q 四点共线 从而 APPB AQQB 于是 12 4 1 xx 12 1 1 yy 12 1 xx x 12 1 yy y 从而 1 2 222 12 2 4 1 xx x 222 12 2 1 yy y 又点 A B 在椭圆 C 上 即 22 11 24 3 xy 22 22 24 4 xy 1 2 2 并结合 3 4 得424sy 即点总在定直线上 Q x y220 xy 方法二 设点 由题设 均不为零 1122 Q x yA x yB xy PAPBAQ QB 且 PAPB AQQB 又 四点共线 可设 于是 P A Q B 0 1 PAAQ PBBQ 1 11 41 11 xy xy 2 22 41 11 xy xy 由于在椭圆 C 上 将 1 2 分别代入 C 的方程整理得 1122 A x yB xy 22 24 xy 3 222 24 4 22 140 xyxy 4 222 24 4 22 140 xyxy 10 4 3 得 8 22 0 xy 0 220 xy 即点总在定直线上 Q x y220 xy 问题十 范围问题 本质是函数问题 问题十 范围问题 本质是函数问题 设 分别是椭圆的左 右焦点 1 F 2 F1 4 2 2 y x 若是该椭圆上的一个动点 求 的最大值和最小值 P 1 PF 2 PF 设过定点的直线 与椭圆交于不同的两点 且 为锐角 其中为坐标原点 求直线 2 0 MlABAOBO 的斜率的取值范围 lk 解 解法一 易知2 1 3abc 所以 设 则 12 3 0 3 0FF P x y 22 12 3 3 3PF PFxyxyxy 2 22 1 1338 44 x xx 因为 故当 即点为椭圆短轴端点时 有最小值 2 2x 0 x P 12 PF PF 2 当 即点为椭圆长轴端点时 有最大值2x P 12 PF PF 1 解法二 易知 所以 设 则2 1 3abc 12 3 0 3 0FF P x y 222 1212 12121212 12 cos 2 PFPFFF PF PFPFPFFPFPFPF PFPF 以下同解法一 22 2222 1 33123 2 xyxyxy 显然直线不满足题设条件 可设直线 0 x 1222 2 l ykxA x yB xy 联立 消去 整理得 2 2 2 1 4 ykx x y y 22 1 430 4 kxkx 11 1212 22 43 11 44 k xxxx kk 由得 或 2 2 1 443430 4 kkk 3 2 k 3 2 k 又 00 0090cos000A BA BOA OB 1212 0OA OBx xy y 又 2 12121212 2224y ykxkxk x xk xx 22 22 38 4 11 44 kk kk 2 2 1 1 4 k k 即 2 22 31 0 11 44 k kk 2 4k 22k 故由 得或 3 2 2 k 3 2 2 k 问题十一 存在性问题 存在点 存在直线问题十一 存在性问题 存在点 存在直线 y kx m 存在实数 存在图形 三角形 等比 等腰 直角 存在实数 存在图形 三角形 等比 等腰 直角 四边形 四边形 矩形 菱形 正方形 矩形 菱形 正方形 圆 圆 设椭圆 E 22 22 1 xy ab a b 0 过 M 2 2 N 6 1 两点 O 为坐标原点 I 求椭圆 E 的方程 II 是否存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且OAOB 若存在 写出 该圆的方程 并求 AB 的取值范围 若不存在说明理由 解 1 因为椭圆 E 22 22 1 xy ab a b 0 过 M 2 2 N 6 1 两点 所以 22 22 42 1 61 1 ab ab 解得 2 2 11 8 11 4 a b 所以 2 2 8 4 a b 椭圆 E 的方程为 22 1 84 xy 2 假设存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且OAOB 设该圆的切 线方程为ykxm 解方程组 22 1 84 xy ykxm 得 22 2 8xkxm 即 222 12 4280kxkmxm 则 222222 164 12 28 8 84 0k mkmkm 即 22 840km 12 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k 222222 222 12121212 222 28 48 121212 kmk mmk y ykxm kxmk x xkm xxmm kkk 要