2009年普通高等学校招生全国统一考试数学文（山东卷含答案）

1 20092009 年普通高等学校招生全国统一考试数学文 山东卷 含答案 年普通高等学校招生全国统一考试数学文 山东卷 含答案 本试卷分第 卷和第 卷两部分 共 4 页 满分 150 分 考试时间 120 分钟 考试结束后 将 本试卷和答题卡一并交回 注意事项 1 答题前 考生务必用 0 5 毫米黑色签字笔将自己的姓名 座号 准考证号 县区和科类 填写在答题卡和试卷规定的位置上 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置 2 第 卷每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他答案标号 答案不能答在试卷上 3 第 卷必须用 0 5 毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答 不能写在试题卷上 如需改动 先画掉原来的答案 然后再写上新的答案 不能使用涂改液 胶带纸 修正带 不 按以上要求作答的答案无效 4 填空题请直接填写答案 解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤 参考公式 柱体的体积公式 V Sh 其中 S 是柱体的底面积 h 是锥体的高 锥体的体积公式 V 其中 S 是锥体的底面积 h 是锥体的高 1 3 Sh 第 卷 共 60 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的 1 集合 若 则的值为 D 0 2 Aa 2 1 Ba 0 1 2 4 16AB a A 0 B 1 C 2 D 4 2 复数等于 C 3 1 i i A B C D i 21 1 2i 2i 2i 3 将函数的图象向左平移个单位 再向上平移 1 个单位 所得图象的函数解析sin2yx 4 式是 A A B C D 2 2cosyx 2 2sinyx 4 2sin 1 xycos2yx 命题立意 本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析 式的基本知识和基本技能 学会公式的变形 4 一空间几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 C 2 A B C D 22 3 42 3 2 3 2 3 2 3 4 3 5 在 R 上定义运算 则满足 0 且 a1 有两个零点 则实数 a 的取值范围是 x 1 aa 15 执行右边的程序框图 输出的 T 30 16 某公司租赁甲 乙两种设备生产 A B 两类产品 甲种设备每天能 生产 A 类产品 5 件和 B 类产品 10 件 乙种设备每天能生产 A 类产 品 6 件和 B 类产品 20 件 已知设备甲每天的租赁费为 200 元 设备乙每天的租赁费为 300 元 现该公司至少要生产 A 类产品 50 件 B 类产品 140 件 所需租赁费最少为 元 2300 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 开始 S 0 T 0 n 0 T S S S 5 n n 2 T T n 输出 T 结束 是 否 4 17 本小题满分 12 分 设函数 f x 2在 0 sinsincos 2 cossin 2 xxx 处取最小值 x 1 求 的值 2 在ABC 中 分别是角 A B C 的对边 已知 求角 C cba 2 1 ba 2 3 Af 解 1 1 cos 2sincos sinsin 2 f xxxx sinsin coscos sinsinxxxx sin coscos sinxx sin x 因为函数 f x 在处取最小值 所以 由诱导公式知 因为 xsin 1 sin1 所以 所以0 2 sin cos 2 f xxx 2 因为 所以 因为角 A 为ABC 的内角 所以 又因为 2 3 Af 3 cos 2 A 6 A 所以由正弦定理 得 也就是 2 1 ba sinsin ab AB sin12 sin2 22 bA B a 因为 所以或 ba 4 B 4 3 B 当时 当时 4 B 7 6412 C 4 3 B 3 6412 C 18 本小题满分 12 分 如图 在直四棱柱 ABCD A B C D 中 底面 ABCD 为等腰梯形 AB CD AB 4 1111 BC CD 2 AA 2 E E 分别是棱 AD AA 的中点 111 1 设 F 是棱 AB 的中点 证明 直线 EE 平面 FCC 11 2 证明 平面 D1AC 平面 BB1C1C 证明 1 在直四棱柱 ABCD A B C D 中 取 A1B1的中点 F1 1111 连接 A1D C1F1 CF1 因为 AB 4 CD 2 且 AB CD 所以 CDA1F1 A1F1CD 为平行四边形 所以 CF1 A1D 又因为 E E 分别是棱 AD AA 的中点 所以 EE1 A1D 11 所以 CF1 EE1 又因为平面 FCC 平面 FCC 1 EE 11 CF 1 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 5 所以直线 EE 平面 FCC 11 2 连接 AC 在直棱柱中 CC1 平面 ABCD AC平面 ABCD 所以 CC1 AC 因为底面 ABCD 为等腰梯形 AB 4 BC 2 F 是棱 AB 的中点 所以 CF CB BF BCF 为正三角形 ACF 为等腰三角形 且60BCF 30ACF 所以 AC BC 又因为 BC 与 CC1都在平面 BB1C1C 内且交于点 C 所以 AC 平面 BB1C1C 而平面 D1AC AC 所以平面 D1AC 平面 BB1C1C 19 本小题满分 12 分 一汽车厂生产 A B C 三类轿车 每类轿车均有舒适型和标准型两种型号 某月的产量如下 表 单位 辆 轿车 A轿车 B轿车 C 舒适型 100150z 标准型 300450600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆 其中有 A 类轿车 10 辆 1 求 z 的值 2 用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本 将该样本看成一个总体 从 中任取 2 辆 求至少有 1 辆舒适型轿车的概率 3 用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆 经检测它们的得分如下 9 4 8 6 9 2 9 6 8 7 9 3 9 0 8 2 把这 8 辆轿车的得分看作一个总体 从中任取 一个数 求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0 5 的概率 解 1 设该厂本月生产轿车为 n 辆 由题意得 所以 n 2000 z 2000 100 5010 100300n 300 150 450 600 400 2 设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车 因为用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本 所以 解得 m 2 也就是抽取了 2 辆舒适型轿车 3 辆标准型轿车 分别记作 400 10005 m S1 S2 B1 B2 B3 则从中任取 2 辆的所有基本事件为 S1 B1 S1 B2 S1 B3 S2 B1 S2 B2 S2 B3 S1 S2 B1 B2 B2 B3 B1 B3 共 10 个 其中至少有 1 辆舒适 型轿车的基本事件有 7 个基本事件 S1 B1 S1 B2 S1 B3 S2 B1 S2 B2 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 6 S2 B3 S1 S2 所以从中任取 2 辆 至少有 1 辆舒适型轿车的概率为 7 10 3 样本的平均数为 1 9 48 69 29 68 79 39 08 2 9 8 x 那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0 5 的数为 9 4 8 6 9 2 8 7 9 3 9 0 这 6 个数 总的个数为 8 所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0 5 的概率为 75 0 8 6 20 本小题满分 12 分 等比数列 的前 n 项和为 已知对任意的 点 均在函数 n a n SnN n n S 且均为常数 的图像上 0 x ybr b 1 bb r 1 求 r 的值 11 当 b 2 时 记 求数列的前项和 1 4 n n n bnN a n bn n T 解 因为对任意的 点 均在函数且均为常数 的图nN n n S 0 x ybr b 1 bb r 像上 所以得 n n Sbr 当时 1n 11 aSbr 当时 2n 111 1 1 nnnnn nnn aSSbrbrbbbb 又因为 为等比数列 所以 公比为 所以 n a1r b 1 1 n n abb 2 当 b 2 时 11 1 2 nn n abb 11 111 44 22 n nn n nnn b a 则 2341 2341 2222 n n n T 34512 12341 222222 n nn nn T 相减 得 234512 1211111 2222222 n nn n T 31 2 11 1 11 22 1 22 1 2 n n n 12 311 422 nn n 所以 11 31133 22222 n nnn nn T 21 本小题满分 12 分 7 已知函数 其中 32 1 3 3 f xaxbxx 0a 1 当满足什么条件时 取得极值 ba xf 2 已知 且在区间上单调递增 试用表示出的取值范围 0 a xf 0 1 ab 解 1 由已知得 令 得 2 21fxaxbx 0 xf 2 210axbx 要取得极值 方程必须有解 xf 2 210axbx 所以 即 此时方程的根为 2 440ba 2 ba 2 210axbx 22 1 244 2 bbabba x aa 22 2 244 2 bbabba x aa 所以 12 fxa xxxx 当时 0 a x x1 x 1 x1 x2 x2 x2 f x 0 0 f x 增函数极大值减函数极小值增函数 所以在 x 1 x2处分别取得极大值和极小值 xf 当时 0 a x x2 x 2 x2 x1 x1 x1 f x 0 0 f x 减函数极小值增函数极大值减函数 所以在 x 1 x2处分别取得极大值和极小值 xf 综上 当满足时 取得极值 ba 2 ba xf 2 要使在区间上单调递增 需使在上恒成立 xf 0 1 2 210fxaxbx 0 1 即恒成立 所以 1 0 1 22 ax bx x max 1 22 ax b x 8 设 1 22 ax g x x 2 22 1 1 222 a x a a g x xx 令得或 舍去 0g x 1 x a 1 x a 当时 当时 单调增函数 1 a 1 01 a 1 0 x a 0g x 1 22 ax g x x 当时 单调减函数 1 1 x a 0g x 1 22 ax g x x 所以当时 取得最大 最大值为 1 x a g x 1 ga a 所以ba 当时 此时在区间恒成立 所以在区间01a 1 1 a 0g x 0 1 1 22 ax g x x 上单调递增 当时最大 最大值为 所以 0 1 1x g x 1 1 2 a g 1 2 a b 综上 当时 当时 1 aba 01a 1 2 a b 22 本小题满分 14 分 设 在平面直角坐标系中 已知向量 向量 动mR 1 amx y 1 bx y ab 点的轨迹为 E M x y 1 求轨迹 E 的方程 并说明该方程所表示曲线的形状 2 已知 证明 存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交 4 1 m 点 A B 且 O 为坐标原点 并求出该圆的方程 OAOB 3 已知 设直线 与圆 C 1 R 2 相切于 A1 且 与轨迹 E 只有一个公共 4 1 ml 222 xyR l 点 B1 当 R 为何值时 A1B1 取得最大值 并求最大值 解 1 因为 ab 1 amx y 1 bx y 所以 即 22 10a bmxy 22 1mxy 当 m 0 时 方程表示两直线 方程为 1 y 9 当时 方程表示的是圆1m 当且时 方程表示的是椭圆 0 m1 m 当时 方程表示的是双曲线 0 m 2 当时 轨迹 E 的方程为 设圆心在原点的圆的一条切线为 4 1 m 2 2 1 4 x y ykxt 解方程组得 即 2 2 1 4 ykxt x y 22 4 4xkxt 222 14 8440kxktxt 要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A B 则使 2 22222 6416 14 1 16 41 0k tktkt 即 即 且 22 410kt 22 41tk 12 2 2 12 2 8 14 44 14 kt xx k t x x k 222 222 222 12121212 222 44 84 141414 ktk ttk y ykxt kxtk x xkt xxtt kkk 要使 需使 即 OAOB 1212 0 x xy y 22222 222 444544 0 141414 ttktk kkk 所以 即且 即恒成立 22 5440tk 22 544tk 22 41tk 22 44205kk 所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线 ykxt 所以圆的半径为 所求的圆为 2 1 t r k 2 2 2 22 4 1 4 5 115 k t r kk 22 4 5 xy 当切线的斜率不存在时 切线为 与交于点或5 5 2 x 2 2 1 4 x y 5 5 2 5 5 2 也满足 5 5 2 5 5 2 OAOB 综上 存在圆心在